Двойное пространство - Dual space

В математика, любой векторное пространство V имеет соответствующий двойное векторное пространство (или просто двойное пространство для краткости) состоящий из всех линейные функционалы на Vвместе со структурой векторного пространства точечно сложение и скалярное умножение на константы.

Двойственное пространство, как определено выше, определено для всех векторных пространств, и во избежание двусмысленности его также можно назвать алгебраическое двойственное пространство. При определении для топологическое векторное пространство, существует подпространство двойственного пространства, соответствующее непрерывным линейным функционалам, которое называется непрерывное двойное пространство.

Двойные векторные пространства находят применение во многих областях математики, в которых используются векторные пространства, например, в тензор анализ с конечномерный векторные пространства. Применительно к векторным пространствам функций (которые обычно бесконечномерны) двойственные пространства используются для описания меры, распределения, и Гильбертовы пространства. Следовательно, дуальное пространство - важное понятие в функциональный анализ.

Ранние сроки для двойной включают полярник Раум [Hahn 1927], espace contugué, прилегающее пространство [Alaoglu 1940], и транспонертер Раум [Schauder 1930] и [Banach 1932]. Период, термин двойной принадлежит Бурбаки 1938 г.^[1]

Алгебраическое двойственное пространство

Учитывая любые векторное пространство ${displaystyle V}$ через поле ${displaystyle F}$, то (алгебраическое) двойственное пространство ${displaystyle V^{*}}$ (альтернативно обозначается как ${displaystyle V^{v}}$ или же V′)^{[nb 1]} определяется как совокупность всех линейные карты φ: V → F (линейные функционалы ). Поскольку линейные карты - это векторное пространство гомоморфизмы, сопряженное пространство также иногда обозначают Hom (V, F). Двойное пространство V^∗ сам становится векторным пространством над F при наличии сложения и скалярного умножения, удовлетворяющих:

${displaystyle {egin{aligned}(varphi +psi )(x)&=varphi (x)+psi (x)(avarphi )(x)&=aleft(varphi (x)ight)end{aligned}}}$

для всех φ и ψ ∈ V^∗, Икс ∈ V, и а ∈ F. Элементы алгебраического двойственного пространства V^∗ иногда называют ковекторы или же одноформный.

Спаривание функционала φ в двойном пространстве V^∗ и элемент Икс из V иногда обозначается скобкой: φ(Икс) = [Икс,φ]^[2]или же φ(Икс) = ⟨φ,Икс⟩.^[3] Эта пара определяет невырожденный билинейное отображение^{[nb 2]} ⟨·,·⟩ : V^∗ × V → F называется естественное соединение.

Конечномерный случай

Если V конечномерно, то V^∗ имеет тот же размер, что и V. Учитывая основа {е₁, ..., е_п} в V, можно построить конкретный базис в V^∗, называется двойная основа. Эта двойственная основа представляет собой набор {е¹, ..., е^п} линейных функционалов на V, определяемый соотношением

${displaystyle mathbf {e} ^{i}(c_{1}mathbf {e} _{1}+cdots +c_{n}mathbf {e} _{n})=c_{i},quad i=1,ldots ,n}$

для любого выбора коэффициентов c_я ∈ F. В частности, если, в свою очередь, если каждый из этих коэффициентов равен единице, а остальные - нулю, получится система уравнений

${displaystyle mathbf {e} ^{i}(mathbf {e} _{j})=delta _{j}^{i}}$

куда ${displaystyle delta _{j}^{i}}$ это Дельта Кронекера символ. Это свойство называется свойство биортогональности.

Например, если V является р², пусть его основа выбрана в виде {е₁ = (1/2, 1/2), е₂ = (0, 1)}. Базисные векторы не ортогональны друг другу. Потом, е¹ и е² находятся одноформный (функции, отображающие вектор в скаляр) такие, что е¹(е₁) = 1, е¹(е₂) = 0, е²(е₁) = 0, и е²(е₂) = 1. (Примечание: верхний индекс здесь - это индекс, а не показатель степени.) Эта система уравнений может быть выражена с использованием матричной записи как

${displaystyle {egin{bmatrix}e_{11}&e_{12}e_{21}&e_{22}end{bmatrix}}{egin{bmatrix}e^{11}&e^{21}e^{12}&e^{22}end{bmatrix}}={egin{bmatrix}1&0�&1end{bmatrix}}.}$

