Теория Аткина – Ленера - Atkin–Lehner theory

В математике Теория Аткина – Ленера является частью теории модульные формы описывая, когда они возникают в данном целом числе уровень N таким образом, что теория Операторы Гекке может быть расширен до более высоких уровней.

Теория Аткина – Ленера основана на концепции новая форма, который является куспид "новый" на данный момент уровень N, где уровни - вложенные подгруппы конгруэнции:

${displaystyle Gamma _{0}(N)=left{{egin{pmatrix}a&bc&dend{pmatrix}}in { ext{SL}}(2,mathbf {Z} ):cequiv 0{pmod {N}}ight}}$

из модульная группа, с участием N заказан делимость. То есть, если M разделяет N, Γ₀(N) это подгруппа из Γ₀(M). В старые формы для Γ₀(N) являются модульными формами f (τ) уровня N формы г(d τ) для модульных форм г уровня M с участием M собственный делитель N, где d разделяет N / M. Новые формы определяются как векторное подпространство модульных форм уровня N, дополнительное к пространству, натянутому на старые формы, то есть к ортогональному пространству относительно Внутренний продукт Петерсона.

В Операторы Гекке, которые действуют в пространстве всех кусп-форм, сохраняют подпространство новых форм и являются самосопряженный и коммутирующие операторы (относительно внутреннего произведения Петерсона) при ограничении этим подпространством. Следовательно, алгебра операторов на порождаемых ими новых формах является конечномерным C * -алгебра что коммутативно; и по спектральная теория таких операторов, существует базис пространства новых форм, состоящий из собственных форм для полного Алгебра Гекке.

Инволюции Аткина – Ленера

Рассмотрим Делитель холла е из N, что означает, что не только е делить N, но также е и N/е относительно простые (часто обозначаются е||N). Если N имеет s различных простых делителей, есть 2^s Делители холла N; например, если N = 360 = 2³⋅3²⋅5¹, 8 делителей Холла N 1, 2³, 3², 5¹, 2³⋅3², 2³⋅5¹, 3²⋅5¹, и 2³⋅3²⋅5¹.

Для каждого делителя Холла е из N, выберем интегральную матрицу W_е формы

${displaystyle W_{e}={egin{pmatrix}ae&bcN&deend{pmatrix}}}$

с дет W_е = е. Эти матрицы обладают следующими свойствами:

• Элементы W_е нормализовать Γ₀(N): то есть, если А находится в Γ₀(N), тогда W_еAW⁻¹
  _е находится в Γ₀(N).
• Матрица W²
  _е, имеющий определитель е², можно записать как eA где А находится в Γ₀(N). Нас будут интересовать операторы на куспид-формах, возникающие в результате действия W_е на Γ₀(N) сопряжением, при котором как скалярные е и матрица А действовать банально. Следовательно, равенство W²
  _е = eA означает, что действие W_е квадраты к тождеству; по этой причине результирующий оператор называется Инволюция Аткина – Ленера.
• Если е и ж оба являются делителями Холла N, то W_е и W_ж коммутировать по модулю Γ₀(N). Более того, если мы определим г быть делителем Холла г = ef/(е,ж)², их произведение равно W_г по модулю Γ₀(N).
• Если бы мы выбрали другую матрицу W′_е вместо того W_е, Оказывается, что W_е ≡ W′_е по модулю Γ₀(N), так W_е и W′_е определит ту же инволюцию Аткина – Ленера.

Мы можем резюмировать эти свойства следующим образом. Рассмотрим подгруппу в GL (2,Q) порожденная Γ₀(N) вместе с матрицами W_е; пусть Γ₀(N)⁺ обозначим его фактор положительными скалярными матрицами. Тогда Γ₀(N) - нормальная подгруппа группы Γ₀(N)⁺ индекса 2^s (где s количество различных простых делителей N); фактор-группа изоморфна (Z/2Z)^s и действует на касп-формы через инволюции Аткина – Ленера.

использованная литература

• Мокану, Андреа. (2019). "Теория Аткина-Ленера Γ₁(м) -Модульные формы "
• Аткин, А.О.; Ленер, Дж. (1970), «Операторы Гекке на Γ₀ (м) ", Mathematische Annalen, 185 (2): 134–160, Дои:10.1007 / BF01359701, ISSN  0025-5831, Г-Н  0268123
• Коитиро Харада (2010) «Самогон» конечных групп, стр.13, Европейское математическое общество ISBN  978-3-03719-090-6 Г-Н2722318