Многообразие Калаби – Экмана - Calabi–Eckmann manifold

В сложная геометрия, часть математики, Многообразие Калаби – Экмана (или, часто, Пространство Калаби – Экмана), названный в честь Эухенио Калаби и Бено Экманн, это сложный, однородный, не-Кэлерово многообразие, гомеоморфный произведению двух нечетномерных сфер размерности ≥ 3.

Многообразие Калаби – Экмана строится следующим образом. Рассмотрим пространство ${\displaystyle {\mathbb {C} }^{n}\backslash \{0\}\times {\mathbb {C} }^{m}\backslash \{0\}}$, куда ${\displaystyle m,n>1}$, оснащенный действием группы ${\displaystyle {\mathbb {C} }}$:

${\displaystyle t\in {\mathbb {C} },\ (x,y)\in {\mathbb {C} }^{n}\backslash \{0\}\times {\mathbb {C} }^{m}\backslash \{0\}\mid t(x,y)=(e^{t}x,e^{\alpha t}y)}$

куда ${\displaystyle \alpha \in {\mathbb {C} }\backslash {\mathbb {R} }}$ фиксированное комплексное число. Легко проверить, что это действие свободно и правильно, а соответствующее пространство орбит M гомеоморфен ${\displaystyle S^{2n-1}\times S^{2m-1}}$. С M факторпространство голоморфного действия, это также комплексное многообразие. Он, очевидно, однороден, с транзитивным голоморфным действием ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,{\mathbb {C} })\times \operatorname {GL} (m,{\mathbb {C} })}$

Многообразие Калаби – Экмана. M не кэлерово, потому что ${\displaystyle H^{2}(M)=0}$. Это простейший пример односвязного не-кэлермногообразия (в размерности 2 все односвязные компактные комплексные многообразия кэлеровы).

Естественная проекция

${\displaystyle {\mathbb {C} }^{n}\backslash \{0\}\times {\mathbb {C} }^{m}\backslash \{0\}\mapsto {\mathbb {C} }P^{n-1}\times {\mathbb {C} }P^{m-1}}$

индуцирует голоморфное отображение соответствующего многообразия Калаби – Экмана M к ${\displaystyle {\mathbb {C} }P^{n-1}\times {\mathbb {C} }P^{m-1}}$. Слой этого отображения - эллиптическая кривая Т, полученная как частное от ${\displaystyle \mathbb {C} }$ решеткой ${\displaystyle {\mathbb {Z} }+\alpha \cdot {\mathbb {Z} }}$. Это делает M в главный Т-пучок.

Калаби и Экманн открыли эти многообразия в 1953 году.^[1]

Примечания

1. Калаби, Эухенио; Экманн, Бенно (1953 г.), «Класс компактных комплексных многообразий, не являющихся алгебраическими», Анналы математики, 58: 494–500