Решение этого уравнения показывает, что двойственный базис {е¹ = (2, 0), е² = (−1, 1)}. Потому что е¹ и е² являются функционалами, их можно переписать как е¹(Икс, у) = 2Икс и е²(Икс, у) = −Икс + у. В общем, когда V является р^п, если E = (е₁, ..., е_п) - матрица, столбцы которой являются базисными векторами и Ê = (е¹, ..., е^п) - матрица, столбцы которой являются двойственными базисными векторами, то

${displaystyle E^{T}{hat {E}}=I_{n},}$

куда я_п единичная матрица порядка п. Свойство биортогональности этих двух базисных наборов допускает любую точку Икс ∈ V быть представленным как

${displaystyle mathbf {x} =sum _{i}langle mathbf {x} ,mathbf {e} ^{i}angle mathbf {e} _{i}=sum _{i}langle mathbf {x} ,mathbf {e} _{i}angle mathbf {e} ^{i},}$

даже если базисные векторы не ортогональны друг другу. Строго говоря, приведенное выше утверждение имеет смысл только тогда, когда внутренний продукт ${displaystyle langle cdot ,cdot angle }$ и соответствующие пары двойственности вводятся, как описано ниже в § Билинейные произведения и двойственные пространства.

Особенно, р^п можно интерпретировать как пространство столбцов п действительные числа, его двойственное пространство обычно записывается как пространство ряды из п действительные числа. Такой ряд действует на р^п как линейный функционал обычным матричное умножение. Это потому, что функционал отображает все п-вектор Икс в реальное число у. Затем, рассматривая этот функционал как матрицу M, и Икс, у как п × 1 матрица и 1 × 1 матрица (тривиально действительное число) соответственно, если Mx = у тогда, по причинам размера, M должен быть 1 × п матрица; то есть, M должен быть вектор-строкой.

Если V состоит из пространства геометрических векторов на плоскости, то кривые уровня элемента V^∗ образуют семейство параллельных линий в V, потому что диапазон является одномерным, так что каждая точка в диапазоне является кратным любому ненулевому элементу. Итак, элемент V^∗ можно интуитивно представить себе как особое семейство параллельных линий, покрывающих плоскость. Чтобы вычислить значение функционала для данного вектора, достаточно определить, на какой из линий лежит этот вектор. Неформально это «подсчитывает», сколько линий пересекает вектор. В более общем смысле, если V является векторным пространством любой размерности, то множества уровня линейного функционала в V^∗ параллельные гиперплоскости в V, и действие линейного функционала на вектор может быть визуализировано в терминах этих гиперплоскостей.^[4]

Бесконечномерный случай

Если V не конечномерна, но имеет основа^{[№ 3]} е_α индексируется бесконечным множеством А, то та же конструкция, что и в конечномерном случае, дает линейно независимый элементы е^α (α ∈ А) дуального пространства, но они не будут служить основой.

Например, пространство р^∞, элементами которого являются те последовательности действительных чисел, содержащих только конечное число ненулевых элементов, базис которых индексируется натуральными числами N: за я ∈ N, е_я - последовательность, состоящая из всех нулей, кроме я-я позиция, которая 1. Двойственное пространство р^∞ является (изоморфно) р^N, пространство все последовательности действительных чисел: такая последовательность (а_п) применяется к элементу (Икс_п) из р^∞ дать номер

${displaystyle sum _{n}a_{n}x_{n},}$

что является конечной суммой, потому что ненулевых только конечное число Икс_п. В измерение из р^∞ счетно бесконечно, тогда как р^N не имеет счетной основы.

Это наблюдение распространяется на любые^{[№ 3]} бесконечномерное векторное пространство V над любым полем F: выбор основы {е_α : α ∈ А} определяет V с пробелом (F^А)₀ функций ж : А → F такой, что ж_α = ж(α) отличен от нуля только для конечного числа α ∈ А, где такая функция ж отождествляется с вектором

${displaystyle sum _{alpha in A}f_{alpha }mathbf {e} _{alpha }}$

в V (сумма конечна по предположению о ж, и любые v ∈ V может быть записано таким образом по определению основы).

Двойственное пространство V затем можно отождествить с пространством F^А из все функции от А к F: линейный функционал Т на V однозначно определяется значениями θ_α = Т(е_α) это берет на основе V, и любая функция θ : А → F (с θ(α) = θ_α) определяет линейный функционал Т на V к

${displaystyle Tleft(sum _{alpha in A}f_{alpha }mathbf {e} _{alpha }ight)=sum _{alpha in A}f_{alpha }T(e_{alpha })=sum _{alpha in A}f_{alpha } heta _{alpha }.}$

Опять же сумма конечна, потому что ж_α отличен от нуля только для конечного числа α.

