Лемма Шварца – Милнора. - Švarc–Milnor lemma

В математическом предмете геометрическая теория групп, то Лемма Шварца – Милнора. (иногда также называют Лемма Милнора – Шварца., в обоих вариантах также иногда пишется Шварц как Шварц) - утверждение, в котором говорится, что группа ${\displaystyle G}$, оборудованный "красивым" дискретный изометрический действие на метрическое пространство ${\displaystyle X}$, является квазиизометрический к ${\displaystyle X}$.

Этот результат в другой форме восходит к понятию квазиизометрия был официально представлен, к работе Альберт С. Шварц (1955)^[1] и Джон Милнор (1968).^[2] Пьер де ла Арп назвал лемму Шварца – Милнора фундаментальное наблюдение в геометрической теории групп"^[3] из-за его важности для предмета. Иногда для этого утверждения теперь используется название «фундаментальное наблюдение в геометрической теории групп», вместо того, чтобы называть его леммой Шварца – Милнора; см., например, теорему 8.2 в книге Фарб и Маргалит.^[4]

Точное заявление

В литературе существует несколько небольших вариаций формулировки леммы (см. Раздел «Примечания» ниже). Здесь мы следуем версии, данной в книге Бридсона и Хефлигера (см. Там предложение 8.19 на стр. 140).^[5]

Позволять ${\displaystyle G}$ - группа, действующая изометриями на правильный длина пространства ${\displaystyle X}$ так что действие правильно прерывистый и компактный.

Тогда группа ${\displaystyle G}$ конечно порожден и для любого конечного порождающего множества ${\displaystyle S}$ из ${\displaystyle G}$ и каждая точка ${\displaystyle p\in X}$карта орбиты

${\displaystyle f_{p}:(G,d_{S})\to X,\quad g\mapsto gp}$

это квазиизометрия.

Здесь ${\displaystyle d_{S}}$ это слово метрика на ${\displaystyle G}$ соответствующий ${\displaystyle S}$.

Примечания

Во многих источниках лемма Шварца – Милнора формулируется при несколько более ограниченном предположении, что пространство ${\displaystyle X}$ быть геодезическое метрическое пространство (скорее, что длина пространства ), и большинство приложений относятся к этому контексту.

Иногда собственно разрывное кокомпактное изометрическое действие группы ${\displaystyle G}$ на собственном геодезическом метрическом пространстве ${\displaystyle X}$ называется геометрический действие.^[6]

Объяснение терминов

Напомним, что метрика ${\displaystyle X}$ пространство правильный если каждый закрытый шар в ${\displaystyle X}$ является компактный.

Действие ${\displaystyle G}$ на ${\displaystyle X}$ является правильно прерывистый если для каждого компакта ${\displaystyle K\subseteq X}$ набор

${\displaystyle \{g\in G\mid gK\cap K\neq \varnothing \}}$

конечно.

Действие ${\displaystyle G}$ на ${\displaystyle X}$ является компактный если факторпространство ${\displaystyle X/G}$, оснащенный факторная топология, является компактным. При прочих условиях леммы Шварца – Милнора условие кокомпактности эквивалентно существованию замкнутого шара ${\displaystyle B}$ в ${\displaystyle X}$ такой, что

${\displaystyle \bigcup _{g\in G}gB=X.}$

Примеры приложений леммы Шварца – Милнора

Примеры с 1 по 5 ниже см. На стр. 89–90 в книге де ла Харп.^[3]Пример 6 является отправной точкой части статьи Ричард Шварц.^[7]

1. Для каждого ${\displaystyle n\geq 1}$ группа ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$ квазиизометрично евклидовому пространству ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.

2. Если ${\displaystyle \Sigma }$ замкнутая связная ориентированная поверхность отрицательного Эйлерова характеристика затем фундаментальная группа ${\displaystyle \pi _{1}(\Sigma )}$ квазиизометрично гиперболической плоскости ${\displaystyle \mathbb {H} ^{2}}$.

3. Если ${\displaystyle (M,g)}$ замкнутое связное гладкое многообразие с гладкой Риманова метрика ${\displaystyle g}$ тогда ${\displaystyle \pi _{1}(M)}$ квазиизометрично ${\displaystyle ({\tilde {M}},d_{\tilde {g}})}$, куда ${\displaystyle {\tilde {M}}}$ это универсальный чехол из ${\displaystyle M}$, куда ${\displaystyle {\tilde {g}}}$ это откат ${\displaystyle g}$ к ${\displaystyle {\tilde {M}}}$, и где ${\displaystyle d_{\tilde {g}}}$ метрика пути на ${\displaystyle {\tilde {M}}}$ определяемой римановой метрикой ${\displaystyle {\tilde {g}}}$.

4. Если ${\displaystyle G}$ является связным конечномерным Группа Ли снабженный левоинвариантным Риманова метрика и соответствующая метрика пути, и если ${\displaystyle \Gamma \leq G}$ это однородная решетка тогда ${\displaystyle \Gamma }$ квазиизометрично ${\displaystyle G}$.

5. Если ${\displaystyle M}$ является замкнутым трехмерным гиперболическим многообразием, то ${\displaystyle \pi _{1}(M)}$ квазиизометрично ${\displaystyle \mathbb {H} ^{3}}$.

6. Если ${\displaystyle M}$ является полным трехмерным гиперболическим многообразием конечного объема с каспами, то ${\displaystyle \Gamma =\pi _{1}(M)}$ квазиизометрично ${\displaystyle \Omega =\mathbb {H} ^{3}-{\mathcal {B}}}$, куда ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ это определенный ${\displaystyle \Gamma }$-инвариантный набор Horoballs, и где ${\displaystyle \Omega }$ снабжена метрикой индуцированного пути.

Рекомендации

1. А. С. Шварц, Объемный инвариант покрытий (на русском), Доклады Академии Наук СССР, т. 105, 1955, стр. 32–34.
2. Дж. Милнор, Замечание о кривизне и фундаментальной группе, Журнал дифференциальной геометрии, т. 2, 1968, с. 1–7
3. Пьер де ла Харп, Темы геометрической теории групп. Чикагские лекции по математике. Издательство Чикагского университета, Чикаго, Иллинойс, 2000. ISBN  0-226-31719-6; п. 87
4. Бенсон Фарб и Дэн Маргалит, Праймер по отображению групп классов. Princeton Mathematical Series, 49. Princeton University Press, Princeton, NJ, 2012. ISBN  978-0-691-14794-9; п. 224
5. М. Р. Бридсон и А. Хефлигер, Метрические пространства неположительной кривизны. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Основные принципы математических наук], т. 319. Springer-Verlag, Берлин, 1999. ISBN  3-540-64324-9
6. И. Капович, Н. Бенакли, Границы гиперболических групп. Комбинаторная и геометрическая теория групп (Нью-Йорк, 2000 / Хобокен, Нью-Джерси, 2001), стр. 39–93, Contemp. Math., 296, Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, 2002 г. ISBN  0-8218-2822-3; Конвенция 2.22 на стр. 46
7. Ричард Шварц, Квазиизометрическая классификация решеток ранга один, Publications Mathématiques de l'Institut des Hautes Études Scientifiques, vol. 82, 1995, стр. 133–168