Сложная геометрия - Complex geometry

В математика, сложная геометрия это изучение комплексные многообразия, комплексные алгебраические многообразия, и функции несколько сложных переменных. Применение трансцендентальных методов к алгебраическая геометрия попадает в эту категорию вместе с более геометрическими аспектами комплексный анализ.

Идея

Типичным примером сложного пространства является сложная проективная линия. Его можно рассматривать либо как сфера, гладкое многообразие, возникающее из дифференциальная геометрия, или Сфера Римана, расширение комплексной плоскости путем добавления точка в бесконечности.

В общем, сложная геометрия связана с пробелы и геометрические объекты которые в некотором смысле смоделированы комплексная плоскость. Особенности сложной плоскости и комплексный анализ одной переменной, такой как внутреннее понятие ориентируемость (то есть возможность последовательно вращаться на 90 градусов против часовой стрелки в каждой точке комплексной плоскости), а жесткость голоморфные функции (то есть существование единственной комплексной производной подразумевает комплексную дифференцируемость для всех порядков) проявляется во всех формах изучения сложной геометрии. Например, каждое комплексное многообразие канонически ориентируемо, и форма Теорема Лиувилля держится компактный комплексные многообразия или проективный комплексные алгебраические многообразия.

Сложная геометрия отличается от того, что можно было бы назвать настоящий геометрия, исследование пространств на основе геометрических и аналитических свойств действительная числовая линия. Например, тогда как гладкие многообразия признаться разделы единства, наборы гладких функций, которые могут быть тождественно равны единице на некотором открытый набор и тождественно нулю в других местах комплексные многообразия не допускают таких наборов голоморфных функций. Действительно, это проявление теорема тождества, типичный результат комплексного анализа одной переменной. В некотором смысле новизна сложной геометрии восходит к этому фундаментальному наблюдению.

Верно, что каждое комплексное многообразие, в частности, является гладким вещественным многообразием. Это потому, что комплексная плоскость ${\displaystyle \mathbb {C} }$ после того, как забыл о своей сложной структуре, изоморфен реальной плоскости ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$. Однако сложная геометрия обычно не рассматривается как отдельная область дифференциальная геометрия, изучение гладких многообразий. Особенно, Серр с Теорема ГАГА говорит, что каждый проективный аналитическое разнообразие на самом деле алгебраическое многообразие, а изучение голоморфных данных на аналитическом многообразии эквивалентно изучению алгебраических данных.

Эта эквивалентность указывает на то, что сложная геометрия в некотором смысле ближе к алгебраическая геометрия чем дифференциальная геометрия. Другой пример этого, который связан с природой комплексной плоскости, - это то, что при комплексном анализе одной переменной сингулярности мероморфные функции легко поддаются описанию. Напротив, возможное сингулярное поведение непрерывной действительной функции охарактеризовать гораздо сложнее. В результате можно легко изучить единственное число пространства в сложной геометрии, такие как особый комплекс аналитические многообразия или особые комплексные алгебраические многообразия, тогда как в дифференциальной геометрии изучение особых пространств часто избегается.

На практике сложная геометрия находится на пересечении дифференциальной геометрии, алгебраической геометрии и анализ в несколько сложных переменных, а сложный геометр использует инструменты из всех трех областей для изучения сложных пространств. Типичные направления интереса в сложной геометрии включают: классификация сложных пространств, изучение связанных с ними голоморфных объектов (таких как голоморфные векторные расслоения и когерентные пучки ), а также тесные отношения между сложными геометрическими объектами и другими областями математики и физики.

Определения

Сложная геометрия связана с изучением комплексные многообразия, и комплексный алгебраический и комплексные аналитические многообразия. В этом разделе определены эти типы пространств и представлены отношения между ними.

А комплексное многообразие это топологическое пространство ${\displaystyle X}$ такой, что:

• ${\displaystyle X}$ является Хаусдорф и второй счетный.
• ${\displaystyle X}$ находится на местном уровне гомеоморфный к открытому подмножеству ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ для некоторых ${\displaystyle n}$. То есть за каждую точку ${\displaystyle p\in X}$, существует открытый район ${\displaystyle U}$ из ${\displaystyle p}$ и гомеоморфизм ${\displaystyle \varphi :U\to V}$ к открытому подмножеству ${\displaystyle V\subseteq \mathbb {C} ^{n}}$. Такие открытые множества называются графики.
• Если ${\displaystyle (U_{1},\varphi )}$ и ${\displaystyle (U_{2},\psi )}$ любые две пересекающиеся диаграммы, которые отображаются на открытых множествах ${\displaystyle V_{1},V_{2}}$ из ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ соответственно, то функция перехода ${\displaystyle \psi \circ \varphi ^{-1}:\varphi (U_{1}\cap U_{2})\to \psi (U_{1}\cap U_{2})}$ это биголоморфизм.

