Краевая задача - Boundary value problem

Показывает регион, где дифференциальное уравнение действительно и связанные граничные значения

В математика, в области дифференциальные уравнения, а краевая задача представляет собой дифференциальное уравнение вместе с набором дополнительных ограничений, называемых граничные условия.^[1] Решение краевой задачи - это решение дифференциального уравнения, которое также удовлетворяет граничным условиям.

Краевые задачи возникают в нескольких разделах физики, как и любое физическое дифференциальное уравнение. Проблемы, связанные с волновое уравнение, например, определение нормальные режимы, часто формулируются как краевые задачи. Большой класс важных краевых задач - это Задачи Штурма – Лиувилля.. Анализ этих проблем включает собственные функции из дифференциальный оператор.

Чтобы быть полезной в приложениях, краевая задача должна быть хорошо поставлен. Это означает, что для данной проблемы существует единственное решение, которое непрерывно зависит от входа. Много теоретических работ в области уравнения в частных производных посвящена доказательству того, что краевые задачи, возникающие из научных и инженерных приложений, действительно корректны.

Среди наиболее ранних краевых задач, требующих изучения, является Задача Дирихле, найти гармонические функции (решения для Уравнение Лапласа ); решение было дано Принцип Дирихле.

Объяснение

Краевые задачи похожи на проблемы начального значения. Краевая задача имеет условия, указанные на крайних точках («границах») независимой переменной в уравнении, тогда как задача с начальным значением имеет все условия, указанные для одного и того же значения независимой переменной (и это значение находится на нижней границе домена, отсюда и термин «начальное» значение). А граничное значение - это значение данных, которое соответствует минимальному или максимальному входному, внутреннему или выходному значению, заданному для системы или компонента.^[2]

Например, если независимая переменная - это время в области [0,1], в задаче граничного значения будут указаны значения для ${\displaystyle y(t)}$ на обоих ${\displaystyle t=0}$ и ${\displaystyle t=1}$, тогда как в задаче с начальным значением будет указано значение ${\displaystyle y(t)}$ и ${\displaystyle y'(t)}$ вовремя ${\displaystyle t=0}$.

Определение температуры во всех точках железного прутка с одним концом абсолютный ноль а другой конец в точке замерзания воды был бы краевой задачей.

Если проблема зависит как от пространства, так и от времени, можно указать значение проблемы в данной точке для всего времени или в данное время для всего пространства.

Конкретно, примером граничного значения (в одном пространственном измерении) является задача

${\displaystyle y''(x)+y(x)=0}$

решить для неизвестной функции ${\displaystyle y(x)}$ с граничными условиями

${\displaystyle y(0)=0,\ y(\pi /2)=2.}$

Без граничных условий общее решение этого уравнения есть

${\displaystyle y(x)=A\sin(x)+B\cos(x).}$

Из граничного условия ${\displaystyle y(0)=0}$ можно получить

${\displaystyle 0=A\cdot 0+B\cdot 1}$

откуда следует, что ${\displaystyle B=0.}$ Из граничного условия ${\displaystyle y(\pi /2)=2}$ можно найти

${\displaystyle 2=A\cdot 1}$

и так ${\displaystyle A=2.}$ Видно, что наложение граничных условий позволило найти единственное решение, которое в данном случае имеет вид

${\displaystyle y(x)=2\sin(x).}$

Типы краевых задач

Граничные условия

Нахождение функции для описания температуры этого идеализированного двумерного стержня представляет собой краевую задачу с Граничные условия Дирихле. Любая функция решения будет решать уравнение теплопроводности, и выполнить граничные условия: температура 0 K на левой границе и температура 273,15 K на правой границе.

Граничное условие, определяющее значение самой функции, является Граничное условие Дирихле, или граничное условие первого типа. Например, если один конец железного стержня удерживается на абсолютном нуле, тогда значение проблемы будет известно в этой точке пространства.

Граничное условие, определяющее значение нормальная производная функции является Граничное условие Неймана, или граничное условие второго типа. Например, если на одном конце железного стержня установлен нагреватель, то энергия будет добавляться с постоянной скоростью, но фактическая температура не будет известна.

Если граница имеет форму кривой или поверхности, которая дает значение нормальной производной и самой переменной, то это Граничное условие Коши.

Примеры

Сводка граничных условий для неизвестной функции, ${\displaystyle y}$, константы ${\displaystyle c_{0}}$ и ${\displaystyle c_{1}}$ заданные граничными условиями, а известные скалярные функции ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ задается граничными условиями.

Имя	Форма на 1-й части границы	Форма на 2-й части границы
Дирихле	${\displaystyle y=f}$
Neumann	${\displaystyle {\partial y \over \partial n}=f}$
Робин	${\displaystyle c_{0}y+c_{1}{\partial y \over \partial n}=f}$
Смешанный	${\displaystyle y=f}$	${\displaystyle c_{0}y+c_{1}{\partial y \over \partial n}=f}$
Коши	обе ${\displaystyle y=f}$ и ${\displaystyle c_{0}{\partial y \over \partial n}=g}$

Дифференциальные операторы

Помимо граничного условия, краевые задачи также классифицируются по типу задействованного дифференциального оператора. Для эллиптический оператор, обсуждают эллиптические краевые задачи. Для гиперболический оператор, обсуждают гиперболические краевые задачи. Эти категории далее подразделяются на линейный и различные нелинейные типы.

Приложения

Электромагнитный потенциал

Смотрите также: Уравнение Лапласа § Граничные условия

В электростатика, общая проблема - найти функцию, описывающую электрический потенциал данного региона. Если область не содержит заряда, потенциал должен быть решением Уравнение Лапласа (так называемый гармоническая функция ). Граничными условиями в этом случае являются Условия интерфейса для электромагнитных полей. Если нет плотность тока в регионе также можно определить магнитный скалярный потенциал используя аналогичную процедуру.

Смотрите также

Связанная математика: Проблема начального значения Функция Грина Случайные процессы и краевые задачи Теория Штурма – Лиувилля Состояние излучения Зоммерфельда Идеальное состояние теплового контакта

Физические приложения: Волны Нормальный режим Электростатика Возможная теория Расчет ослабления радиоволн в атмосфере Черная дыра

Численные алгоритмы: Метод стрельбы Метод прямой множественной съемки Метод ходьбы по сферам Метод конечных разностей

Примечания

1. Даниэль Цвиллинджер (12 мая 2014 г.). Справочник по дифференциальным уравнениям. Elsevier Science. С. 536–. ISBN  978-1-4832-2096-3.
2. Международный стандарт ISO / IEC / IEEE - Системная и программная инженерия. ISO / IEC / IEEE 24765: 2010 (E). pp. vol., no., pp.1-418.

Рекомендации

• Полянин А.Д., Зайцев В.Ф., Справочник точных решений обыкновенных дифференциальных уравнений (2-е издание), Чепмен и Холл / CRC Press, Бока-Ратон, 2003. ISBN  1-58488-297-2.
• Полянин А.Д., Справочник по линейным дифференциальным уравнениям с частными производными для инженеров и ученых, Chapman & Hall / CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN  1-58488-299-9.

внешняя ссылка

• «Краевые задачи теории потенциала», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• «Краевая задача, методы комплексных переменных», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Линейные дифференциальные уравнения с частными производными: точные решения и краевые задачи в EqWorld: мир математических уравнений.
• «Краевая задача». Scholarpedia.