Теория Черна – Саймонса - Chern–Simons theory

В Теория Черна – Саймонса является трехмерным топологическая квантовая теория поля из Тип Шварца разработан Эдвард Виттен. Впервые его открыл физик-математик. Альберт Шварц. Назван в честь математиков. Шиинг-Шен Черн и Джеймс Харрис Саймонс кто представил 3-форма Черна – Саймонса. В теории Черна – Саймонса действие пропорциональна интегралу от 3-форма Черна – Саймонса.

В физика конденсированного состояния, Теория Черна – Саймонса описывает топологический порядок в дробный квантовый эффект Холла состояния. В математике его использовали для вычисления инварианты узлов и трехколлекторный инварианты, такие как Многочлен Джонса.

В частности, теория Черна – Саймонса уточняется выбором простых Группа Ли G, известная как калибровочная группа теории, а также число, называемое уровень теории, которая является константой, умножающей действие. Действие зависит от калибра, однако функция распределения из квант теория четко определенный когда уровень является целым числом, а датчик напряженность поля исчезает на всех границы трехмерного пространства-времени.

Он также использовался для создания топологические квантовые компьютеры (TQC). В частности, теория SU (2) Черна – Саймонса описывает простейшие неабелевы анонимный модель TQC, модель Янга-Ли-Фибоначчи. это правила слияния также описаны Теория WZW и конформная теория поля.^[1][2]

Классическая теория

Математическое происхождение

В 1940-е годы С. С. Черн и А. Вайль изучил свойства глобальной кривизны гладких многообразий M так как когомологии де Рама (Теория Черна – Вейля ), что является важным шагом в теории характеристические классы в дифференциальная геометрия. Учитывая квартиру г-основной пакет п на M существует единственный гомоморфизм, называемый Гомоморфизм Черна – Вейля, из алгебры г-сопряженные инвариантные многочлены на г (Алгебра Ли г) когомологиям ${\displaystyle H^{*}(M,\mathbb {R} )}$. Если инвариантный многочлен однороден, то можно записать конкретно любой k-форма закрытого соединения ω как некоторые 2k-форма соответствующей формы кривизны Ω ω.

В 1974 г. С.С. Черн и Дж. Х. Саймонс конкретно построил (2k - 1) -форма df(ω) такие, что

${\displaystyle dTf(\omega )=f(\Omega ^{k}),}$

где Т является гомоморфизмом Черна – Вейля. Эта форма называется Форма Черна – Саймонса. Если df(ω) замкнуто, можно проинтегрировать приведенную выше формулу

${\displaystyle Tf(\omega )=\int _{C}f(\Omega ^{k}),}$

где C является (2k - 1) -мерный цикл на M. Этот инвариант называется Инвариант Черна – Саймонса. Как указывалось во введении к работе Черна – Саймонса, инвариант Черна – Саймонса CS(M) является граничным членом, который не может быть определен какой-либо чистой комбинаторной формулировкой. Его также можно определить как

${\displaystyle CS(M)=\int _{s(M)}{\tfrac {1}{2}}Tp_{1}\in \mathbb {R} /\mathbb {Z} ,}$

где ${\displaystyle p_{1}}$ - первое число Понтрягина и s(M) - сечение нормального ортогонального расслоения п. Более того, член Черна – Саймонса описывается как эта инвариант определено Атьей, Патоди и Сингером.

Калибровочную инвариантность и метрическую инвариантность можно рассматривать как инвариантность относительно действия присоединенной группы Ли в теории Черна – Вейля. В интеграл действия (интеграл по путям ) из теория поля в физике рассматривается как Лагранжиан интеграл формы Черна – Саймонса и петли Вильсона, голономия векторного расслоения на M. Это объясняет, почему теория Черна – Саймонса тесно связана с топологическая теория поля.

Конфигурации

Теории Черна – Саймонса могут быть определены на любом топологический 3-х коллекторный M, с границей или без нее. Поскольку эти теории являются топологическими теориями типа Шварца, нет метрика необходимо представить на M.

