Юный симметризатор - Young symmetrizer

В математика, а Юный симметризатор является элементом групповая алгебра из симметричная группа, построенный таким образом, что для гомоморфизма групповой алгебры к эндоморфизму векторного пространства ${\displaystyle V^{\otimes n}}$ полученный в результате действия ${\displaystyle S_{n}}$ на ${\displaystyle V^{\otimes n}}$ путем перестановки индексов образ эндоморфизма, определяемый этим элементом, соответствует неприводимое представление симметрической группы над сложные числа. Подобная конструкция работает над любым полем, и полученные представления называются Модули Specht. Симметризатор Юнга назван в честь британского математика. Альфред Янг.

Определение

Для конечной симметрической группы S_п и конкретные Молодая картина λ, соответствующее пронумерованному разбиению п, определим два подгруппы перестановок ${\displaystyle P_{\lambda }}$ и ${\displaystyle Q_{\lambda }}$ из S_п следующим образом:^{[требуется разъяснение ]}

${\displaystyle P_{\lambda }=\{g\in S_{n}:g{\text{ preserves each row of }}\lambda \}}$

и

${\displaystyle Q_{\lambda }=\{g\in S_{n}:g{\text{ preserves each column of }}\lambda \}.}$

В соответствии с этими двумя подгруппами определите два вектора в групповая алгебра ${\displaystyle \mathbb {C} S_{n}}$ так как

${\displaystyle a_{\lambda }=\sum _{g\in P_{\lambda }}e_{g}}$

и

${\displaystyle b_{\lambda }=\sum _{g\in Q_{\lambda }}\operatorname {sgn}(g)e_{g}}$

где ${\displaystyle e_{g}}$ - единичный вектор, соответствующий г, и ${\displaystyle \operatorname {sgn}(g)}$ - знак перестановки. Продукт

${\displaystyle c_{\lambda }:=a_{\lambda }b_{\lambda }=\sum _{g\in P_{\lambda },h\in Q_{\lambda }}\operatorname {sgn}(h)e_{gh}}$

это Юный симметризатор соответствующий Молодая картина λ. Каждый симметризатор Юнга соответствует неприводимому представлению симметрической группы, и каждое неприводимое представление может быть получено из соответствующего симметризатора Юнга. (Если мы заменим сложные числа более общим поля соответствующие представления, вообще говоря, неприводимы не будут.)

строительство

Позволять V быть любым векторное пространство над сложные числа. Рассмотрим тогда тензорное произведение векторное пространство ${\displaystyle V^{\otimes n}=V\otimes V\otimes \cdots \otimes V}$ (п раз). Позволять S_п действуйте на это пространство тензорного произведения, переставляя индексы. Тогда есть естественный групповая алгебра представление ${\displaystyle \mathbb {C} S_{n}\to \operatorname {End} (V^{\otimes n})}$ на ${\displaystyle V^{\otimes n}}$.

Для разбиения λ множества п, так что ${\displaystyle n=\lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{j}}$, то образ из ${\displaystyle a_{\lambda }}$ является

${\displaystyle \operatorname {Im} (a_{\lambda }):=a_{\lambda }V^{\otimes n}\cong \operatorname {Sym} ^{\lambda _{1}}V\otimes \operatorname {Sym} ^{\lambda _{2}}V\otimes \cdots \otimes \operatorname {Sym} ^{\lambda _{j}}V.}$

Например, если ${\displaystyle n=4}$, и ${\displaystyle \lambda =(2,2)}$, с канонической таблицей Юнга ${\displaystyle \{\{1,2\},\{3,4\}\}}$. Тогда соответствующие ${\displaystyle a_{\lambda }}$ дан кем-то

${\displaystyle a_{\lambda }=e_{\text{id}}+e_{(1,2)}+e_{(3,4)}+e_{(1,2)(3,4)}.}$

Пусть элемент в ${\displaystyle V^{\otimes 4}}$ быть предоставленным ${\displaystyle v_{1,2,3,4}:=v_{1}\otimes v_{2}\otimes v_{3}\otimes v_{4}}$. потом

${\displaystyle a_{\lambda }v_{1,2,3,4}=v_{1,2,3,4}+v_{2,1,3,4}+v_{1,2,4,3}+v_{2,1,4,3}=(v_{1}\otimes v_{2}+v_{2}\otimes v_{1})\otimes (v_{3}\otimes v_{4}+v_{4}\otimes v_{3}).}$

Последние явно охватывают ${\displaystyle \operatorname {Sym} ^{2}V\otimes \operatorname {Sym} ^{2}V.}$

Образ ${\displaystyle b_{\lambda }}$ является

${\displaystyle \operatorname {Im} (b_{\lambda })\cong \bigwedge ^{\mu _{1}}V\otimes \bigwedge ^{\mu _{2}}V\otimes \cdots \otimes \bigwedge ^{\mu _{k}}V}$

где μ - разбиение, сопряженное с λ. Вот, ${\displaystyle \operatorname {Sym} ^{i}V}$ и ${\displaystyle \bigwedge ^{j}V}$ являются симметричный и чередующиеся тензорные произведения.

Изображение ${\displaystyle \mathbb {C} S_{n}c_{\lambda }}$ из ${\displaystyle c_{\lambda }=a_{\lambda }\cdot b_{\lambda }}$ в ${\displaystyle \mathbb {C} S_{n}}$ неприводимое представление S_п, называется Модуль Specht. Мы пишем

${\displaystyle \operatorname {Im} (c_{\lambda })=V_{\lambda }}$

для неприводимого представления.

Некоторое скалярное кратное ${\displaystyle c_{\lambda }}$ идемпотентно,^[1] это ${\displaystyle c_{\lambda }^{2}=\alpha _{\lambda }c_{\lambda }}$ для некоторого рационального числа ${\displaystyle \alpha _{\lambda }\in \mathbb {Q} .}$ В частности, можно найти ${\displaystyle \alpha _{\lambda }=n!/\dim V_{\lambda }}$. В частности, это означает, что представления симметрической группы могут быть определены над рациональными числами; то есть над рациональной групповой алгеброй ${\displaystyle \mathbb {Q} S_{n}}$.

Рассмотрим, например, S₃ и разбиение (2,1). Тогда есть

${\displaystyle c_{(2,1)}=e_{123}+e_{213}-e_{321}-e_{312}.}$

Если V комплексное векторное пространство, то образы ${\displaystyle c_{\lambda }}$ на пространствах ${\displaystyle V^{\otimes d}}$ обеспечивает практически все конечномерные неприводимые представления GL (V).

Смотрите также

• Теория представлений симметрической группы

Заметки

1. Увидеть (Фултон и Харрис 1991, Теорема 4.3, с. 46)

использованная литература

• Уильям Фултон. Таблицы Юнга с приложениями к теории представлений и геометрии. Издательство Кембриджского университета, 1997.
• Лекция 4 из Фултон, Уильям; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс. Тексты для выпускников по математике, Чтения по математике. 129. Нью-Йорк: Springer-Verlag. Дои:10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN  978-0-387-97495-8. Г-Н  1153249. OCLC  246650103.
• Брюс Э. Саган. Симметричная группа. Спрингер, 2001.