Спектральная теорема - Spectral theorem - Wikipedia

В математика, особенно линейная алгебра и функциональный анализ, а спектральная теорема результат того, когда линейный оператор или же матрица возможно диагонализованный (то есть представлен как диагональная матрица в какой-то базе). Это чрезвычайно полезно, потому что вычисления с использованием диагонализуемой матрицы часто могут быть сведены к гораздо более простым вычислениям с использованием соответствующей диагональной матрицы. Концепция диагонализации относительно проста для операторов в конечномерных векторных пространствах, но требует некоторой модификации для операторов в бесконечномерных пространствах. В общем, спектральная теорема определяет класс линейные операторы что может быть смоделировано операторы умножения, которые настолько просты, насколько можно надеяться найти. Говоря более абстрактным языком, спектральная теорема - это утверждение о коммутативности C * -алгебры. Смотрите также спектральная теория для исторической перспективы.

Примеры операторов, к которым применима спектральная теорема: самосопряженные операторы или в более общем смысле нормальные операторы на Гильбертовы пространства.

Спектральная теорема также дает канонический разложение, называемое спектральное разложение, разложение на собственные значения, или же собственное разложение, лежащего в основе векторного пространства, в котором действует оператор.

Огюстен-Луи Коши доказал спектральную теорему для самосопряженные матрицы, т.е. что каждая действительная симметричная матрица диагонализуема. Вдобавок Коши был первым, кто систематизировал детерминанты.^[1]^[2] Спектральная теорема в обобщении Джон фон Нейман сегодня, пожалуй, самый важный результат теории операторов.

В этой статье основное внимание уделяется простейшему виду спектральной теоремы, что для самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве. Однако, как отмечалось выше, спектральная теорема верна и для нормальных операторов в гильбертовом пространстве.

Конечномерный случай

Эрмитовы отображения и эрмитовы матрицы

Начнем с рассмотрения Эрмитова матрица на ${ displaystyle mathbb {C} ^ {n}}$ (но следующее обсуждение будет адаптировано к более ограниченному случаю симметричные матрицы на ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$ ). Мы рассматриваем Эрмитская карта $А$ на конечномерном сложный внутреннее пространство продукта $V$ наделен положительно определенный полуторалинейный внутренний продукт ${ Displaystyle langle cdot, cdot rangle}$ . Эрмитовское условие на ${ displaystyle A}$ означает, что для всех $Икс, у \in V$ ,

{ displaystyle langle Ax, y rangle = langle x, Ay rangle.}

Эквивалентным условием является то, что $А * = А$ , куда $А *$ это Эрмитово сопряжение из $А$ . В случае, если $А$ отождествляется с эрмитовой матрицей, матрица $А *$ можно отождествить с его сопряженный транспонировать. (Если $А$ это вещественная матрица, это эквивалентно $А Т = А$ , то есть, $А$ это симметричная матрица.)

Из этого условия следует, что все собственные значения эрмитова отображения действительны: его достаточно применить к случаю, когда $Икс = у$ - собственный вектор. (Напомним, что собственный вектор линейной карты $А$ является (ненулевым) вектором $Икс$ такой, что $Топор = λx$ для некоторого скаляра $λ$ . Значение $λ$ соответствующий собственное значение. Более того, собственные значения корни характеристический многочлен.)

Теорема. Если $А$ эрмитово, существует ортонормированный базис из $V$ состоящий из собственных векторов $А$ . Каждое собственное значение реально.

Мы приводим набросок доказательства для случая, когда основным полем скаляров является сложные числа.

Посредством основная теорема алгебры, применительно к характеристический многочлен из $А$ , есть хотя бы одно собственное значение $λ 1$ и собственный вектор $е 1$ . Тогда, поскольку

{ displaystyle lambda _ {1} langle e_ {1}, e_ {1} rangle = langle A (e_ {1}), e_ {1} rangle = langle e_ {1}, A (e_ {1}) rangle = { bar { lambda}} _ {1} langle e_ {1}, e_ {1} rangle,}

мы находим, что $λ 1$ реально. Теперь рассмотрим пространство $K = span {е 1} ⊥$ , то ортогональное дополнение из $е 1$ . По отшельничеству, $K$ является инвариантное подпространство из $А$ . Применяя тот же аргумент к $K$ показывает, что $А$ имеет собственный вектор $е 2 \in K$ . Тогда конечная индукция завершает доказательство.