Набор (F^А)₀ могут быть отождествлены (в основном по определению) с прямая сумма бесконечно много копий F (рассматривается как 1-мерное векторное пространство над собой), индексируемый А, т.е. существуют линейные изоморфизмы

${displaystyle Vcong (F^{A})_{0}cong igoplus _{alpha in A}F.}$

С другой стороны, F^А есть (опять же по определению), прямой продукт бесконечно много копий F проиндексировано А, поэтому идентификация

${displaystyle V^{*}cong left(igoplus _{alpha in A}Fight)^{*}cong prod _{alpha in A}F^{*}cong prod _{alpha in A}Fcong F^{A}}$

частный случай общий результат соотнесение прямых сумм (модулей) с прямыми продуктами.

Если базис бесконечен, то алгебраическое сопряженное пространство есть всегда большего измерения (как количественное числительное ), чем исходное векторное пространство. Это контрастирует со случаем непрерывного двойственного пространства, обсуждаемого ниже, которое может быть изоморфный в исходное векторное пространство, даже если последнее бесконечномерно.

Билинейные произведения и двойственные пространства

Если V конечномерно, то V изоморфен V^∗. Но в целом нет естественный изоморфизм между этими двумя пространствами.^[5] Любой билинейная форма ⟨·,·⟩ на V дает отображение V в двойное пространство через

${displaystyle vmapsto langle v,cdot angle }$

где правая часть определяется как функционал на V принимая каждый ш ∈ V к ⟨v, ш⟩. Другими словами, билинейная форма определяет линейное отображение

${displaystyle Phi _{langle cdot ,cdot angle }:V o V^{*}}$

определяется

${displaystyle left[Phi _{langle cdot ,cdot angle }(v),wight]=langle v,wangle .}$

Если билинейная форма невырожденный, то это изоморфизм на подпространство в V^∗. Если V конечномерно, то это изоморфизм на все V^∗. Наоборот, любой изоморфизм ${displaystyle Phi }$ из V в подпространство V^∗ (соответственно, все V^∗ если V конечномерно) определяет единственную невырожденную билинейную форму ${displaystyle langle cdot ,cdot angle _{Phi }}$ на V к

${displaystyle langle v,wangle _{Phi }=(Phi (v))(w)=[Phi (v),w].,}$

Таким образом, существует взаимно однозначное соответствие между изоморфизмами V к подпространству (соответственно, всего) V^∗ и невырожденные билинейные формы на V.

Если векторное пространство V закончился сложный поле, то иногда естественнее считать полуторалинейные формы вместо билинейных форм. В этом случае заданная полуторалинейная форма ⟨·,·⟩ определяет изоморфизм V с комплексно сопряженный дуального пространства

${displaystyle Phi _{langle cdot ,cdot angle }:V o {overline {V^{*}}}.}$

Сопряженное пространство V^∗ можно отождествить с множеством всех аддитивных комплекснозначных функционалов ж : V → C такой, что

${displaystyle f(alpha v)={overline {alpha }}f(v).}$

Инъекция в дабл-дуал

Существует естественный гомоморфизм ${displaystyle Psi }$ из ${displaystyle V}$ в двойной дуал ${displaystyle V^{**}={Phi :V^{*} o F:Phi mathrm {linear} }}$, определяется ${displaystyle (Psi (v))(varphi )=varphi (v)}$ для всех ${displaystyle vin V,varphi in V^{*}}$. Другими словами, если ${displaystyle mathrm {ev} _{v}:V^{*} o F}$ карта оценки определяется ${displaystyle varphi mapsto varphi (v)}$, тогда ${displaystyle Psi :V o V^{**}}$ определяется как карта ${displaystyle vmapsto mathrm {ev} _{v}}$. Эта карта ${displaystyle Psi }$ всегда инъективный;^{[№ 3]} это изоморфизм если и только если ${displaystyle V}$ конечномерна.^[6] Действительно, изоморфизм конечномерного векторного пространства с его двойным двойственным является архетипическим примером естественный изоморфизм. Бесконечномерные гильбертовые пространства не являются контрпримером к этому, поскольку они изоморфны своим непрерывным двойникам, а не своим алгебраическим двойникам.

