Антисимметричное отношение - Antisymmetric relation

Бинарные отношения
Симметричный Антисимметричный Connex Обоснованный Присоединяется Встречается Отношение эквивалентности ✓ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Предварительный заказ (Квазипорядок) ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Частичный заказ ✗ ✓ ✗ ✗ ✗ ✗ Всего предзаказ ✗ ✗ ✓ ✗ ✗ ✗ Общий заказ ✗ ✓ ✓ ✗ ✗ ✗ Предварительный заказ ✗ ✗ ✓ ✓ ✗ ✗ Хорошо-квазиупорядоченный ✗ ✗ ✗ ✓ ✗ ✗ Хороший порядок ✗ ✓ ✓ ✓ ✗ ✗ Решетка ✗ ✓ ✗ ✗ ✓ ✓ Соединение-полурешетка ✗ ✓ ✗ ✗ ✓ ✗ Встреча-полурешетка ✗ ✓ ✗ ✗ ✗ ✓
А "✓"означает, что свойство столбца требуется в определении строки. Например, определение отношения эквивалентности требует, чтобы оно было симметричным. Все определения молчаливо требуют транзитивность и рефлексивность.

В математика, а однородное отношение р на набор Икс является антисимметричный если нет пары отчетливый элементы Икс каждый из которых связан р к другому. Более формально р антисимметричен именно тогда, когда для всех а и б в Икс

если р(а, б) с а ≠ б, тогда р(б, а) не должен держаться,

или, что то же самое,

если р(а, б) и р(б, а), тогда а = б.

(Определение антисимметрии ничего не говорит о том, р(а, а) действительно выполняется или нет для любого а.)

Примеры

В делимость отношения на натуральные числа является важным примером антисимметричного отношения. В этом контексте антисимметрия означает, что единственный способ деления каждого из двух чисел на другое - это если эти два числа фактически являются одним и тем же числом; эквивалентно, если п и м отличны и п фактор м, тогда м не может быть фактором п. Например, 12 делится на 4, но 4 не делится на 12.

Обычный отношение порядка ≤ на действительные числа антисимметричен: если для двух действительных чисел Икс и у обе неравенство Икс ≤ у и у ≤ Икс держись тогда Икс и у должны быть равны. Точно так же порядок подмножеств ⊆ на подмножествах любого данного множества антисимметрична: для данных двух множеств А и B, если каждые элемент в А также находится в B и каждый элемент в B также в А, тогда А и B должны содержать все одинаковые элементы и, следовательно, быть равными:

${\displaystyle A\subseteq B\land B\subseteq A\Rightarrow A=B}$

Примером из реальной жизни отношения, которое обычно является антисимметричным, является «оплачен счет ресторана» (понимаемый как ограниченный конкретным случаем). Обычно одни люди оплачивают свои собственные счета, а другие - своих супругов или друзей. Пока нет двух людей, которые платят друг другу по счетам, отношения антисимметричны.

Характеристики

Частичное и общее количество заказов антисимметричны по определению. Отношение может быть как симметричный и антисимметричный (в этом случае он должен быть coreflexive ), и есть отношения, которые не являются ни симметричными, ни антисимметричными (например, отношение "жертвы" в биологических разновидность ).

Антисимметрия отличается от асимметрия: отношение асимметрично тогда и только тогда, когда оно антисимметрично и иррефлексивный.

Смотрите также

• Симметрия в математике

Рекомендации

• Вайсштейн, Эрик В. «Антисимметричное отношение». MathWorld.
• Липшуц, Сеймур; Марк Ларс Липсон (1997). Теория и проблемы дискретной математики. Макгроу-Хилл. п.33. ISBN  0-07-038045-7.
• Антисимметричное отношение nLab