Спектральная теорема верна также для симметричных отображений на конечномерных вещественных пространствах скалярного произведения, но существование собственного вектора не следует непосредственно из основная теорема алгебры. Чтобы доказать это, рассмотрим $А$ как эрмитова матрица и использовать тот факт, что все собственные значения эрмитовой матрицы действительны.

Матричное представление $А$ в базисе собственных векторов диагональный, и по построению доказательство дает базис взаимно ортогональных собственных векторов; выбирая их в качестве единичных векторов, можно получить ортонормированный базис собственных векторов. $А$ можно записать в виде линейной комбинации попарно ортогональных проекций, называемой ее спектральное разложение. Позволять

{ Displaystyle V _ { lambda} = {v in V: Av = lambda v }}

- собственное подпространство, соответствующее собственному значению $λ$ . Обратите внимание, что определение не зависит от выбора конкретных собственных векторов. $V$ ортогональная прямая сумма пространств $V λ$ где индекс пробегает собственные значения.

Другими словами, если $п λ$ обозначает ортогональная проекция на $V λ$ , и $λ 1, ..., λ м$ являются собственными значениями $А$ , то спектральное разложение можно записать как

{ displaystyle A = lambda _ {1} P _ { lambda _ {1}} + cdots + lambda _ {m} P _ { lambda _ {m}}.}

Если спектральное разложение А является ${ displaystyle A = lambda _ {1} P_ {1} + cdots + lambda _ {m} P_ {m}}$ , тогда ${ displaystyle A ^ {2} = ( lambda _ {1}) ^ {2} P_ {1} + cdots + ( lambda _ {m}) ^ {2} P_ {m}}$ и ${ displaystyle mu A = mu lambda _ {1} P_ {1} + cdots + mu lambda _ {m} P_ {m}}$ для любого скаляра ${ displaystyle mu.}$ Отсюда следует, что для любого полинома $ж$ надо

{ displaystyle f (A) = f ( lambda _ {1}) P_ {1} + cdots + f ( lambda _ {m}) P_ {m}.}

Спектральное разложение является частным случаем как Разложение Шура и разложение по сингулярным числам.

Нормальные матрицы

Спектральная теорема распространяется на более общий класс матриц. Позволять $А$ - оператор в конечномерном внутреннем пространстве продукта. $А$ как говорят нормальный если $А * А = AA *$ . Можно показать, что $А$ нормально тогда и только тогда, когда он унитарно диагонализуем. Доказательство: Разложение Шура, мы можем записать любую матрицу в виде $А = UTU *$ , куда $U$ унитарен и $Т$ верхнетреугольный. $А$ нормально, видно, что $TT * = Т * Т$ . Следовательно, $Т$ должна быть диагональной, поскольку нормальная верхнетреугольная матрица диагональна (см. нормальная матрица ). Обратное очевидно.

Другими словами, $А$ нормально тогда и только тогда, когда существует унитарная матрица $U$ такой, что

{ displaystyle A = UDU ^ {*},}

куда $D$ это диагональная матрица. Тогда элементы диагонали $D$ являются собственные значения из $А$ . Векторы-столбцы $U$ являются собственными векторами $А$ и они ортонормированы. В отличие от эрмитского случая, записи $D$ не обязательно быть реальным.

Компактные самосопряженные операторы

В более общем контексте гильбертовых пространств, которые могут иметь бесконечную размерность, утверждение спектральной теоремы для компактный самосопряженные операторы практически такое же, как и в конечномерном случае.

Теорема. Предполагать $А$ является компактным самосопряженным оператором в (действительном или комплексном) гильбертовом пространстве $V$ . Тогда есть ортонормированный базис из $V$ состоящий из собственных векторов $А$ . Каждое собственное значение реально.

