Банаховый пучок - Banach bundle

В математика, а Банаховый пучок это векторный набор каждое из волокон которого является Банахово пространство, т.е. полный нормированное векторное пространство, возможно, бесконечного измерения.

Определение банахова расслоения

Позволять M быть Банахово многообразие класса C^п с п ≥ 0, называемый базовое пространство; позволять E быть топологическое пространство, называется общая площадь; позволять π : E → M быть сюръективный непрерывная карта. Предположим, что для каждой точки Икс ∈ M, то волокно E_Икс = π⁻¹(Икс) задана структура банахова пространства. Позволять

{ displaystyle {U_ {i} | я in I }}

быть открытая крышка из M. Предположим также, что для каждого я ∈ я, существует банахово пространство Икс_я и карта τ_я

{ displaystyle tau _ {i}: pi ^ {- 1} (U_ {i}) to U_ {i} times X_ {i}}

такой, что

карта τ_я это гомеоморфизм коммутируя с проекцией на U_я, т.е. следующие диаграмма коммутирует:

и для каждого Икс ∈ U_я индуцированная карта τ_ix на волокне E_Икс

{ displaystyle tau _ {ix}: pi ^ {- 1} (x) to X_ {i}}

является обратимый непрерывная линейная карта, т.е. изоморфизм в категория из топологические векторные пространства;

если U_я и U_j два члена открытой обложки, то карта

{ Displaystyle U_ {i} cap U_ {j} to mathrm {Lin} (X_ {i}; X_ {j})}

{ Displaystyle х mapsto ( тау _ {j} circ tau _ {я} ^ {- 1}) _ {х}}

это морфизм (дифференцируемая карта класса C^п), где Лин (Икс; Y) обозначает пространство всех непрерывных линейных отображений из топологического векторного пространства Икс в другое топологическое векторное пространство Y.

Коллекция {(U_я, τ_я)|я∈я} называется банальное покрытие за π : E → M, а карты τ_я называются упрощение карт. Два тривиальных покрытия называются эквивалент если их объединение снова удовлетворяет двум вышеуказанным условиям. An класс эквивалентности таких тривиализирующих покрытий, как говорят, определяют структуру Банаховый пучок на π : E → M.

Если все пробелы Икс_я изоморфны как топологические векторные пространства, то можно считать, что все они равны одному и тому же пространству Икс. В этом случае, π : E → M считается Банаховый пучок с волокном Икс. Если M это связанное пространство то это обязательно так, поскольку множество точек Икс ∈ M для которого существует тривиализирующее отображение

{ displaystyle tau _ {ix}: pi ^ {- 1} (x) to X}

для данного пространства Икс оба открыто и закрыто.

В конечномерном случае второе условие следует из первого.

Примеры банаховых связок

Если V - любое банахово пространство, касательное пространство Т_ИксV к V в любой момент Икс ∈ V изоморфна очевидным образом V сам. В касательный пучок ТV из V тогда является банаховым расслоением с обычной проекцией

{ Displaystyle pi: mathrm {T} V to V;}

{ Displaystyle (х, v) mapsto х.}

Это расслоение «тривиально» в том смысле, что TV допускает глобально определенное тривиализирующее отображение: функция идентичности

{ Displaystyle тау = mathrm {id}: pi ^ {- 1} (V) = mathrm {T} V to V times V;}

{ Displaystyle (х, v) mapsto (х, v).}

Если M - любое банахово многообразие, касательное расслоение TM из M образует банахово расслоение относительно обычной проекции, но может быть нетривиальным.
Точно так же котангенсный пучок Т *M, слой которого над точкой Икс ∈ M это топологическое двойственное пространство к касательному пространству в Икс:

{ displaystyle pi ^ {- 1} (x) = mathrm {T} _ {x} ^ {*} M = ( mathrm {T} _ {x} M) ^ {*};}

также образует банахово расслоение относительно обычной проекции на M.

Есть связь между Пространства Бохнера и банаховы связки. Рассмотрим, например, пространство Бохнера Икс = L²([0, Т]; ЧАС¹(Ω)), который может возникнуть как полезный объект при изучении уравнение теплопроводности в области Ω. Можно искать решения σ ∈ Икс к уравнению теплопроводности; на каждый раз т, σ(т) - функция в Соболевское пространство ЧАС¹(Ω). Можно также подумать о Y = [0, Т] × ЧАС¹(Ω), которая как Декартово произведение также имеет структуру банахова расслоения над многообразием [0,Т] с волокном ЧАС¹(Ω), в этом случае элементы / решения σ ∈ Икс находятся поперечные сечения пакета Y определенной закономерности (L², собственно говоря). Если дифференциальная геометрия рассматриваемой проблемы особенно актуальна, точка зрения банахова расслоения может оказаться выгодной.

Морфизмы банаховых расслоений

Совокупность всех банаховых расслоений можно превратить в категорию, задав соответствующие морфизмы.

Позволять π : E → M и π′ : E′ → M′ - два банаховых расслоения. А Морфизм банахова расслоения из первого расслоения во вторую состоит из пары морфизмов

{ displaystyle f_ {0}: от M до M ';}

{ displaystyle f: E to E '.}

За ж быть морфизмом означает просто, что ж - непрерывное отображение топологических пространств. Если многообразия M и M'Оба класса C^п, то требование, чтобы ж₀ быть морфизмом - это требование, чтобы он был п-раз непрерывно дифференцируемая функция. Эти два морфизма должны удовлетворять двум условиям (второе, опять же, избыточно в конечномерном случае):

диаграмма

коммутирует, и для каждого Икс ∈ M, индуцированное отображение

{ displaystyle f_ {x}: E_ {x} to E '_ {f_ {0} (x)}}

- непрерывное линейное отображение;

для каждого Икс₀ ∈ M существуют тривиализирующие карты

{ displaystyle tau: pi ^ {- 1} (U) к U times X}

{ displaystyle tau ': pi' ^ {- 1} (U ') to U' times X '}

такой, что Икс₀ ∈ U, ж₀(Икс₀) ∈ U′,

{ displaystyle f_ {0} (U) substeq U '}

и карта

{ Displaystyle U to mathrm {Lin} (X; X ')}

{ displaystyle x mapsto tau '_ {f_ {0} (x)} circ f_ {x} circ tau ^ {- 1}}

- морфизм (дифференцируемое отображение класса C^п).

Возврат банахового пучка

Можно взять банахово расслоение над одним многообразием и использовать отступление конструкция для определения нового банахова расслоения на втором многообразии.

В частности, пусть π : E → N быть банаховым расслоением и ж : M → N дифференцируемая карта (как обычно, все C^п). Тогда отступление из π : E → N банахово расслоение ж*π : ж*E → M удовлетворяющие следующим свойствам: