Каноническое коммутационное отношение - Canonical commutation relation

В квантовая механика, то каноническое коммутационное соотношение фундаментальная связь между каноническое сопряжение количества (количества, которые связаны по определению так, что преобразование Фурье другого). Например,

${\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}_{x}]=i\hbar }$

между оператором позиции Икс и оператор импульса п_Икс в Икс направление точечной частицы в одном измерении, где [Икс , п_Икс] = Икс п_Икс − п_Икс Икс это коммутатор из Икс и п_Икс , я это мнимая единица, и ℏ сокращенный Постоянная Планка час/ 2π . В общем, положение и импульс являются векторами операторов, и их коммутационная связь между различными компонентами положения и импульса может быть выражена как

${\displaystyle [{\hat {r}}_{i},{\hat {p}}_{j}]=i\hbar \delta _{ij}.}$

куда ${\displaystyle \delta _{ij}}$ это Дельта Кронекера.

Это отношение приписывается Макс Борн (1925),^[1] кто назвал это «квантовым условием», служащим постулатом теории; это было отмечено Э. Кеннард (1927)^[2] подразумевать Гейзенберг принцип неопределенности. В Теорема Стоуна – фон Неймана дает результат о единственности для операторов, удовлетворяющих (в экспоненциальной форме) каноническому коммутационному соотношению.

Отношение к классической механике

Напротив, в классическая физика, все наблюдаемые коммутируют и коммутатор будет ноль. Однако существует аналогичное соотношение, которое получается заменой коммутатора на Скобка Пуассона умножается на яℏ,

${\displaystyle \{x,p\}=1\,.}$

Это наблюдение привело Дирак предложить квантовые аналоги f̂, грамм классических наблюдаемых ж, грамм удовлетворить

${\displaystyle [{\hat {f}},{\hat {g}}]=i\hbar {\widehat {\{f,g\}}}\,.}$

В 1946 г. Хип Groenewold продемонстрировал, что общая систематическая переписка между квантовыми коммутаторами и скобками Пуассона не может выполняться последовательно.^[3][4]

Однако он также осознал, что такое систематическое соответствие действительно существует между квантовым коммутатором и деформация скобки Пуассона, которую сегодня называют Кронштейн Мойял, и, вообще говоря, квантовые операторы и классические наблюдаемые и распределения в фазовое пространство. Таким образом, он наконец выяснил механизм согласованного соответствия, Преобразование Вигнера – Вейля, который лежит в основе альтернативного эквивалентного математического представления квантовой механики, известного как квантование деформации.^[3][5]

Вывод из гамильтоновой механики

Согласно принцип соответствия, в определенных пределах квантовые уравнения состояний должны приближаться к Уравнения движения Гамильтона. Последние устанавливают следующую связь между обобщенной координатой q (например, позиция) и обобщенный импульс п:

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {q}}={\frac {\partial H}{\partial p}}=\{q,H\};\\{\dot {p}}=-{\frac {\partial H}{\partial q}}=\{p,H\}.\end{cases}}}$

В квантовой механике гамильтониан ${\displaystyle {\hat {H}}}$, (обобщенная) координата ${\displaystyle {\hat {Q}}}$ и (обобщенный) импульс ${\displaystyle {\hat {P}}}$ все линейные операторы.

Производная по времени квантового состояния равна ${\displaystyle i{\hat {H}}/\hbar }$ (к Уравнение Шредингера ). Точно так же, поскольку операторы не зависят явно от времени, можно увидеть, что они развиваются во времени (см. Картинка Гейзенберга ) в соответствии с их коммутационным соотношением с гамильтонианом:

${\displaystyle {\frac {d{\hat {Q}}}{dt}}={\frac {i}{\hbar }}[{\hat {H}},{\hat {Q}}]}$

${\displaystyle {\frac {d{\hat {P}}}{dt}}={\frac {i}{\hbar }}[{\hat {H}},{\hat {P}}]\,\,.}$