Что касается эрмитовых матриц, ключевым моментом является доказательство существования хотя бы одного ненулевого собственного вектора. Нельзя полагаться на детерминанты, чтобы показать существование собственных значений, но можно использовать аргумент максимизации, аналогичный вариационной характеризации собственных значений.

Если снять предположение о компактности, то это нет правда, что каждый самосопряженный оператор имеет собственные векторы.

Ограниченные самосопряженные операторы

Возможное отсутствие собственных векторов

Следующее обобщение, которое мы рассматриваем, - это обобщение ограниченный самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве. Такие операторы могут не иметь собственных значений: например, пусть $А$ - оператор умножения на $т$ на $L 2 [0, 1]$ , то есть,^[3]

{ displaystyle [A varphi] (t) = t varphi (t). ;}

Теперь физик сказал бы, что ${ displaystyle A}$ делает имеют собственные векторы, а именно ${ Displaystyle varphi (т) = дельта (т-т_ {0})}$ , куда ${ displaystyle delta}$ является дельта-функцией Дирака. Однако дельта-функция не является нормализуемой функцией; то есть на самом деле его нет в гильбертовом пространстве $L 2 [0, 1]$ . Таким образом, дельта-функции являются «обобщенными собственными векторами», но не собственными векторами в строгом смысле слова.

Спектральные подпространства и проекционно-значные меры

При отсутствии (истинных) собственных векторов можно искать подпространства, состоящие из почти собственные векторы. В приведенном выше примере, например, где ${ displaystyle [A varphi] (t) = t varphi (t), ;}$ мы могли бы рассматривать подпространство функций, поддерживаемых на небольшом интервале ${ Displaystyle [а, а + varepsilon]}$ внутри ${ displaystyle [0,1]}$ . Это пространство инвариантно относительно ${ displaystyle A}$ и для любого ${ displaystyle varphi}$ в этом подпространстве ${ displaystyle A varphi}$ очень близко к ${ displaystyle a varphi}$ . В этом подходе к спектральной теореме, если ${ displaystyle A}$ ограниченный самосопряженный оператор, ищутся большие семейства таких «спектральных подпространств».^[4] Каждое подпространство, в свою очередь, кодируется ассоциированным оператором проекции, и совокупность всех подпространств затем представляется проекционно-оценочная мера.

Одна формулировка спектральной теоремы выражает оператор $А$ как интеграл от координатной функции по операторной спектр ${ Displaystyle sigma (А)}$ относительно проекционно-значной меры.^[5]

{ displaystyle A = int _ { sigma (A)} lambda , dE _ { lambda}.}

Когда рассматриваемый самосопряженный оператор компактный эта версия спектральной теоремы сводится к чему-то похожему на конечномерную спектральную теорему выше, за исключением того, что оператор выражается как конечная или счетно бесконечная линейная комбинация проекций, то есть мера состоит только из атомов.

Версия оператора умножения

Альтернативная формулировка спектральной теоремы гласит, что каждый ограниченный самосопряженный оператор унитарно эквивалентен оператору умножения. Значение этого результата состоит в том, что операторы умножения во многих отношениях просты для понимания.

Теорема.^[6] Позволять $А$ - ограниченный самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве $ЧАС$ . Тогда есть измерить пространство $(Икс, Σ, μ)$ и ценный существенно ограниченный измеримая функция $ж$ на $Икс$ и унитарный оператор $U : ЧАС \to L 2 μ (Икс)$ такой, что

{ displaystyle U ^ {*} TU = A,}

куда

Т

это оператор умножения:

{ displaystyle [T varphi] (x) = f (x) varphi (x).}

и

{ Displaystyle | Т | = | е | _ { infty}}

Спектральная теорема - это начало обширной области исследований функционального анализа, называемой теория операторов; см. также спектральная мера.

Аналогичная спектральная теорема существует и для ограниченного нормальные операторы на гильбертовых пространствах. Единственная разница в выводе состоит в том, что сейчас $ж$ может быть комплексным.

Прямые интегралы

Также существует формулировка спектральной теоремы в терминах прямые интегралы. Он похож на формулировку оператора умножения, но более каноничен.

Позволять ${ displaystyle A}$ - ограниченный самосопряженный оператор и пусть ${ Displaystyle sigma (А)}$ быть спектром ${ displaystyle A}$ . Прямая интегральная формулировка спектральной теоремы связывает две величины с ${ displaystyle A}$ . Во-первых, мера ${ displaystyle mu}$ на ${ Displaystyle sigma (А)}$ и, во-вторых, семейство гильбертовых пространств ${ displaystyle {H _ { lambda} }, , , lambda in sigma (A).}$ Затем мы формируем прямое интегральное гильбертово пространство

{ displaystyle int _ { mathbf {R}} ^ { oplus} H _ { lambda} , d mu ( lambda).}

Элементами этого пространства являются функции (или «секции») ${ Displaystyle с ( лямбда), , , лямбда в сигма (А),}$ такой, что ${ displaystyle s ( lambda) in H _ { lambda}}$ для всех ${ displaystyle lambda}$ . Версия спектральной теоремы с прямым интегралом может быть выражена следующим образом:^[7]

Теорема. Если

{ displaystyle A}

- ограниченный самосопряженный оператор, то

{ displaystyle A}

унитарно эквивалентно "умножению на

{ displaystyle lambda}

"оператор на

{ displaystyle int _ { mathbf {R}} ^ { oplus} H _ { lambda} , d mu ( lambda)}

в какой-то мере ${ displaystyle mu}$ и немного семьи ${ displaystyle {H _ { lambda} }}$ гильбертовых пространств. Мера ${ displaystyle mu}$ однозначно определяется ${ displaystyle A}$ с точностью до теоретико-мерной эквивалентности; то есть любые две меры, связанные с одним и тем же ${ displaystyle A}$ имеют одинаковые множества нулевой меры. Размерности гильбертовых пространств ${ displaystyle H _ { lambda}}$ однозначно определяются ${ displaystyle A}$ до набора ${ displaystyle mu}$ -мерять ноль.

Пространства ${ displaystyle H _ { lambda}}$ можно рассматривать как что-то вроде "собственного пространства" для ${ displaystyle A}$ . Обратите внимание, однако, что если только одноэлементный набор ${ displaystyle { lambda}}$ имеет положительную меру, пространство ${ displaystyle H _ { lambda}}$ на самом деле не является подпространством прямого интеграла. Таким образом ${ displaystyle H _ { lambda}}$ следует рассматривать как "обобщенное собственное подпространство", то есть элементы ${ displaystyle H _ { lambda}}$ являются «собственными векторами», которые на самом деле не принадлежат гильбертову пространству.

Хотя как оператор умножения, так и прямые интегральные формулировки спектральной теоремы выражают самосопряженный оператор как унитарно эквивалентный оператору умножения, прямой интегральный подход более каноничен. Во-первых, множество, по которому имеет место прямой интеграл (спектр оператора), является каноническим. Во-вторых, функция, на которую мы умножаем, канонична в подходе прямого интеграла: просто функция ${ displaystyle lambda mapsto lambda}$ .

Циклические векторы и простой спектр

Вектор ${ displaystyle varphi}$ называется циклический вектор за ${ displaystyle A}$ если векторы ${ displaystyle varphi, A varphi, A ^ {2} varphi, ldots}$ порождают плотное подпространство гильбертова пространства. Предполагать ${ displaystyle A}$ - ограниченный самосопряженный оператор, для которого существует циклический вектор. В этом случае нет различия между формулировками спектральной теоремы с прямым интегралом и оператором умножения. Действительно, в этом случае существует мера ${ displaystyle mu}$ на спектре ${ Displaystyle sigma (А)}$ из ${ displaystyle A}$ такой, что ${ displaystyle A}$ унитарно эквивалентно "умножению на ${ displaystyle lambda}$ "оператор на ${ Displaystyle L ^ {2} ( sigma (A), mu)}$ .^[8] Этот результат представляет ${ displaystyle A}$ одновременно как оператор умножения и как прямой интеграл, поскольку ${ Displaystyle L ^ {2} ( sigma (A), mu)}$ просто прямой интеграл, в котором каждое гильбертово пространство ${ displaystyle H _ { lambda}}$ просто ${ Displaystyle mathbb {C}}$ .