Обратите внимание, что, поскольку каждый биголоморфизм является диффеоморфизм, и ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ является изоморфизмом как реальное векторное пространство к ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$, каждое комплексное многообразие размерности ${\displaystyle n}$ является, в частности, гладким многообразием размерности ${\displaystyle 2n}$, которое всегда является четным числом.

В отличие от сложных многообразий, которые всегда гладкие, комплексная геометрия также связана с возможно сингулярными пространствами. An аффинное комплексное аналитическое многообразие это подмножество ${\displaystyle X\subseteq \mathbb {C} ^{n}}$ так что по каждому пункту ${\displaystyle p\in X}$, есть открытый район ${\displaystyle U}$ из ${\displaystyle p}$ и набор конечного числа голоморфных функций ${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{k}:U\to \mathbb {C} }$ такой, что ${\displaystyle X\cap U=\{z\in U\mid f_{1}(z)=\cdots =f_{k}(z)=0\}=Z(f_{1},\dots ,f_{k})}$. По соглашению нам также потребуется набор ${\displaystyle X}$ быть несводимый. Точка ${\displaystyle p\in X}$ является единственное число если Матрица якобиана вектора голоморфных функций ${\displaystyle (f_{1},\dots ,f_{k})}$ не имеет полного звания в ${\displaystyle p}$, и неособый иначе. А проективное комплексное аналитическое многообразие это подмножество ${\displaystyle X\subseteq \mathbb {CP} ^{n}}$ из сложное проективное пространство то есть точно так же локально задаются нулями конечного набора голоморфных функций на открытых подмножествах ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$.

Аналогичным образом можно определить аффинное комплексное алгебраическое многообразие быть подмножеством ${\displaystyle X\subseteq \mathbb {C} ^{n}}$ который локально задается как нулевой набор конечного числа многочленов от ${\displaystyle n}$ комплексные переменные. Чтобы определить проективное комплексное алгебраическое многообразие, требуется подмножество ${\displaystyle X\subseteq \mathbb {CP} ^{n}}$ локально задаваться нулевым множеством конечного числа однородные многочлены.

Чтобы определить общее комплексное алгебраическое или комплексно-аналитическое многообразие, требуется понятие локально окольцованное пространство. А сложное алгебраическое / аналитическое разнообразие является локально окольцованным пространством ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ которое локально изоморфно как локально окольцованное пространство аффинному комплексному алгебраическому / аналитическому многообразию. В аналитическом случае обычно допускается ${\displaystyle X}$ иметь топологию, локально эквивалентную топологии подпространства из-за отождествления с открытыми подмножествами ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$, тогда как в алгебраическом случае ${\displaystyle X}$ часто оснащается Топология Зарисского. Снова мы также по соглашению требуем, чтобы это локально окольцованное пространство было неприводимым.

Поскольку определение особой точки является локальным, определение, данное для аффинного аналитического / алгебраического многообразия, применяется к точкам любого комплексного аналитического или алгебраического многообразия. Множество точек разнообразия ${\displaystyle X}$ которые являются сингулярными, называется сингулярный локус, обозначенный ${\displaystyle X^{sing}}$, а дополнение - это неособый или гладкий локус, обозначенный ${\displaystyle X^{nonsing}}$. Мы говорим, что сложная разновидность гладкий; плавный или неособый если это единственный локус пуст. То есть, если он равен своему неособому локусу.

Посредством теорема о неявной функции для голоморфных функций каждое комплексное многообразие является, в частности, неособым комплексным аналитическим многообразием, но в общем случае не является аффинным или проективным. По теореме Серра GAGA каждое проективное комплексное аналитическое многообразие на самом деле является проективным комплексным алгебраическим многообразием. Когда комплексное многообразие неособо, это комплексное многообразие. В более общем смысле, неособое геометрическое место любой комплексное многообразие - это комплексное многообразие.