Чтобы это согласовалось в классическом пределе с уравнениями движения Гамильтона, ${\displaystyle [{\hat {H}},{\hat {Q}}]}$ должен полностью зависеть от появления ${\displaystyle {\hat {P}}}$ в гамильтониане и ${\displaystyle [{\hat {H}},{\hat {P}}]}$ должен полностью зависеть от появления ${\displaystyle {\hat {Q}}}$ в гамильтониане. Кроме того, поскольку оператор Гамлитона зависит от (обобщенных) операторов координаты и импульса, его можно рассматривать как функционал, и мы можем написать (используя функциональные производные ):

${\displaystyle [{\hat {H}},{\hat {Q}}]={\frac {\delta {\hat {H}}}{\delta {\hat {P}}}}\cdot [{\hat {P}},{\hat {Q}}]}$

${\displaystyle [{\hat {H}},{\hat {P}}]={\frac {\delta {\hat {H}}}{\delta {\hat {Q}}}}\cdot [{\hat {Q}},{\hat {P}}]\,\,.}$

Тогда, чтобы получить классический предел, мы должны иметь:

${\displaystyle [{\hat {Q}},{\hat {P}}]=i\hbar }$

Отношения Вейля

В группа ${\displaystyle H_{3}(\mathbb {R} )}$ создано возведение в степень трехмерного Алгебра Ли определяется коммутационным соотношением ${\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}]=i\hbar }$ называется Группа Гейзенберга. Эта группа может быть реализована как группа ${\displaystyle 3\times 3}$ верхнетреугольные матрицы с единицами на диагонали.^[6]

По стандарту математическая формулировка квантовой механики, квантовые наблюдаемые, такие как ${\displaystyle {\hat {x}}}$ и ${\displaystyle {\hat {p}}}$ должен быть представлен как самосопряженные операторы на некоторых Гильбертово пространство. Относительно легко увидеть, что два операторы удовлетворяющие указанным выше каноническим коммутационным соотношениям, не могут быть одновременно ограниченный. Конечно, если ${\displaystyle {\hat {x}}}$ и ${\displaystyle {\hat {p}}}$ мы класс трассировки операторов, отношение ${\displaystyle \operatorname {Tr} (AB)=\operatorname {Tr} (BA)}$ дает ненулевое число справа и ноль слева.

В качестве альтернативы, если ${\displaystyle {\hat {x}}}$ и ${\displaystyle {\hat {p}}}$ были ограниченными операторами, отметим, что ${\displaystyle [{\hat {x}}^{n},{\hat {p}}]=i\hbar n{\hat {x}}^{n-1}}$, следовательно, операторные нормы удовлетворяли бы

${\displaystyle 2\left\|{\hat {p}}\right\|\left\|{\hat {x}}\right\|^{n}\geq n\hbar \left\|{\hat {x}}\right\|^{n-1}}$, так что для любого п,

${\displaystyle 2\left\|{\hat {p}}\right\|\left\|{\hat {x}}\right\|\geq n\hbar }$

Тем не мение, п может быть сколь угодно большим, поэтому по крайней мере один оператор не может быть ограничен, а размерность основного гильбертова пространства не может быть конечной. Если операторы удовлетворяют соотношениям Вейля (возведенная в степень версия канонических соотношений коммутации, описанная ниже), то как следствие Теорема Стоуна – фон Неймана, обе операторы должны быть неограниченными.

Тем не менее, эти канонические коммутационные соотношения можно сделать несколько более «укрощенными», записав их в терминах (ограниченного) унитарные операторы ${\displaystyle \mathrm {exp} (it{\hat {x}})}$ и ${\displaystyle \mathrm {exp} (is{\hat {p}})}$. Полученные соотношения плетения для этих операторов представляют собой так называемые Вейлевские отношения

${\displaystyle \mathrm {exp} (it{\hat {x}})\mathrm {exp} (is{\hat {p}})=\mathrm {exp} (-ist\hbar )\mathrm {exp} (is{\hat {p}})\mathrm {exp} (it{\hat {x}})}$.