Транспонировать линейную карту

Основная статья: Транспонировать линейную карту

Если ж : V → W это линейная карта, то транспонировать (или же двойной) ж^∗ : W^∗ → V^∗ определяется

${displaystyle f^{*}(varphi )=varphi circ f,}$

для каждого φ ∈ W^∗. Результирующий функционал ж^∗(φ) в V^∗ называется откат из φ вдоль ж.

Для всех φ ∈ W^∗ и v ∈ V:

${displaystyle [f^{*}(varphi ),,v]=[varphi ,,f(v)],}$

где скобка [·, ·] слева - естественное спаривание V с его двойственным пространством, а справа - естественная пара W со своим двойным. Эта идентичность характеризует транспонирование,^[7] и формально аналогичен определению прилегающий.

Назначение ж ↦ ж^∗ производит инъективный линейное отображение между пространством линейных операторов из V к W и пространство линейных операторов из W^∗ к V^∗; этот гомоморфизм является изоморфизм если и только если W конечномерна. Если V = W то пространство линейных отображений на самом деле является алгебра под состав карты, и тогда присвоение антигомоморфизм алгебр, что означает, что (фг)^∗ = грамм^∗ж^∗. На языке теория категорий, взятие двойственных векторных пространств и транспонирование линейных отображений, следовательно, контравариантный функтор из категории векторных пространств над F себе. Есть возможность идентифицировать (ж^∗)^∗ с ж используя естественную инъекцию в двойной дуал.

Если линейная карта ж представлен матрица А по двум базам V и W, тогда ж^∗ представлен транспонировать матрица А^Т относительно двойственных базисов W^∗ и V^∗, отсюда и название. В качестве альтернативы, как ж представлен А действуя слева на векторы-столбцы, ж^∗ представлен той же самой матрицей, действующей справа на векторах-строках. Эти точки зрения связаны каноническим внутренним продуктом на р^п, который идентифицирует пространство векторов-столбцов с двойным пространством векторов-строк.

Факторпространства и аннигиляторы

Позволять S быть подмножеством V. В аннигилятор из S в V^∗, обозначенный здесь S⁰, - набор линейных функционалов ж ∈ V^∗ такой, что [ж, s] = 0 для всех s ∈ S. То есть, S⁰ состоит из всех линейных функционалов ж : V → F так что ограничение на S исчезает: ж|_S = 0. В конечномерных векторных пространствах аннигилятор двойственен (изоморфен) ортогональное дополнение.

Аннигилятор подмножества сам является векторным пространством. Аннулятор нулевого вектора - это все дуальное пространство: ${displaystyle {0}^{0}=V^{*}}$, а аннигилятор всего пространства - это просто нулевой ковектор: ${displaystyle V^{0}={0}subseteq V^{*}}$. Кроме того, назначение аннигилятора подмножеству V переворачивает включения, так что если S ⊆ Т ⊆ V, тогда

${displaystyle 0subseteq T^{0}subseteq S^{0}subseteq V^{*}.}$

Если А и B два подмножества V тогда

${displaystyle (Acap B)^{0}supseteq A^{0}+B^{0},}$

и равенство сохраняется при условии V конечномерна. Если А_я любое семейство подмножеств V проиндексировано я принадлежащий некоторому набору индексов я, тогда

${displaystyle left(igcup _{iin I}A_{i}ight)^{0}=igcap _{iin I}A_{i}^{0}.}$

В частности, если А и B являются подпространствами V тогда

${displaystyle (A+B)^{0}=A^{0}cap B^{0}.}$

Если V конечномерна и W это векторное подпространство, тогда

${displaystyle W^{00}=W}$

после определения W со своим образом во втором двойственном пространстве при изоморфизме двойной двойственности V ≈ V^∗∗. В частности, формирование аннигилятора - это Связь Галуа на решетке подмножеств конечномерного векторного пространства.

Если W является подпространством V затем факторное пространство V/W является самостоятельным векторным пространством и, следовательно, имеет двойственное пространство. Посредством первая теорема об изоморфизме, функциональный ж : V → F факторы через V/W если и только если W находится в ядро из ж. Таким образом, существует изоморфизм

${displaystyle (V/W)^{*}cong W^{0}.}$

В частности, если V это прямая сумма двух подпространств А и B, тогда V^∗ прямая сумма А⁰ и B⁰.

