Чжао Юцинь π алгоритм - Zhao Youqins π algorithm - Wikipedia

Чжао Юцинь π алгоритм

Страница из книги Чжао Юцинь Ге Сян Синь Шу том 5

Чжао Юцинь π алгоритм был алгоритм, разработанный Династия Юань Китайский астроном и математик Чжао Юцинь (赵友钦,? - 1330) для расчета стоимости π в его книге Ге Сян Синь Шу (革 象 新书).

Алгоритм

Чжао Юцинь начал с вписанного квадрата в круг с радиус р.^[1]

Если ${\displaystyle \ell }$ обозначает длину стороны квадрата, нарисуйте перпендикуляр линия d от центра круга в сторону л. Позволять е обозначает р − d. Тогда из схемы:

${\displaystyle d={\sqrt {r^{2}-\left({\frac {\ell }{2}}\right)^{2}}}}$

${\displaystyle e=r-d=r-{\sqrt {r^{2}-\left({\frac {\ell }{2}}\right)^{2}}}.}$

Продлите перпендикулярную линию d разрезать круг на восьмиугольник; ${\displaystyle \ell _{2}}$ обозначает длину одной стороны восьмиугольника.

${\displaystyle \ell _{2}={\sqrt {\left({\frac {\ell }{2}}\right)^{2}+e^{2}}}}$

${\displaystyle \ell _{2}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\ell ^{2}+4\left(r-{\frac {1}{2}}{\sqrt {4r^{2}-\ell ^{2}}}\right)^{2}}}}$

Позволять ${\displaystyle l_{3}}$ обозначает длину стороны шестиугольник

${\displaystyle \ell _{3}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\ell _{2}^{2}+4\left(r-{\frac {1}{2}}{\sqrt {4r^{2}-\ell _{2}^{2}}}\right)^{2}}}}$

по аналогии

${\displaystyle \ell _{n+1}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\ell _{n}^{2}+4\left(r-{\frac {1}{2}}{\sqrt {4r^{2}-\ell _{n}^{2}}}\right)^{2}}}}$

Поступая таким образом, он, наконец, вычислил сторону 16384-угольника, умножив его на 16384, получив 3141,592 для круга диаметром = 1000 единиц, или

${\displaystyle \pi =3.141592.\,}$

Он умножил это число на 113 и получил 355. Из этого он вывел традиционные ценности π, то есть 3, 3.14, 22/7 и 355/113, последний - самый точный.^[2]

Смотрите также

• Лю Хуэй π алгоритм

Рекомендации

1. Ёсио Миками, Развитие математики в Китае и Японии, Глава 20, Исследования о ценности π и др., стр 135–138
2. Ёсио Миками, стр.136