Эти отношения можно рассматривать как экспоненциальную версию канонических коммутационных соотношений; они отражают, что переводы в позиции и переводы в импульсе не переключаются. Можно легко переформулировать соотношения Вейля в терминах представления группы Гейзенберга.

Тогда единственность канонических коммутационных соотношений - в форме соотношений Вейля - гарантируется Теорема Стоуна – фон Неймана.

Важно отметить, что по техническим причинам соотношения Вейля не строго эквивалентны каноническому коммутационному соотношению ${\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}]=i\hbar }$. Если ${\displaystyle {\hat {x}}}$ и ${\displaystyle {\hat {p}}}$ были ограниченными операторами, то частный случай Формула Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа позволит «возвести в степень» канонические коммутационные соотношения к соотношениям Вейля.^[7] Поскольку, как мы уже отмечали, любые операторы, удовлетворяющие каноническим коммутационным соотношениям, должны быть неограниченными, формула Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа неприменима без дополнительных предположений об области. Действительно, существуют контрпримеры, удовлетворяющие каноническим коммутационным соотношениям, но не соотношениям Вейля.^[8] (Эти же операторы дают контрпример к наивной форме принципа неопределенности.) Эти технические проблемы являются причиной того, что Теорема Стоуна – фон Неймана формулируется в терминах соотношений Вейля.

Дискретный вариант соотношений Вейля, в котором параметры s и т диапазон более ${\displaystyle \mathbb {Z} /n}$, могут быть реализованы в конечномерном гильбертовом пространстве с помощью матрицы часов и сдвига.

Обобщения

Простая формула

${\displaystyle [x,p]=i\hbar ,\,}$

действительно для квантование простейшей классической системы, можно обобщить на случай произвольной Лагранжиан ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$.^[9] Мы идентифицируем канонические координаты (Такие как Икс в приведенном выше примере или поле Φ (Икс) в случае квантовая теория поля ) и канонические импульсы π_Икс (в приведенном выше примере это пили, в более общем смысле, некоторые функции, включающие производные канонических координат по времени):

${\displaystyle \pi _{i}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial x_{i}/\partial t)}}.}$

Такое определение канонического импульса гарантирует, что один из Уравнения Эйлера – Лагранжа. имеет форму

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\pi _{i}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x_{i}}}.}$

Тогда канонические коммутационные соотношения составляют

${\displaystyle [x_{i},\pi _{j}]=i\hbar \delta _{ij},\,}$

куда δ_ij это Дельта Кронекера.

Далее, легко показать, что

${\displaystyle [F({\vec {x}}),p_{i}]=i\hbar {\frac {\partial F({\vec {x}})}{\partial x_{i}}};\qquad [x_{i},F({\vec {p}})]=i\hbar {\frac {\partial F({\vec {p}})}{\partial p_{i}}}.}$

С помощью ${\displaystyle C_{n+1}^{k}=C_{n}^{k}+C_{n}^{k-1}}$, легко показать, что математической индукцией

${\displaystyle \left[{\hat {x}}^{n},{\hat {p}}^{m}\right]=\sum _{k=1}^{min\left(m,n\right)}{{\frac {-\left(-i\hbar \right)^{k}n!m!}{k!\left(n-k\right)!\left(m-k\right)!}}{\hat {x}}^{n-k}{\hat {p}}^{m-k}}=\sum _{k=1}^{min\left(m,n\right)}{{\frac {\left(i\hbar \right)^{k}n!m!}{k!\left(n-k\right)!\left(m-k\right)!}}{\hat {p}}^{m-k}{\hat {x}}^{n-k}}}$

Калибровочная инвариантность

Каноническое квантование применяется, по определению, к канонические координаты. Однако при наличии электромагнитное поле, канонический импульс п не является калибровочный инвариант. Правильный калибровочно-инвариантный импульс (или «кинетический импульс») равен

${\displaystyle p_{\text{kin}}=p-qA\,\!}$   (Единицы СИ )      ${\displaystyle p_{\text{kin}}=p-{\frac {qA}{c}}\,\!}$   (единицы cgs ),

куда q это частица электрический заряд, А это векторный потенциал, и c это скорость света. Хотя количество п_родня "физический импульс" в том смысле, что это величина, которую можно отождествить с импульсом в лабораторных экспериментах, не удовлетворяют каноническим коммутационным соотношениям; только канонический импульс делает это. Это можно увидеть следующим образом.