Непрерывное двойное пространство

При работе с топологические векторные пространства, то непрерывный линейные функционалы из пространства в основное поле ${displaystyle mathbb {F} =mathbb {C} }$ (или же ${displaystyle mathbb {R} }$) особенно важны. Это порождает понятие «непрерывного двойственного пространства» или «топологического двойственного», которое является линейным подпространством алгебраического двойственного пространства. ${displaystyle V^{*}}$, обозначаемый ${displaystyle V'}$. Для любого конечномерный нормированное векторное пространство или топологическое векторное пространство, такое как Евклидово н-Космос, непрерывный двойственный и алгебраический двойственный совпадают. Однако это неверно для любого бесконечномерного нормированного пространства, как показано на примере разрывные линейные карты. Тем не менее в теории топологические векторные пространства термины «непрерывное двойственное пространство» и «топологическое двойственное пространство» часто заменяются «двойственным пространством».

Для топологическое векторное пространство ${displaystyle V}$ это непрерывное двойное пространство,^[8] или же топологическое двойственное пространство,^[9] или просто двойное пространство^{[8][9][10][11]} (в смысле теории топологических векторных пространств) ${displaystyle V'}$ определяется как пространство всех непрерывных линейных функционалов ${displaystyle varphi :V o {mathbb {F} }}$.

Характеристики

Если Икс это Хаусдорф топологическое векторное пространство (TVS), то непрерывное двойственное пространство Икс идентично непрерывному двойственному пространству завершение из Икс.^[1]

Топологии на двойном

Основные статьи: Полярная топология и Двойная система

Существует стандартная конструкция для введения топологии на непрерывной двойственной ${displaystyle V'}$ топологического векторного пространства ${displaystyle V}$. Исправить коллекцию ${displaystyle {mathcal {A}}}$ из ограниченные подмножества из ${displaystyle V}$. Это дает топологию на ${displaystyle V}$ равномерной сходимости на множествах из ${displaystyle {mathcal {A}},}$ или, что то же самое, топология, генерируемая полунормы формы

${displaystyle |varphi |_{A}=sup _{xin A}|varphi (x)|,}$

куда ${displaystyle varphi }$ является линейным непрерывным функционалом на ${displaystyle V}$, и ${displaystyle A}$ пробегает класс ${displaystyle {mathcal {A}}.}$

Это означает, что сеть функционалов ${displaystyle varphi _{i}}$ стремится к функциональному ${displaystyle varphi }$ в ${displaystyle V'}$ если и только если

${displaystyle { ext{ for all }}Ain {mathcal {A}}qquad |varphi _{i}-varphi |_{A}=sup _{xin A}|varphi _{i}(x)-varphi (x)|{underset {i o infty }{longrightarrow }}0.}$

Обычно (но не обязательно) класс ${displaystyle {mathcal {A}}}$ должен удовлетворять следующим условиям:

• Каждая точка ${displaystyle x}$ из ${displaystyle V}$ принадлежит некоторому набору ${displaystyle Ain {mathcal {A}}}$:

${displaystyle { ext{ for all }}xin Vquad { ext{ there exists some }}Ain {mathcal {A}}quad { ext{ such that }}xin A.}$

• Каждые два набора ${displaystyle Ain {mathcal {A}}}$ и ${displaystyle Bin {mathcal {A}}}$ содержатся в некотором наборе ${displaystyle Cin {mathcal {A}}}$:

${displaystyle { ext{ for all }}A,Bin {mathcal {A}}quad { ext{ there exists some }}in {mathcal {A}}quad { ext{ such that }}Acup Bsubseteq C.}$

• ${displaystyle {mathcal {A}}}$ замкнуто относительно операции умножения на скаляры:

${displaystyle { ext{ for all }}Ain {mathcal {A}}quad { ext{ and all }}lambda in {mathbb {F} }quad { ext{ such that }}lambda cdot Ain {mathcal {A}}.}$

Если эти требования выполнены, то соответствующая топология на ${displaystyle V'}$ хаусдорфова, а множества

${displaystyle U_{A}~=~left{varphi in V'~:~quad |varphi |_{A}<1ight},qquad { ext{ for }}Ain {mathcal {A}}}$

формируют его местную базу.

Вот три наиболее важных частных случая.

• В сильная топология на ${displaystyle V'}$ топология равномерной сходимости на ограниченные подмножества в ${displaystyle V}$ (так вот ${displaystyle {mathcal {A}}}$ можно выбрать как класс всех ограниченных подмножеств в ${displaystyle V}$).