Теория Черна – Саймонса - это калибровочная теория, что означает, что классический конфигурации в теории Черна – Саймонса на M с группа датчиков г описывается главный г-бандл на M. В связь этого пучка характеризуется подключение одноформное А который ценится в Алгебра Ли г из Группа Ли г. В общем связь А определяется только на индивидуальном координировать патчи, а значения А на разных участках связаны картами, известными как калибровочные преобразования. Для них характерно утверждение, что ковариантная производная, который представляет собой сумму внешняя производная оператор d и связь А, преобразуется в присоединенное представительство калибровочной группы г. Квадрат ковариантной производной с самим собой можно интерпретировать как г-значная 2-форма F называется форма кривизны или напряженность поля. Он также преобразуется в присоединенное представление.

Динамика

В действие S теории Черна – Саймонса пропорциональна интегралу от 3-форма Черна – Саймонса

${\displaystyle S={\frac {k}{4\pi }}\int _{M}{\text{tr}}\,(A\wedge dA+{\tfrac {2}{3}}A\wedge A\wedge A).}$

Постоянная k называется уровень теории. Классическая физика теории Черна – Саймонса не зависит от выбора уровня k.

Классически система характеризуется уравнениями движения, которые являются экстремумами действия по отношению к вариациям поля. А. По кривизне поля

${\displaystyle F=dA+A\wedge A\,}$

то уравнение поля явно

${\displaystyle 0={\frac {\delta S}{\delta A}}={\frac {k}{2\pi }}F.}$

Следовательно, классические уравнения движения выполняются тогда и только тогда, когда кривизна обращается в нуль всюду, и в этом случае связь называется плоский. Таким образом, классические решения г Теория Черна – Саймонса - это плоские связи основных г-бандлы на M. Плоские соединения полностью определяются холономиями вокруг несжимаемых циклов на основании. M. Точнее, они находятся во взаимно однозначном соответствии с классами эквивалентности гомоморфизмов из фундаментальная группа из M к калибровочной группе г вплоть до спряжения.

Если M имеет границу N тогда есть дополнительные данные, которые описывают выбор тривиализации основного г-бандл на N. Такой выбор характеризует карту из N к г. Динамика этой карты описывается Весс – Зумино – Виттен (WZW) модель на N на уровне k.

Квантование

Чтобы канонически квантовать Теория Черна – Саймонса определяет состояние на каждой двумерной поверхности Σ в M. Как и в любой квантовой теории поля, состояния соответствуют лучам в Гильбертово пространство. В топологической теории поля типа Шварца нет предпочтительного понятия времени, поэтому можно потребовать, чтобы Σ было Поверхность Коши на самом деле состояние можно определить на любой поверхности.

Σ имеет коразмерность один, поэтому можно разрезать M вдоль Σ. После такого разрезания M будет многообразием с краем, и, в частности, классически динамика Σ будет описываться моделью WZW. Виттен показал, что это соответствие выполняется даже квантово-механически. Точнее, он продемонстрировал, что гильбертово пространство состояний всегда конечномерно и может быть канонически отождествлено с пространством состояний. конформные блоки модели G WZW на уровне k.

Например, когда Σ является 2-сферой, это гильбертово пространство одномерно, и поэтому существует только одно состояние. Когда Σ - 2-тор, состояния соответствуют интегрируемым представления из аффинная алгебра Ли соответствующий g на уровне k. Характеризация конформных блоков высших родов не является необходимой для решения Виттена теории Черна – Саймонса.

Наблюдаемые

Петли Вильсона

В наблюдаемые теории Черна – Саймонса являются пточка корреляционные функции калибровочно-инвариантных операторов. Наиболее часто изучаемым классом калибровочно-инвариантных операторов являются Петли Вильсона. Петля Вильсона - это голономия вокруг петли в M, прослеживается в данном представление р из г. Поскольку нас будут интересовать произведения петель Вильсона, без ограничения общности мы можем ограничиться неприводимые представления р.

Более конкретно, учитывая неприводимое представление р и петля K в M, можно определить петлю Вильсона ${\displaystyle W_{R}(K)}$ от

${\displaystyle W_{R}(K)=\operatorname {Tr} _{R}\,{\mathcal {P}}\exp \left(i\oint _{K}A\right)}$

где А - 1-форма связности, и мы берем Главное значение Коши из контурный интеграл и ${\displaystyle {\mathcal {P}}\exp }$ это экспонента с упорядоченным по пути.