Нерелятивистский Гамильтониан для квантованной заряженной частицы массы м в классическом электромагнитном поле (в единицах cgs)

${\displaystyle H={\frac {1}{2m}}\left(p-{\frac {qA}{c}}\right)^{2}+q\phi }$

куда А - трехвекторный потенциал и φ это скалярный потенциал. Эта форма гамильтониана, как и Уравнение Шредингера Hψ = iħ∂ψ / ∂t, то Уравнения Максвелла и Закон силы Лоренца инвариантны относительно калибровочного преобразования

${\displaystyle A\to A^{\prime }=A+\nabla \Lambda }$

${\displaystyle \phi \to \phi ^{\prime }=\phi -{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \Lambda }{\partial t}}}$

${\displaystyle \psi \to \psi ^{\prime }=U\psi }$

${\displaystyle H\to H^{\prime }=UHU^{\dagger },}$

куда

${\displaystyle U=\exp \left({\frac {iq\Lambda }{\hbar c}}\right)}$

и Λ = Λ (x, t) - калибровочная функция.

В оператор углового момента является

${\displaystyle L=r\times p\,\!}$

и подчиняется каноническим соотношениям квантования

${\displaystyle [L_{i},L_{j}]=i\hbar {\epsilon _{ijk}}L_{k}}$

определение Алгебра Ли за так (3), куда ${\displaystyle \epsilon _{ijk}}$ это Символ Леви-Чивита. При калибровочных преобразованиях угловой момент преобразуется как

${\displaystyle \langle \psi \vert L\vert \psi \rangle \to \langle \psi ^{\prime }\vert L^{\prime }\vert \psi ^{\prime }\rangle =\langle \psi \vert L\vert \psi \rangle +{\frac {q}{\hbar c}}\langle \psi \vert r\times \nabla \Lambda \vert \psi \rangle \,.}$

Калибровочно-инвариантный угловой момент (или "кинетический угловой момент") определяется выражением

${\displaystyle K=r\times \left(p-{\frac {qA}{c}}\right),}$

который имеет коммутационные соотношения

${\displaystyle [K_{i},K_{j}]=i\hbar {\epsilon _{ij}}^{\,k}\left(K_{k}+{\frac {q\hbar }{c}}x_{k}\left(x\cdot B\right)\right)}$

куда

${\displaystyle B=\nabla \times A}$

это магнитное поле. Неэквивалентность этих двух формулировок проявляется в Эффект Зеемана и Эффект Ааронова – Бома.

Отношение неопределенности и коммутаторы

Все такие нетривиальные коммутационные соотношения для пар операторов приводят к соответствующим отношения неопределенности,^[10] включающие вклады с положительным полуопределенным математическим ожиданием от соответствующих коммутаторов и антикоммутаторов. В общем на двоих Эрмитовы операторы А и B, рассмотрим математические ожидания в системе в состоянии ψ, отклонения от соответствующих ожидаемых значений равны (ΔА)² ≡ ⟨(А − ⟨А⟩)²⟩, так далее.

потом

${\displaystyle \Delta A\,\Delta B\geq {\frac {1}{2}}{\sqrt {\left|\left\langle \left[{A},{B}\right]\right\rangle \right|^{2}+\left|\left\langle \left\{A-\langle A\rangle ,B-\langle B\rangle \right\}\right\rangle \right|^{2}}},}$

куда [А, B] ≡ А Б − Б А это коммутатор из А и B, и {А, B} ≡ А Б + Б А это антикоммутатор.

Это следует за счет использования Неравенство Коши – Шварца, поскольку|⟨А²⟩| |⟨B²⟩| ≥ |⟨А Б⟩|², и А Б = ([А, B] + {А, B})/2 ; и аналогично для сдвинутых операторов А − ⟨А⟩ и B − ⟨B⟩. (См. выводы принципа неопределенности.)