Если ${displaystyle V}$ это нормированное векторное пространство (например, Банахово пространство или Гильбертово пространство ), то сильная топология на ${displaystyle V'}$ нормировано (фактически, банахово пространство, если поле скаляров полно), с нормой

${displaystyle |varphi |=sup _{|x|leq 1}|varphi (x)|.}$

• В стереотипная топология на ${displaystyle V'}$ топология равномерной сходимости на вполне ограниченные множества в ${displaystyle V}$ (так вот ${displaystyle {mathcal {A}}}$ можно выбрать как класс всех вполне ограниченных подмножеств в ${displaystyle V}$).

• В слабая топология на ${displaystyle V'}$ - топология равномерной сходимости на конечных подмножествах в ${displaystyle V}$ (так вот ${displaystyle {mathcal {A}}}$ можно выбрать как класс всех конечных подмножеств в ${displaystyle V}$).

Каждый из этих трех вариантов топологии на ${displaystyle V'}$ приводит к варианту свойство рефлексивности для топологических векторных пространств:

• Если ${displaystyle V'}$ наделен сильная топология, то соответствующее понятие рефлексивности является стандартным: рефлексивные в этом смысле пространства просто называются рефлексивный.^[12]

• Если ${displaystyle V'}$ наделен стереотипной дуальной топологией, то соответствующая рефлексивность представлена ​​в теории стереотипные пространства: рефлексивные в этом смысле пространства называются стереотип.

• Если ${displaystyle V'}$ наделен слабая топология, то соответствующая рефлексивность представлена ​​в теории двойные пары:^[13] рефлексивные в этом смысле пространства - произвольные (хаусдорфовы) локально выпуклые пространства со слабой топологией.^[14]

Примеры

Пусть 1 < п <∞ - действительное число и рассмотрим банахово пространство ℓ ^п из всех последовательности а = (а_п) для которого

${displaystyle |mathbf {a} |_{p}=left(sum _{n=0}^{infty }|a_{n}|^{p}ight)^{frac {1}{p}}<infty .}$

Определите число q к 1/п + 1/q = 1. Тогда непрерывный двойственный к ℓ^п естественно отождествляется с ℓ^q: с учетом элемента φ ∈ (ℓ^п)′, соответствующий элемент ℓ^q последовательность (φ(е_п)) куда е_п обозначает последовательность, п-й член равен 1, а все остальные равны нулю. И наоборот, учитывая элемент а = (а_п) ∈ ℓ^q, соответствующий непрерывный линейный функционал φ на ℓ^п определяется

${displaystyle phi (mathbf {b} )=sum _{n}a_{n}b_{n}}$

для всех б = (б_п) ∈ ℓ^п (видеть Неравенство Гёльдера ).

Аналогичным образом непрерывный двойственный к ℓ¹ естественно отождествляется с ℓ^∞ (пространство ограниченных последовательностей). Кроме того, непрерывные двойственные к банаховым пространствам c (состоящий из всех сходящийся последовательности, с верхняя норма ) и c₀ (последовательности, сходящиеся к нулю), естественно отождествляются с ℓ¹.

Посредством Теорема Рисса о представлении, непрерывное двойственное гильбертово пространство снова является гильбертовым пространством, антиизоморфный в исходное пространство. Это приводит к обозначение бюстгальтера используется физиками при математической формулировке квантовая механика.

Посредством Теорема о представлении Рисса – Маркова – Какутани, непрерывное двойственное пространство некоторых непрерывных функций можно описать с помощью мер.

Транспонировать непрерывную линейную карту

Смотрите также: Транспонировать линейную карту и Двойная система § Транспонирует

Если Т : V → W является непрерывным линейным отображением между двумя топологическими векторными пространствами, то (непрерывное) транспонирование T ′ : W ′ → V ′ определяется по той же формуле, что и раньше:

${displaystyle T'(varphi )=varphi circ T,quad varphi in W'.}$

Результирующий функционал T ′(φ) в V ′. Назначение Т → Т ' производит линейное отображение между пространством непрерывных линейных отображений из V к W и пространство линейных отображений из W ′ к V ′. Когда Т и U составные непрерывные линейные отображения, то

${displaystyle (Ucirc T)'=T'circ U'.}$

Когда V и W нормированные пространства, норма транспонированной в L(W ′, V ′) равен Т в L(V, W). Некоторые свойства транспозиции зависят от Теорема Хана – Банаха. Например, ограниченное линейное отображение Т имеет плотный диапазон тогда и только тогда, когда транспонировать T ′ инъективно.

