Аналитическое кручение - Analytic torsion

В математике Кручение Рейдемейстера (или же R-кручение, или же Кручение Рейдемайстера – Франца) это топологический инвариант из коллекторы представлен Курт Райдемайстер (Рейдемейстер 1935 ) за 3-х коллектор и обобщены на высшие размеры к Вольфганг Франц  (1935 ) и Жорж де Рам  (1936 ).Аналитическое кручение (или же Кручение Рэя – Зингера) является инвариантом Римановы многообразия определяется Дэниел Б. Рэй и Исадор М. Сингер  (1971, 1973a, 1973b ) как аналитический аналог кручения Райдемейстера. Джефф Чигер  (1977, 1979 ) и Вернер Мюллер  (1978 ) доказал гипотезу Рэя и Зингера о том, что Кручение Рейдемейстера и аналитическое кручение одинаковы для компактных римановых многообразий.

Кручение Рейдемейстера было первым инвариантом алгебраическая топология которые могут различать замкнутые коллекторы, которые гомотопический эквивалент но нет гомеоморфный, и поэтому его можно рассматривать как рождение геометрическая топология как отдельное поле. Его можно использовать для классификации линзы.

Кручение Рейдемейстера тесно связано с Кручение белой головки; видеть (Милнор 1966 ). Это также послужило важной мотивацией для арифметическая топология; видеть (Мазур ). Более свежие работы по кручению см. В книгах (Тураев 2002 ) и (Николаеску2002, 2003 ).

Определение аналитического кручения

Если M является римановым многообразием и E векторное расслоение над M, то есть Оператор лапласа действуя на я-форма со значениями в E. Если собственные значения на я-формы являются λ_j то дзета-функция ζ_я определяется как

${displaystyle zeta _{i}(s)=sum _{lambda _{j}>0}lambda _{j}^{-s}}$

за s большой, и это распространяется на все сложные s к аналитическое продолжение Дзета-регуляризованный определитель лапласиана, действующий на я-forms есть

${displaystyle Delta _{i}=exp(-zeta _{i}^{prime }(0))}$

который формально является произведением положительных собственных значений лапласиана, действующего на я-форм. аналитическое кручение Т(M,E) определяется как

${displaystyle T(M,E)=exp left(sum _{i}(-1)^{i}izeta _{i}^{prime }(0)/2ight)=prod _{i}Delta _{i}^{-(-1)^{i}i/2}.}$

Определение кручения Рейдемейстера

Позволять ${displaystyle X}$ быть конечным связным CW-комплекс с фундаментальная группа ${displaystyle pi :=pi _{1}(X)}$и универсальный чехол ${displaystyle { ilde {X}}}$, и разреши ${displaystyle U}$ - ортогональный конечномерный ${displaystyle pi }$-представление. Предположим, что

${displaystyle H_{n}^{pi }(X;U):=H_{n}(Uotimes _{mathbf {Z} [pi ]}C_{*}({ ilde {X}}))=0}$

для всех п. Если закрепить сотовую основу для ${displaystyle C_{*}({ ilde {X}})}$ и ортогональный ${displaystyle mathbf {R} }$-основа для ${displaystyle U}$, тогда ${displaystyle D_{*}:=Uotimes _{mathbf {Z} [pi ]}C_{*}({ ilde {X}})}$ стягиваемая конечная базируемая свободная ${displaystyle mathbf {R} }$-цепной комплекс. Позволять ${displaystyle gamma _{*}:D_{*} o D_{*+1}}$ - любое цепное сжатие D_*, т.е. ${displaystyle d_{n+1}circ gamma _{n}+gamma _{n-1}circ d_{n}=id_{D_{n}}}$ для всех ${displaystyle n}$. Получаем изоморфизм ${displaystyle (d_{*}+gamma _{*})_{ ext{odd}}:D_{ ext{odd}} o D_{ ext{even}}}$ с ${displaystyle D_{ ext{odd}}:=oplus _{n,odd},D_{n}}$, ${displaystyle D_{ ext{even}}:=oplus _{n,{ ext{even}}},D_{n}}$. Мы определяем Кручение Рейдемейстера

${displaystyle ho (X;U):=|det(A)|^{-1}in mathbf {R} ^{>0}}$

где A - матрица ${displaystyle (d_{*}+gamma _{*})_{ ext{odd}}}$ по данным базам. Торсион Рейдемейстера ${displaystyle ho (X;U)}$ не зависит от выбора сотовой основы для ${displaystyle C_{*}({ ilde {X}})}$, ортогональный базис для ${displaystyle U}$ и сжатие цепи ${displaystyle gamma _{*}}$.

Позволять ${displaystyle M}$ - компактное гладкое многообразие, и пусть ${displaystyle ho colon pi (M)ightarrow GL(E)}$ - унимодулярное представление. ${displaystyle M}$ имеет гладкую триангуляцию. На любой выбор объема ${displaystyle mu in det H_{*}(M)}$, получаем инвариант ${displaystyle au _{M}(ho :mu )in mathbf {R} ^{+}}$. Затем мы называем положительное действительное число ${displaystyle au _{M}(ho :mu )}$ кручение Рейдемейстера многообразия ${displaystyle M}$ относительно ${displaystyle ho }$ и ${displaystyle mu }$.