Полиномы ХОМФЛИ и Джонса

Считайте ссылку L в M, который представляет собой набор ℓ непересекающиеся петли. Особенно интересная наблюдаемая ℓ-точечная корреляционная функция, сформированная из произведения петель Вильсона вокруг каждой непересекающейся петли, каждая из которых прослеживается в фундаментальное представление из г. Можно сформировать нормированную корреляционную функцию, разделив эту наблюдаемую на функция распределения Z(M), которая является просто нулевой корреляционной функцией.

В частном случае, когда M является 3-сферой, Виттен показал, что эти нормированные корреляционные функции пропорциональны известным узловые многочлены. Например, в г = U(N) Теория Черна – Саймонса на уровне k нормализованная корреляционная функция с точностью до фазы равна

${\displaystyle {\frac {\sin(\pi /(k+N))}{\sin(\pi N/(k+N))}}}$

раз Полином ХОМФЛИ. В частности, когда N = 2 полином ХОМФЛИ сводится к Многочлен Джонса. В СО (N), можно найти аналогичное выражение с Полином Кауфмана.

Фазовая неоднозначность отражает тот факт, что, как показал Виттен, квантовые корреляционные функции не полностью определяются классическими данными. В номер ссылки петли с самим собой входит в вычисление статистической суммы, но это число не инвариантно относительно малых деформаций и, в частности, не является топологическим инвариантом. Это число может быть четко определено, если выбрать кадрирование для каждого цикла, что является предпочтительным ненулевым выбором. нормальный вектор в каждой точке, вдоль которой петля деформируется, чтобы вычислить ее число самосвязывания. Эта процедура является примером расщепление точек регуляризация процедура введена Поль Дирак и Рудольф Пайерлс для определения явно расходящихся величин в квантовая теория поля в 1934 г.

Сэр Майкл Атия показал, что существует канонический выбор 2-оснащения^{[нужна цитата ]}, который обычно используется в современной литературе и приводит к четко определенному номеру связи. При каноническом обрамлении вышеуказанная фаза является экспонентой 2πя/(k + N) умноженное на количество ссылок L с собой.

Задача (Продолжение многочлена Джонса на трехмерные многообразия общего вида)

`` Исходный многочлен Джонса был определен для 1-звеньев в 3-сфере (3-шар, 3-пространство R3). Можете ли вы определить полином Джонса для 1-звеньев в любом 3-многообразии? ''

См. Раздел 1.1 данной статьи.^[3] за предысторию и историю этой проблемы. Кауфман представил решение в случае многообразия-произведения замкнутой ориентированной поверхности и отрезка, введя виртуальные 1-узлы.^[4] В остальных случаях он открыт. Интеграл по путям Виттена для полинома Джонса формально записывается для зацеплений в любом компактном 3-многообразии, но исчисление не выполняется даже на уровне физики в любом случае, кроме 3-сферы (3-шар, 3-пространство р³). Эта проблема также открыта на уровне физики. В случае полинома Александера эта проблема решена.

Связь с другими теориями

Топологические теории струн

Дальнейшая информация: Топологическая теория струн

В контексте теория струн, а U(N) Теория Черна – Саймонса на ориентированном лагранжевом 3-подмногообразии M 6-многообразия Икс возникает как теория поля струн открытых струн, оканчивающихся на D-брана упаковка Икс в Модель топологическая теория струн на Икс. В B-модель топологическая теория поля открытой струны на заполняющем мировом объеме стопки D5-бран является 6-мерным вариантом теории Черна – Саймонса, известной как голоморфная теория Черна – Саймонса.

WZW и матричные модели

Теории Черна – Саймонса связаны со многими другими теориями поля. Например, если рассматривать теорию Черна – Саймонса с калибровочной группой G на многообразии с краем, то все 3-мерные распространяющиеся степени свободы могут быть откалиброваны, оставляя двумерная конформная теория поля известный как G Модель Весса – Зумино – Виттена. на границе. В дополнение U(N) и так(N) Теории Черна – Саймонса в целом N хорошо аппроксимируются матричные модели.