Типы сложных пространств

Кэлеровы многообразия

Сложные многообразия можно изучать с точки зрения дифференциальной геометрии, посредством чего они снабжены дополнительными геометрическими структурами, такими как Риманова метрика или симплектическая форма. Чтобы эта дополнительная структура соответствовала сложной геометрии, нужно попросить, чтобы она была совместима со сложной структурой в подходящем смысле. А Кэлерово многообразие является комплексным многообразием с римановой метрикой и симплектической структурой, совместимой с комплексной структурой. Каждое комплексное подмногообразие кэлерова многообразия является кэлеровым, и поэтому, в частности, каждое неособое аффинное или проективное комплексное многообразие является кэлеровым после ограничения стандартной эрмитовой метрики на ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ или Метрика Фубини-Штуди на ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$ соответственно.

Другие важные примеры кэлеровых многообразий включают римановы поверхности, K3 поверхности, и Многообразия Калаби-Яу.

Многообразия Штейна

Теорема Серра GAGA утверждает, что проективные комплексно-аналитические многообразия на самом деле являются алгебраическими. Хотя это не совсем верно для аффинных многообразий, существует класс комплексных многообразий, которые действуют очень похоже на аффинные комплексные алгебраические многообразия, называемые Многообразия Штейна. Многообразие ${\displaystyle X}$ является штейновым, если оно голоморфно выпукло и голоморфно отделимо (технические определения см. в статье о многообразиях Штейна). Однако можно показать, что это эквивалентно ${\displaystyle X}$ являясь комплексным подмногообразием ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ для некоторых ${\displaystyle n}$. Другой способ, которым многообразия Штейна похожи на аффинные комплексные алгебраические многообразия, состоит в том, что Теоремы Картана A и B для многообразий Штейна.

Примеры многообразий Штейна включают некомпактные римановы поверхности и неособые аффинные комплексные алгебраические многообразия.

Гиперкэлеровы многообразия

Особый класс комплексных многообразий - это гипер-кэлеровы многообразия, которые являются римановыми многообразиями, допускающими три различных согласованных интегрируемые почти сложные конструкции ${\displaystyle I,J,K}$ которые удовлетворяют кватернионные отношения ${\displaystyle I^{2}=J^{2}=K^{2}=IJK=-\operatorname {Id} }$. Таким образом, гиперкэлеровы многообразия являются кэлеровыми многообразиями по трем различным причинам и, следовательно, имеют богатую геометрическую структуру.

Примеры гиперкэлеровых многообразий включают Пробелы ALE, Поверхности K3, Связка Хиггса пространства модулей, разновидности колчана, и многие другие пространства модулей, возникающие из калибровочная теория и теория представлений.

Многообразия Калаби-Яу

Реальный двумерный срез пятого трехмерного многообразия Калаби-Яу

Как уже упоминалось, особый класс кэлеровых многообразий задается многообразиями Калаби-Яу. Они задаются кэлеровыми многообразиями с тривиальным каноническим расслоением ${\displaystyle K_{X}=\Lambda ^{n}T_{1,0}^{*}X}$. Обычно для определения многообразия Калаби-Яу также требуется ${\displaystyle X}$ быть компактным. В таком случае Яу доказательство Гипотеза Калаби подразумевает, что ${\displaystyle X}$ допускает кэлерову метрику с исчезающими Кривизна Риччи, и это можно рассматривать как эквивалентное определение Калаби-Яу.

Многообразия Калаби-Яу нашли применение в теория струн и зеркальная симметрия, где они используются для моделирования дополнительных 6 измерений пространства-времени в 10-мерных моделях теории струн. Примеры многообразий Калаби-Яу даются эллиптические кривые, K3-поверхности и комплексные Абелевы разновидности.

Сложные сорта Фано

Комплекс Сорт Фано комплексное алгебраическое многообразие с обильный антиканонический линейный пучок (то есть ${\displaystyle K_{X}^{*}}$ достаточно). Многообразия Фано представляют значительный интерес в комплексной алгебраической геометрии, в частности в бирациональная геометрия, где они часто возникают в программа минимальной модели. Фундаментальные примеры многообразий Фано даются проективным пространством ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$ где ${\displaystyle K={\mathcal {O}}(-n-1)}$, а гладкие гиперповерхности ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$ степени меньше чем ${\displaystyle n+1}$.