Краткая история кручения Рейдемайстера

Кручение Рейдемейстера впервые было использовано для комбинаторной классификации трехмерных объектов. линзы в (Рейдемейстер 1935 ) Райдемейстером, а в многомерных пространствах - Францем. В классификацию включены примеры гомотопический эквивалент Трехмерные многообразия, не являющиеся гомеоморфный - в то время (1935 г.) классификация была только до PL гомеоморфизм, но позже Э.Дж. Броды (1960 ) показал, что это была классификация до гомеоморфизм.

Дж. Х. К. Уайтхед определил "кручение" гомотопической эквивалентности между конечными комплексами. Это прямое обобщение концепции Рейдемейстера, Франца и де Рама; но это более тонкий инвариант. Кручение белой головки обеспечивает ключевой инструмент для изучения комбинаторных или дифференцируемых многообразий с нетривиальной фундаментальной группой и тесно связан с концепцией «простого гомотопического типа», см. (Милнор 1966 )

В 1960 году Милнор открыл отношение двойственности инвариантов кручения многообразий и показал, что (скрученный) многочлен Александера узлов является кручением Рейдемистера его узлового дополнения в ${displaystyle S^{3}}$. (Милнор 1962 ) Для каждого q то Двойственность Пуанкаре ${displaystyle P_{o}}$ побуждает

${displaystyle P_{o}colon operatorname {det} (H_{q}(M)){overset {sim }{,longrightarrow ,}}(operatorname {det} (H_{n-q}(M)))^{-1}}$

и тогда получаем

${displaystyle Delta (t)=pm t^{n}Delta (1/t).}$

Центральную роль в них играет представление фундаментальной группы узлового дополнения. Он устанавливает связь между теорией узлов и инвариантами кручения.

Теорема Чигера – Мюллера

Позволять ${displaystyle (M,g)}$ - ориентируемое компактное риманово многообразие размерности n и ${displaystyle ho colon pi (M)ightarrow mathop {GL} (E)}$ представление фундаментальной группы ${displaystyle M}$ на вещественном векторном пространстве размерности N. Тогда мы можем определить комплекс де Рама

${displaystyle Lambda ^{0}{stackrel {d_{0}}{longrightarrow }}Lambda ^{1}{stackrel {d_{1}}{longrightarrow }}cdots {stackrel {d_{n-1}}{longrightarrow }}Lambda ^{n}}$

и формально сопряженный ${displaystyle d_{p}}$ и ${displaystyle delta _{p}}$ из-за плоскостности ${displaystyle E_{q}}$. Как обычно, мы также получаем лапласиан Ходжа на p-формах

${displaystyle Delta _{p}=delta _{p+1}d_{p}+d_{p-1}delta _{p}.}$

При условии, что ${displaystyle partial M=0}$, то лапласиан является симметричным положительным полуположительным эллиптическим оператором с чисто точечным спектром

${displaystyle 0leq lambda _{0}leq lambda _{1}leq cdots ightarrow infty .}$

Таким образом, как и раньше, мы можем определить дзета-функцию, связанную с лапласианом ${displaystyle Delta _{q}}$ на ${displaystyle Lambda ^{q}(E)}$ к

${displaystyle zeta _{q}(s;ho )=sum _{lambda _{j}>0}lambda _{j}^{-s}={frac {1}{Gamma (s)}}int _{0}^{infty }t^{s-1}{ ext{Tr}}(e^{-tDelta _{q}}-P_{q})dt, { ext{Re}}(s)>{frac {n}{2}}}$

куда ${displaystyle P}$ это проекция ${displaystyle L^{2}Lambda (E)}$ на пространство ядра ${displaystyle {mathcal {H}}^{q}(E)}$ лапласиана ${displaystyle Delta _{q}}$. Более того, это было показано (Сили 1967 ) который ${displaystyle zeta _{q}(s;ho )}$ распространяется на мероморфную функцию ${displaystyle sin mathbf {C} }$ которая голоморфна в ${displaystyle s=0}$.

Как и в случае ортогонального представления, определим аналитическое кручение ${displaystyle T_{M}(ho ;E)}$ к

${displaystyle T_{M}(ho ;E)=exp {iggl (}{frac {1}{2}}sum _{q=0}^{n}(-l)^{q}q{frac {d}{ds}}zeta _{q}(s;ho ){iggl |}_{s=0}{iggr )}.}$

В 1971 году Д. Рэй и И.М.Зингер предположили, что ${displaystyle T_{M}(ho ;E)= au _{M}(ho ;mu )}$ для любого унитарного представления ${displaystyle ho }$. Эта гипотеза Рэя – Зингера была в конечном итоге независимо доказана Чигером (1977, 1979 ) и Мюллер (1978). Оба подхода ориентированы на логарифм кручений и их следов. Для нечетномерных многообразий это проще, чем для четномерных, что связано с дополнительными техническими трудностями. Эта теорема Чигера – Мюллера (что два понятия кручения эквивалентны) вместе с Теорема Атьи – Патоди – Зингера, позже легла в основу Теория возмущений Черна – Саймонса..