Теория гравитации Черна – Саймонса

В 1982 г. С. Дезер, Р. Джекив и С. Темплтон предложили теорию гравитации Черна – Саймонса в трех измерениях, в которой Действие Эйнштейна – Гильберта в теории гравитации модифицируется путем добавления члена Черна – Саймонса.Дезер, Джеки и Темплтон (1982)

В 2003 г. Р. Джеки и С. И. Пи расширили эту теорию до четырех измерений. Джеки и Пи (2003) и теория гравитации Черна – Саймонса оказывает значительное влияние не только на фундаментальную физику, но также на теорию конденсированного состояния и астрономию.

Четырехмерный случай очень похож на трехмерный случай. В трех измерениях гравитационный член Черна – Саймонса равен

${\displaystyle CS(\Gamma )={\frac {1}{2\pi ^{2}}}\int d^{3}x\varepsilon ^{ijk}{\biggl (}\Gamma _{iq}^{p}\partial _{j}\Gamma _{kp}^{q}+{\frac {2}{3}}\Gamma _{iq}^{p}\Gamma _{jr}^{q}\Gamma _{kp}^{r}{\biggr )}.}$

Этот вариант дает Тензор хлопка

${\displaystyle =-{\frac {1}{2{\sqrt {g}}}}{\bigl (}\varepsilon ^{mij}D_{i}R_{j}^{n}+\varepsilon ^{nij}D_{i}R_{j}^{m}).}$

Затем выполняется модификация трехмерной гравитации Черна – Саймонса путем добавления вышеупомянутого тензора Коттона к уравнению поля, которое может быть получено как решение для вакуума путем изменения действия Эйнштейна – Гильберта.

Смотрите также (2 + 1) –мерная топологическая гравитация.

Материальные теории Черна – Саймонса

В 2013 году Kenneth A. Intriligator и Натан Зайберг решил эти трехмерные калибровочные теории Черна – Саймонса и их фазы, используя монополи несущие дополнительные степени свободы. В Индекс Виттена из многих Vacua обнаруженный был вычислен путем компактизации пространства путем включения массовых параметров и последующего вычисления индекса. В каком-то вакууме суперсимметрия был вычислен как сломанный. Эти монополи были связаны с конденсированное вещество вихри. (Intriligator и Seiberg (2013) )

В N = 6 Теория материи Черна – Саймонса - это голографический двойной М-теории на ${\displaystyle AdS_{4}\times S_{7}}$.

Члены Черна – Саймонса в других теориях

Термин Черна – Саймонса также может быть добавлен к моделям, которые не являются топологическими квантовыми теориями поля. В 3D это приводит к массивному фотон если добавить этот член к действию теории Максвелла электродинамика. Этот член может быть получен интегрированием по массивному заряженному Поле Дирака. Он также появляется, например, в квантовый эффект холла. Десятимерные и одиннадцатимерные обобщения термов Черна – Саймонса появляются в действиях всех десятимерных и одиннадцатимерных супергравитация теории.

Однопетлевые перенормировки уровня

Если добавить материю к калибровочной теории Черна – Саймонса, то она, вообще говоря, перестанет быть топологической. Однако если добавить n Майорана фермионы тогда из-за аномалия четности, при интегрировании они приводят к чистой теории Черна – Саймонса с однопетлевой перенормировка уровня Черна – Саймонса на -п/ 2, другими словами, теория уровня k с n фермионами эквивалентна уровню k − п/ 2 теория без фермионов.

Смотрите также

• Калибровочная теория (математика)
• Форма Черна – Саймонса
• Топологическая квантовая теория поля
• Полином александра
• Многочлен Джонса
• 2 + 1D топологическая гравитация