Не всякий ограниченный самосопряженный оператор допускает циклический вектор; действительно, в силу единственности прямого интегрального разложения это может произойти только тогда, когда все ${ displaystyle H _ { lambda}}$ Есть измерение один. Когда это происходит, мы говорим, что ${ displaystyle A}$ имеет "простой спектр" в смысле теория множественности спектра. Таким образом, ограниченный самосопряженный оператор, допускающий циклический вектор, следует рассматривать как бесконечномерное обобщение самосопряженной матрицы с различными собственными значениями (т.е. каждое собственное значение имеет кратность один).

Хотя не каждый ${ displaystyle A}$ допускает циклический вектор, легко увидеть, что мы можем разложить гильбертово пространство как прямую сумму инвариантных подпространств, на которых ${ displaystyle A}$ имеет циклический вектор. Это наблюдение является ключом к доказательству операторно-умножительной и прямой интегральной форм спектральной теоремы.

Функциональное исчисление

Одним из важных приложений спектральной теоремы (в любой форме) является идея определения функциональное исчисление. То есть с учетом функции ${ displaystyle f}$ определены на спектре ${ displaystyle A}$ , мы хотим определить оператор ${ displaystyle f (A)}$ . Если ${ displaystyle f}$ это просто положительная сила, ${ Displaystyle е (х) = х ^ {п}}$ , тогда ${ displaystyle f (A)}$ это просто ${ Displaystyle п mathrm {th}}$ сила ${ displaystyle A}$ , ${ Displaystyle А ^ {п}}$ . Интересны случаи, когда ${ displaystyle f}$ - неполиномиальная функция, например квадратный корень или экспонента. Любая из версий спектральной теоремы обеспечивает такое функциональное исчисление.^[9] Например, в версии с прямым интегралом ${ displaystyle f (A)}$ действует как "умножение на ${ displaystyle f}$ "оператор в прямом интеграле:

{ Displaystyle [е (А) s] ( лямбда) = е ( лямбда) s ( лямбда)}

.

То есть каждое пространство ${ displaystyle H _ { lambda}}$ в прямом интеграле является (обобщенным) собственным подпространством для ${ displaystyle f (A)}$ с собственным значением ${ displaystyle f ( lambda)}$ .

Общие самосопряженные операторы

Многие важные линейные операторы, встречающиеся в анализ, Такие как дифференциальные операторы, неограниченны. Также существует спектральная теорема для самосопряженные операторы это применимо в этих случаях. В качестве примера: каждый дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами унитарно эквивалентен оператору умножения. Действительно, унитарный оператор, реализующий эту эквивалентность, есть преобразование Фурье; оператор умножения - это тип Множитель Фурье.

В общем случае спектральная теорема для самосопряженных операторов может принимать несколько эквивалентных форм.^[10] Примечательно, что все формулировки, данные в предыдущем разделе для ограниченных самосопряженных операторов - версия с проекционно-значной мерой, версия с оператором умножения и версия с прямым интегралом - по-прежнему справедливы для неограниченных самосопряженных операторов с малыми технические модификации для решения проблем с доменом.

Смотрите также

Спектральная теория компактных операторов
Спектральная теория нормальных C * -алгебр
Функциональное исчисление Бореля
Спектральная теория
Разложение матрицы
Каноническая форма
Разложение Жордана, частным случаем которого является спектральное разложение.
Разложение по сингулярным числам, обобщение спектральной теоремы на произвольные матрицы.
Собственное разложение матрицы