Доказательство теоремы Чигера-Мюллера для произвольных представлений было позже дано Дж. М. Бисмутом и Вейпином Чжаном. В их доказательстве используется Деформация Виттена.

Рекомендации

• Bismut, J. -M .; Чжан, В. (1994-03-01), "Метрики Милнора и Рэй-певца на эквивариантном определителе плоского векторного расслоения", Геометрический и функциональный анализ GAFA, 4 (2): 136–212, Дои:10.1007 / BF01895837, ISSN  1420-8970
• Броуди, Э. Дж. (1960), "Топологическая классификация линзовых пространств", Анналы математики, 2, 71 (1): 163–184, Дои:10.2307/1969884, JSTOR  1969884, МИСТЕР  0116336
• Чигер, Джефф (1977), «Аналитическое кручение и кручение Рейдемейстера», Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки, 74 (7): 2651–2654, Bibcode:1977PNAS ... 74.2651C, Дои:10.1073 / pnas.74.7.2651, МИСТЕР  0451312, ЧВК  431228, PMID  16592411
• Чигер, Джефф (1979), «Аналитическое кручение и уравнение теплопроводности», Анналы математики, 2, 109 (2): 259–322, Дои:10.2307/1971113, JSTOR  1971113, МИСТЕР  0528965
• Франц, Вольфганг (1935), "Ueber die Torsion einer Ueberdeckung", Журнал für die reine und angewandte Mathematik, 173: 245–254
• Милнор, Джон (1962), "Теорема двойственности для кручения Рейдемейстера", Анналы математики, 76 (1): 137–138, Дои:10.2307/1970268, JSTOR  1970268
• Милнор, Джон (1966), "Кручение Уайтхеда", Бюллетень Американского математического общества, 72 (3): 358–426, Дои:10.1090 / S0002-9904-1966-11484-2, МИСТЕР  0196736
• Мищенко, Александр С. (2001) [1994], «Торсион Рейдемейстера», Энциклопедия математики, EMS Press
• Мюллер, Вернер (1978), "Аналитическое кручение и R-кручение римановых многообразий", Успехи в математике, 28 (3): 233–305, Дои:10.1016/0001-8708(78)90116-0, МИСТЕР  0498252
• Николаеску, Ливиу И. (2002), Примечания к кручению Рейдемейстера (PDF) Онлайн-книга
• Николаеску, Ливиу И. (2003), Кручение Рейдемейстера трехмерных многообразий, Исследования де Грюйтера по математике, 30, Берлин: Walter de Gruyter & Co., стр. Xiv + 249, Дои:10.1515/9783110198102, ISBN  3-11-017383-2, МИСТЕР  1968575
• Ray, Daniel B .; Певец, Исадор М. (1973a), "Аналитическое кручение для комплексных многообразий", Анналы математики, 2, 98 (1): 154–177, Дои:10.2307/1970909, JSTOR  1970909, МИСТЕР  0383463
• Ray, Daniel B .; Певец, Исадор М. (1973b), «Аналитическое кручение», Уравнения с частными производными, Proc. Симпозиумы. Чистая математика., XXIII, Providence, R.I .: Amer. Математика. Soc., Стр. 167–181, МИСТЕР  0339293
• Ray, Daniel B .; Певец, Исадор М. (1971), "р-кручение и лапласиан на римановых многообразиях. ", Успехи в математике, 7 (2): 145–210, Дои:10.1016/0001-8708(71)90045-4, МИСТЕР  0295381
• Рейдемейстер, Курт (1935), "Homotopieringe und Linsenräume", Abh. Математика. Сем. Univ. Гамбург, 11: 102–109, Дои:10.1007 / BF02940717
• де Рам, Жорж (1936), "Sur les nouveaux invariants topologiques de M. Reidemeister", Recueil Mathématique (Математический сборник), Nouvelle Série, 1 (5): 737–742, Zbl  0016.04501
• Тураев Владимир (2002), Кручения трехмерных многообразий, Успехи в математике, 208, Базель: Birkhäuser Verlag, стр. X + 196, Дои:10.1007/978-3-0348-7999-6, ISBN  3-7643-6911-6, МИСТЕР  1958479
• Мазур, Барри. «Замечания о полиноме Александера» (PDF).
• Сили, Р. Т. (1967), «Комплексные степени эллиптического оператора», в Кальдероне, Альберто П. (ред.), Сингулярные интегралы (Proc. Sympos. Pure Math., Chicago, Ill., 1966), Труды симпозиумов по чистой математике, 10, Providence, R.I .: Amer. Математика. Soc., Стр. 288–307, ISBN  978-0-8218-1410-9, МИСТЕР  0237943