Когда Т это компактный линейное отображение между двумя банаховыми пространствами V и W, то транспонировать T ′ компактный. Это можно доказать с помощью Теорема Арцела – Асколи.

Когда V является гильбертовым пространством, существует антилинейный изоморфизм я_V из V на его непрерывный двойственный V ′. Для всякого ограниченного линейного отображения Т на V, транспонирование и прилегающий операторы связаны

${displaystyle i_{V}circ T^{*}=T'circ i_{V}.}$

Когда Т является непрерывным линейным отображением между двумя топологическими векторными пространствами V и W, то транспонировать T ′ непрерывно, когда W ′ и V ′ оснащены «совместимыми» топологиями: например, когда для Икс = V и Икс = W, оба двойных ИКС' иметь сильная топология β(ИКС', Икс) равномерной сходимости на ограниченных множествах Икс, либо оба имеют ∗ -слабую топологию σ(ИКС', Икс) поточечной сходимости наИкс. Транспонирование T ′ продолжается от β(W ′, W) к β(V ′, V), или из σ(W ′, W) к σ(V ′, V).

Аннигиляторы

Предположить, что W замкнутое линейное подпространство нормированного пространстваV, и рассмотрим аннигилятор W в V ′,

${displaystyle W^{perp }={varphi in V':Wsubseteq ker varphi }.}$

Тогда двойственное к частному V / W  можно отождествить с W^⊥, и двойственное W можно отождествить с частным V ′ / W^⊥.^[15] Действительно, пусть п обозначают канонический сюрприз из V на частное V / W ; затем транспонировать П' является изометрическим изоморфизмом из (V / W )′ в V ′, с дальностью равной W^⊥. Если j обозначает карту впрыска из W в V, то ядро ​​транспонирования j ′ является аннигилятором W:

${displaystyle ker(j')=W^{perp }}$

и это следует из Теорема Хана – Банаха который j ′ индуцирует изометрический изоморфизмV ′ / W^⊥ → W ′.

Другие свойства

Если двойственный к нормированному пространству V является отделяемый, то и пространство V сам. Обратное неверно: например, пробел ℓ¹ отделима, но двойственная ℓ^∞ не является.

Двойной двойной

Это естественная трансформация сложения векторов из векторного пространства в его двойное двойственное. ⟨Икс₁, Икс₂⟩ обозначает упорядоченная пара двух векторов. Сложение + отправляет Икс₁ и Икс₂ к Икс₁ + Икс₂. Сложение + ′, индуцированное преобразованием, можно определить как (Ψ (Икс₁) + ′ Ψ (Икс₂))(φ) = φ(Икс₁ + Икс₂) = φ(Икс) для любого φ в двойственном пространстве.

По аналогии со случаем двойного алгебраического двойственного оператора всегда существует естественно определенный непрерывный линейный оператор Ψ: V → V ′ ′ из нормированного пространства V в его непрерывный двойной двойственный V ′ ′, определяется

${displaystyle Psi (x)(varphi )=varphi (x),quad xin V, varphi in V'.}$

Как следствие Теорема Хана – Банаха, эта карта на самом деле изометрия, смысл ‖ Ψ (Икс) ‖ = ‖ Икс ‖ для всех Икс ∈ V. Нормированные пространства, для которых отображение является биекция называются рефлексивный.

Когда V это топологическое векторное пространство тогда Ψ (Икс) по-прежнему можно определить по той же формуле для каждого Икс ∈ V, однако возникает ряд трудностей. Во-первых, когда V не является локально выпуклый, непрерывное двойственное может быть равно {0}, а отображение Ψ тривиально. Однако если V является Хаусдорф и локально выпуклое, отображение Ψ инъективно из V к алгебраическому двойственному V ′^∗ непрерывного двойственного, опять же как следствие теоремы Хана – Банаха.^{[№ 4]}

Во-вторых, даже в локально выпуклом случае несколько естественных топологий векторного пространства могут быть определены на непрерывной двойственной V ′, так что непрерывная двойная двойственная V ′ ′ не определяется однозначно как набор. Говоря, что Ψ карты из V к V ′ ′, или другими словами, что Ψ (Икс) непрерывна на V ′ для каждого Икс ∈ V, является разумным минимальным требованием к топологии V ′, а именно, что сопоставления оценок

${displaystyle varphi in V'mapsto varphi (x),quad xin V,}$

непрерывна для выбранной топологии на V ′. Далее остается выбор топологии на V ′ ′, и от этого выбора зависит непрерывность. Как следствие, определяя рефлексивность в этой структуре задействован больше, чем в нормированном случае.

