Асимметричное отношение - Asymmetric relation

В математика, асимметричное отношение это бинарное отношение на набор Икс куда

• Для всех а и б в Икс, если а относится к б, тогда б не имеет отношения к а.^[1]

Это можно записать в обозначениях логика первого порядка в качестве

${\displaystyle \forall a,b\in X:aRb\rightarrow \lnot (bRa).}$

А логически эквивалентный определение ${\displaystyle \forall a,b\in X:\lnot (aRb\wedge bRa).}$ Примером асимметричного отношения является "меньше, чем "отношение <между действительные числа: если x симметричный ": отношение" меньше или равно "является примером отношения, которое не является ни симметричным, ни асимметричным. пустое отношение это единственное отношение, которое (бессмысленно ) как симметричные, так и асимметричные.

Характеристики

• Отношение асимметрично тогда и только тогда, когда оно одновременно антисимметричный и иррефлексивный.^[2]
• Ограничения и разговаривает асимметричных отношений также асимметричны. Например, ограничение <с действительных чисел на целые числа по-прежнему асимметрично, и обратное> <также является асимметричным.
• А переходное отношение асимметричен тогда и только тогда, когда он иррефлексивен:^[3] если арб и братранзитивность дает ара, противоречащие иррефлексивности.
• Как следствие, отношение транзитивно и асимметрично тогда и только тогда, когда оно строгий частичный порядок.
• Не все асимметричные отношения являются строгими частичными порядками. Пример асимметричного нетранзитивного даже антитранзитивный отношение - это камень ножницы Бумага отношение: если Икс удары Y, тогда Y не бьет Икс; и если Икс удары Y и Y удары Z, тогда Икс не бьет Z.
• Асимметричное отношение не обязательно должно иметь Connex свойство. Например, строгое подмножество отношение ⊊ асимметрично, и ни одно из множеств {1,2} и {3,4} не является строгим подмножеством другого.

Смотрите также

• Аксиоматизация действительных чисел Тарским - частью этого является требование, чтобы <над действительными числами был асимметричным.

Рекомендации

1. Грис, Дэвид; Шнайдер, Фред Б. (1993), Логический подход к дискретной математике, Springer-Verlag, стр.273.
2. Нивергельт, Ив (2002), Основы логики и математики: приложения к информатике и криптографии, Springer-Verlag, стр.158.
3. Флашка, В .; Ježek, J .; Кепка, Т .; Кортелайнен, Дж. (2007). Транзитивные замыкания бинарных отношений I (PDF). Прага: Школа математики - Карлов университет физики. п. 1. Архивировано из оригинал (PDF) на 2013-11-02. Получено 2013-08-20. Лемма 1.1 (iv). Обратите внимание, что этот источник называет асимметричные отношения «строго антисимметричными».