Торические разновидности

Моментный многогранник, описывающий первую Поверхность Хирцебруха.

Торические разновидности являются комплексными алгебраическими многообразиями размерности ${\displaystyle n}$ содержащий открытый плотное подмножество биголоморфный ${\displaystyle (\mathbb {C} ^{*})^{n}}$, оснащенный действием ${\displaystyle (\mathbb {C} ^{*})^{n}}$ которое расширяет действие на открытое плотное подмножество. Торическое многообразие может быть описано комбинаторно с помощью торический вентилятор, и, по крайней мере, когда он неособый, момент многогранник. Это многоугольник в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ с тем свойством, что любая вершина может быть преобразована в стандартную форму вершины положительного ортодоксальный действием ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {Z} )}$. Торическое многообразие может быть получено как подходящее пространство, расслаивающееся над многогранником.

Многие конструкции, которые выполняются на торических многообразиях, допускают альтернативное описание в терминах комбинаторики и геометрии многогранника моментов или связанного с ним торического веера. Это делает торические многообразия особенно привлекательными тестами для многих конструкций сложной геометрии. Примеры торических многообразий включают комплексные проективные пространства и расслоения над ними.

Техники сложной геометрии

Из-за жесткости голоморфных функций и комплексных многообразий методы, обычно используемые для изучения сложных многообразий и комплексных многообразий, отличаются от методов, используемых в регулярной дифференциальной геометрии, и ближе к методам, используемым в алгебраической геометрии. Например, в дифференциальной геометрии многие проблемы решаются путем взятия локальных конструкций и их глобального соединения с помощью разбиений единицы. Разделы единства не существуют в сложной геометрии, и поэтому проблема того, когда локальные данные могут быть склеены в глобальные, является более тонкой. Точно, когда локальные данные могут быть объединены, измеряется когомологии пучков, и снопы и их группы когомологий являются основными инструментами.

Например, известными проблемами анализа нескольких сложных переменных, предшествовавшими введению современных определений, являются: Проблемы кузена, спрашивая, когда именно локальные мероморфные данные могут быть склеены для получения глобальной мероморфной функции. Эти старые проблемы могут быть просто решены после введения пучков и групп когомологий.

Специальные примеры пучков, используемых в сложной геометрии, включают голоморфные линейные пакеты (и делители связанные с ними), голоморфные векторные расслоения, и когерентные пучки. Поскольку когомологии пучков измеряют препятствия в комплексной геометрии, один из используемых приемов - доказательство теорем об исчезновении. Примеры теорем об исчезновении в сложной геометрии включают Кодаира теорема об исчезновении для когомологий линейных расслоений на компактных кэлеровых многообразиях и Теоремы Картана A и B для когомологий когерентных пучков на аффинных комплексных многообразиях.

Сложная геометрия также использует методы, вытекающие из дифференциальной геометрии и анализа. Например, Теорема Хирцебруха-Римана-Роха, частный случай Теорема Атьи-Зингера об индексе, вычисляет голоморфная эйлерова характеристика голоморфного векторного расслоения в терминах характеристических классов подлежащего гладкого комплексного векторного расслоения.

Классификация в сложной геометрии

Одна из основных тем сложной геометрии: классификация. Из-за жесткости сложных многообразий и многообразий проблема классификации этих пространств часто оказывается решаемой. Классификация в сложной и алгебраической геометрии часто происходит через изучение пространства модулей, которые сами по себе являются сложными многообразиями или разновидностями, точки которых классифицируют другие геометрические объекты, возникающие в сложной геометрии.

Римановы поверхности

Период, термин модули был придуман Бернхард Риманн во время его оригинальной работы над римановыми поверхностями. Теория классификации наиболее известна для компактных римановых поверхностей. Посредством классификация замкнутых ориентированных поверхностей, компактные римановы поверхности входят в счетное число дискретных типов, измеряемых их род ${\displaystyle g}$, которое является неотрицательным целым числом, считающим количество дырок в данной компактной римановой поверхности.