Смотрите также

• Непрерывное двойное пространство
• Ковариация и контравариантность векторов
• Двойной модуль
• Двойная норма
• Двойственность (математика)
• Двойственность (проективная геометрия)
• Понтрягинская двойственность
• Обратная решетка - двойная пространственная основа в кристаллографии

Примечания

1. За V^∨ используется таким образом, см. стр. 19 из Введение в многообразия (2-е издание, 2011 г., Springer) Лоринга Ту. Это обозначение иногда используется, когда (⋅)^* зарезервировано для другого значения. Например, в приведенном выше тексте F^* часто используется для обозначения кодифференциала F, так что F^*ω представляет собой откат формы ω.Халмоса Конечномерные векторные пространства (2-е издание, 1958, Ван Ностранд) использует V′ для обозначения алгебраического двойственного V; см. стр. 20. Однако другие авторы используют V′ для непрерывного двойника, сохраняя V^* для алгебраического двойственного.
2. Во многих областях, таких как квантовая механика, ⟨·,·⟩ зарезервировано для полуторалинейная форма определено на V × V.
3. Некоторые утверждения в этой статье требуют аксиома выбора для их оправдания. Выбранная аксиома необходима, чтобы показать, что у произвольного векторного пространства есть базис: в частности, необходимо показать, что р^N имеет основу. Также необходимо показать, что двойник бесконечномерного векторного пространства V отлична от нуля, а значит, естественное отображение из V к своему двойному двойственному - инъективно.
4. Если V локально выпуклая, но не хаусдорфова, ядро - наименьшее замкнутое подпространство, содержащее {0}.

Рекомендации

1. Наричи и Бекенштейн 2011, pp. 225-273.
2. Халмос 1974
3. Миснер, Торн и Уиллер, 1973
4. Миснер, Торн и Уиллер, 1973, §2.5
5. Маклейн и Биркофф, 1999, §VI.4
6. Халмос, Пол Р. (1958). Конечномерные векторные пространства (2-е издание). Принстон, Нью-Джерси: Ван Ностранд. С. 25, 28. ISBN  0-387-90093-4.
7. Халмос 1974, §44
8. Робертсон и Робертсон 1964, II.2
9. Шефер 1966, II.4
10. Рудин 1973, 3.1
11. Бурбаки 2003, II.42
12. Шефер 1966, IV.5.5
13. Шефер 1966, IV.1
14. Шефер 1966, IV.1.2
15. Рудин 1991, Глава 4

Библиография

• Бурбаки, Николас (1989), Элементы математики, алгебра I, Springer-Verlag, ISBN  3-540-64243-9
• Бурбаки, Николас (2003), Элементы математики, Топологические векторные пространства, Springer-Verlag
• Халмос, Пол (1974), Конечномерные векторные пространства, Спрингер, ISBN  0-387-90093-4
• Ланг, Серж (2002), Алгебра, Тексты для выпускников по математике, 211 (Пересмотренное третье изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-95385-4, МИСТЕР  1878556, Zbl  0984.00001
• Маклейн, Сондерс; Биркофф, Гарретт (1999), Алгебра (3-е изд.), AMS Chelsea Publishing, ISBN  0-8218-1646-2.
• Миснер, Чарльз В.; Торн, Кип С.; Уилер, Джон А. (1973), Гравитация, У. Х. Фриман, ISBN  0-7167-0344-0
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства. Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666. OCLC  144216834.
• Рудин, Вальтер (1973). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. 25 (Первое изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: МакГроу-Хилл Наука / Инженерия / Математика. ISBN  9780070542259.
• Рудин, Вальтер (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: МакГроу-Хилл Наука / Инженерия / Математика. ISBN  978-0-07-054236-5. OCLC  21163277.
• Робертсон, А.П .; Робертсон, В. (1964). Топологические векторные пространства. Издательство Кембриджского университета.
• Шефер, Гельмут Х. (1966). Топологические векторные пространства. Нью-Йорк: Компания Macmillan.
• Шефер, Гельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства. GTM. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра. Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Двойное пространство». MathWorld.