Примечания

^ Хокинс, Томас (1975). «Коши и спектральная теория матриц». Historia Mathematica. 2: 1–29. Дои:10.1016/0315-0860(75)90032-4.
^ Краткая история теории операторов Эванса М. Харрелла II
^ Зал 2013 Раздел 6.1
^ Зал 2013 Теорема 7.2.1.
^ Зал 2013 Теорема 7.12.
^ Зал 2013 Теорема 7.20.
^ Зал 2013 Теорема 7.19.
^ Зал 2013 Лемма 8.11.
^ Например., Зал 2013 Определение 7.13.
^ См. Раздел 10.1 Зал 2013

Функциональный анализ (темы – глоссарий )
Пространства	Гильбертово пространство Банахово пространство Fréchet space топологическое векторное пространство
Теоремы	Теорема Хана – Банаха теорема о замкнутом графике принцип равномерной ограниченности Теорема Какутани о неподвижной точке Теорема Крейна – Мильмана теорема мин-макс Теорема Гельфанда – Наймарка. Теорема Банаха – Алаоглу
Операторы	ограниченный оператор компактный оператор сопряженный оператор унитарный оператор Оператор Гильберта – Шмидта класс трассировки неограниченный оператор
Алгебры	Банахова алгебра C * -алгебра спектр C * -алгебры операторная алгебра групповая алгебра локально компактной группы алгебра фон Неймана
Открытые проблемы	проблема инвариантного подпространства Гипотеза Малера
Приложения	Бесовское пространство Харди космос спектральная теория обыкновенных дифференциальных уравнений тепловое ядро теорема об индексе вариационное исчисление функциональное исчисление интегральный оператор Многочлен Джонса топологическая квантовая теория поля некоммутативная геометрия Гипотеза Римана
Дополнительные темы	локально выпуклое пространство свойство аппроксимации сбалансированный набор Пространство Шварца слабая топология ствольное пространство Расстояние Банаха – Мазура Теория Томиты – Такесаки

Спектральная теория и ^*-алгебры
Базовые концепты	Инволюция / * - алгебра Банахова алгебра B * -алгебра C * -алгебра Некоммутативная топология Прогнозно-оценочная мера Спектр Спектр C * -алгебры Спектральный радиус Место оператора
Основные результаты	Теорема Гельфанда – Мазура. Теорема Гельфанда – Наймарка. Представительство Гельфанда Полярное разложение Разложение по сингулярным числам Спектральная теорема Спектральная теория нормальных C * -алгебр
Специальные элементы / операторы	Изоспектральный Нормальный оператор Эрмитский / Самосопряженный оператор Унитарный оператор Единица измерения
Спектр	Теорема Крейна – Рутмана. Нормальное собственное значение Спектр C * -алгебры Спектральный радиус Спектральная асимметрия Спектральный промежуток
Разложение спектра	(Непрерывный Точка Остаточный ) Примерная точка Сжатие Дискретный Спектральная абсцисса
Спектральная теорема	Функциональное исчисление Бореля Теорема мин-макс Прогнозно-оценочная мера Проектор Рисса Оснащенное гильбертово пространство Спектральная теорема Спектральная теория компактных операторов Спектральная теория нормальных C * -алгебр
Специальные алгебры	Аменабельная банахова алгебра С Примерная личность Банахова функциональная алгебра Дисковая алгебра Равномерная алгебра
Конечномерный	Граница Алон – Боппана Теорема Бауэра – Фике. Числовой диапазон Теорема Шура – Хорна
Обобщения	Спектр Дирака Основной спектр Псевдоспектр Пространство структуры (Шиловский рубеж )
Разное	Абстрактная индексная группа Когомологии банаховой алгебры Теорема факторизации Коэна – Хьюитта Расширения симметричных операторов Принцип ограничения поглощения Неограниченный оператор
Примеры	Винеровская алгебра
Приложения	Оператор почти Матье Теорема короны Услышав форму барабана (Собственное значение Дирихле ) Тепловое ядро Формула следа Кузнецова Слабая пара Функция прото-значения График Рамануджана Неравенство Рэлея – Фабера – Крана. Спектральная геометрия Спектральный метод Спектральная теория обыкновенных дифференциальных уравнений Теория Штурма – Лиувилля Сверхсильное приближение Оператор трансфера Теория трансформации Закон Вейля