Классификация по существу следует из теорема униформизации, и выглядит следующим образом:^[1][2][3]

• г = 0: ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$

• г = 1: Существует одномерное комплексное многообразие, классифицирующее возможные компактные римановы поверхности рода 1, так называемые эллиптические кривые, то модульная кривая. Посредством теорема униформизации любую эллиптическую кривую можно записать как частное ${\displaystyle \mathbb {C} /(\mathbb {Z} +\tau \mathbb {Z} )}$ где ${\displaystyle \tau }$ - комплексное число со строго положительной мнимой частью. Пространство модулей задается фактором группы ${\displaystyle \operatorname {PSL} (2,\mathbb {Z} )}$ действуя на верхняя полуплоскость к Преобразования Мебиуса.
• г> 1: Для каждого рода больше единицы существует пространство модулей ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}$ компактных римановых поверхностей рода g размерности ${\displaystyle \dim _{\mathbb {C} }{\mathcal {M}}_{g}=3g-3}$. Подобно случаю эллиптических кривых, это пространство может быть получено подходящим фактором Верхнее полупространство Зигеля по действию группы ${\displaystyle \operatorname {Sp} (2g,\mathbb {Z} )}$.

Голоморфные линейные расслоения

Сложная геометрия касается не только сложных пространств, но и других связанных с ними голоморфных объектов. Классификация голоморфных линейных расслоений на комплексном многообразии ${\displaystyle X}$ дается Разновидность пикара ${\displaystyle \operatorname {Pic} (X)}$ из ${\displaystyle X}$.

Разновидность пикара легко описывается в случае, когда ${\displaystyle X}$ является компактной римановой поверхностью рода g. А именно, в этом случае многообразие Пикара представляет собой несвязное объединение комплексных Абелевы разновидности, каждый из которых изоморфен Якобиева многообразие кривой, классифицируя делители нулевой степени с точностью до линейной эквивалентности. В дифференциально-геометрических терминах эти абелевы многообразия представляют собой комплексные торы, комплексные многообразия, диффеоморфные ${\displaystyle (S^{1})^{2g}}$, возможно, с одной из множества различных сложных структур.

Посредством Теорема Торелли, компактная риманова поверхность определяется своим якобиевым многообразием, и это демонстрирует одну из причин, почему изучение структур на комплексных пространствах может быть полезным, поскольку оно позволяет решать классификацию самих пространств.

Смотрите также

• Бивектор (комплекс)
• Многообразие Калаби – Яу
• Теоремы Картана A и B
• Комплексное аналитическое пространство
• Комплексная группа Ли
• Сложный многогранник
• Комплексное проективное пространство
• Проблемы кузена
• Теория деформации # Деформации комплексных многообразий
• Классификация Энриквеса-Кодаира
• ГАГА
• Теорема Хартогса о продолжении
• Эрмитово симметричное пространство
• Разложение Ходжа
• Коллектор Хопфа
• Воображаемая линия (математика)
• Кобаяши метрика
• Переписка Кобаяши – Хитчина
• Кэлерово многообразие
• Номер Лелонга
• Список комплексных и алгебраических поверхностей
• Зеркальная симметрия
• Множитель идеальный
• Проективное разнообразие
• Псевдовыпуклость
• Несколько сложных переменных
• Коллектор Штейна

Рекомендации

1. Форстер, О. (2012). Лекции о римановых поверхностях (т. 81). Springer Science & Business Media.
2. Миранда, Р. (1995). Алгебраические кривые и римановы поверхности (т. 5). American Mathematical Soc.
3. Дональдсон, С. (2011). Римановы поверхности. Издательство Оксфордского университета.

• Хайбрехтс, Даниэль (2005). Сложная геометрия: введение. Springer. ISBN  3-540-21290-6.
• Гриффитс, Филипп; Харрис, Джозеф (1994), Принципы алгебраической геометрии, Библиотека Wiley Classics, Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья, ISBN  978-0-471-05059-9, Г-Н  1288523
• Хёрмандер, Ларс (1990) [1966], Введение в комплексный анализ нескольких переменных, Математическая библиотека Северной Голландии, 7 (3-е (пересмотренное) изд.), Амстердам – Лондон – Нью-Йорк – Токио: Северная Голландия, ISBN  0-444-88446-7, Г-Н  1045639, Zbl  0685.32001
• С. Кобаяси, К. Номидзу. Основы дифференциальной геометрии (Библиотека Wiley Classics) Том 1, 2.
• Э. Х. Невилл (1922) Пролегомены к аналитической геометрии в анизотропном евклидовом пространстве трех измерений, Издательство Кембриджского университета.