использованная литература

• Черн, С.-С. И Саймонс Дж. (1974). «Характерные формы и геометрические инварианты». Анналы математики. 99 (1): 48–69. Дои:10.2307/1971013. JSTOR  1971013.
• Дезер, Стэнли; Джекив, Роман; Темплтон, С. (1982). "Трехмерные массовые калибровочные теории" (PDF). Письма с физическими проверками. 48 (15): 975–978. Bibcode:1982ПхРвЛ..48..975Д. Дои:10.1103 / PhysRevLett.48.975.
• Intriligator, Кеннет; Зайберг, Натан (2013). "Аспекты 3D N = 2 теории материи Черна – Саймонса ». Журнал физики высоких энергий. 2013: 79. arXiv:1305.1633. Bibcode:2013JHEP ... 07..079I. Дои:10.1007 / JHEP07 (2013) 079. S2CID  119106931.
• Джекив, Роман; Пи, С.-И (2003). "Модификация общей теории относительности Черна – Саймонса". Физический обзор D. 68 (10): 104012. arXiv:gr-qc / 0308071. Bibcode:2003PhRvD..68j4012J. Дои:10.1103 / PhysRevD.68.104012. S2CID  2243511.
• Кульшрешта, Уша; Kulshreshtha, D.S .; Mueller-Kirsten, H. J. W .; Вары, Дж. П. (2009). «Гамильтониан, интеграл по путям и БРСТ-формулировки теории Черна-Саймонса-Хиггса при соответствующей фиксации калибровки». Physica Scripta . 79 (4): 045001. Bibcode:2009ФИЗЫ ... 79d5001K. Дои:10.1088/0031-8949/79/04/045001.
• Кульшрешта, Уша; Kulshreshtha, D.S .; Вары, Дж. П. (2010). "Гамильтониан светового фронта, интеграл по путям и БРСТ-формулировки теории Черна-Саймонса-Хиггса при соответствующей фиксации калибровки". Physica Scripta. 82 (5): 055101. Bibcode:2010ФиСи ... 82e5101K. Дои:10.1088/0031-8949/82/05/055101.
• Лопес, Ана; Фрадкин, Эдуардо (1991). «Дробный квантовый эффект Холла и калибровочные теории Черна-Саймонса». Физический обзор B. 44 (10): 5246–5262. Bibcode:1991ПхРвБ..44.5246Л. Дои:10.1103 / PhysRevB.44.5246. PMID  9998334.
• Марино, Маркос (2005). "Теория Черна – Саймонса и топологические струны". Обзоры современной физики. 77 (2): 675–720. arXiv:hep-th / 0406005. Bibcode:2005РвМП ... 77..675М. Дои:10.1103 / RevModPhys.77.675. S2CID  6207500.
• Марино, Маркос (2005). Теория Черна – Саймонса, матричные модели и топологические струны.. Международная серия монографий по физике. Oxford University Press.
• Виттен, Эдвард (1988). «Топологическая квантовая теория поля». Коммуникации по математической физике. 117 (3): 353–386. Bibcode:1988CMaPh.117..353W. Дои:10.1007 / BF01223371. S2CID  43230714.
• Виттен, Эдвард (1989). «Квантовая теория поля и многочлен Джонса». Коммуникации по математической физике. 121 (3): 351–399. Bibcode:1989CMaPh.121..351W. Дои:10.1007 / BF01217730. Г-Н  0990772. S2CID  14951363.
• Виттен, Эдвард (1995). "Теория Черна – Саймонса как теория струн". Успехи в математике. 133: 637–678. arXiv:hep-th / 9207094. Bibcode:1992hep.th .... 7094 Вт.

Конкретный

1. Фридман, Майкл Х .; Китаев, Алексей; Ларсен, Майкл Дж .; Ван, Чжэнхань (20 сентября 2002). «Топологические квантовые вычисления». arXiv:Quant-ph / 0101025.
2. Ван, Чжэнхань. «Топологические квантовые вычисления» (PDF).
3. Кауфман, L.H; Огаса, Э; Шнайдер, J (2018), Вращающаяся конструкция для виртуальных 1-узлов и 2-узлов, а также послойная и сварная эквивалентность виртуальных 1-узлов, arXiv:1808.03023
4. Кауфман, Л. (1998), Обсуждения на встрече ИИГС в январе 1997 г., Встреча AMS в Университете Мэриленда, Колледж-Парк в марте 1997 г., Лекция в Институте Исаака Ньютона в ноябре 1997 г., Встреча Узлов в Элладе в Дельфи, Греция в июле 1998 г., Симпозиум APCTP-NANKAI по системам Янга-Бакстера , Нелинейные модели и приложения, Сеул, Корея, октябрь 1998 г., Теория виртуальных узлов, European J. Combin. 20 (1999) 663–690, arXiv:математика / 9811028

внешняя ссылка

• «Функционал Черна-Симонса», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]