Замена на А и B (и тщательный анализ) приводят к знакомому соотношению неопределенности Гейзенберга для Икс и п, как обычно.

Соотношение неопределенности для операторов углового момента

Для операторов углового момента L_Икс = у п_z − z p_уи т. д., то

${\displaystyle [{L_{x}},{L_{y}}]=i\hbar \epsilon _{xyz}{L_{z}},}$

куда ${\displaystyle \epsilon _{xyz}}$ это Символ Леви-Чивита и просто меняет знак ответа при попарной замене индексов. Аналогичное соотношение имеет место для вращение операторы.

Здесь для L_Икс и L_у ,^[10] в мультиплетах углового момента ψ = |ℓ,м⟩, для поперечных компонент Инвариант Казимира L_Икс² + L_у²+ L_z², то z-симметричные отношения

⟨L_Икс²⟩ = ⟨L_у²⟩ = (ℓ (ℓ + 1) − м²) ℏ²/2 ,

а также ⟨L_Икс⟩ = ⟨L_у⟩ = 0 .

Следовательно, указанное выше неравенство, примененное к этому коммутационному соотношению, определяет

${\displaystyle \Delta L_{x}\Delta L_{y}\geq {\frac {1}{2}}{\sqrt {\hbar ^{2}|\langle L_{z}\rangle |^{2}}}~,}$

следовательно

${\displaystyle {\sqrt {|\langle L_{x}^{2}\rangle \langle L_{y}^{2}\rangle |}}\geq {\frac {\hbar ^{2}}{2}}m}$

и поэтому

${\displaystyle \ell (\ell +1)-m^{2}\geq m~,}$

таким образом, это дает полезные ограничения, такие как нижняя оценка Инвариант Казимира: ℓ (ℓ + 1) ≥ м (м + 1), и поэтому ℓ ≥ м, среди прочего.

Смотрите также

• Теорема Стоуна – фон Неймана
• Каноническое квантование
• CCR алгебра
• Производная Ли
• Кронштейн Мойял

Рекомендации

1. Родился, М .; Джордан, П. (1925). "Zur Quantenmechanik". Zeitschrift für Physik. 34: 858. Bibcode:1925ZPhy ... 34..858B. Дои:10.1007 / BF01328531.
2. Кеннард, Э. Х. (1927). "Zur Quantenmechanik einfacher Bewegungstypen". Zeitschrift für Physik. 44 (4–5): 326–352. Bibcode:1927ZPhy ... 44..326K. Дои:10.1007 / BF01391200.
3. Groenewold, H. J. (1946). «О принципах элементарной квантовой механики». Physica. 12 (7): 405–460. Bibcode:1946Phy .... 12..405G. Дои:10.1016 / S0031-8914 (46) 80059-4.
4. Зал 2013 ошибка harvnb: несколько целей (2 ×): CITEREFHall2013 (помощь) Теорема 13.13.
5. Curtright, T. L .; Захос, К. К. (2012). «Квантовая механика в фазовом пространстве». Информационный бюллетень по физике Азиатско-Тихоокеанского региона. 01: 37–46. arXiv:1104.5269. Дои:10.1142 / S2251158X12000069.
6. Зал 2015 Ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFHall2015 (помощь) Раздел 1.2.6 и предложение 3.26
7. См. Раздел 5.2 Зал 2015 Ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFHall2015 (помощь) для элементарного вывода
8. Зал 2013 ошибка harvnb: несколько целей (2 ×): CITEREFHall2013 (помощь) Пример 14.5
9. Таунсенд, Дж. С. (2000). Современный подход к квантовой механике. Саусалито, Калифорния: Университетские научные книги. ISBN  1-891389-13-0.
10. Робертсон, Х. П. (1929). «Принцип неопределенности». Физический обзор. 34 (1): 163–164. Bibcode:1929ПхРв ... 34..163Р. Дои:10.1103 / PhysRev.34.163.

• Холл, Брайан К. (2013), Квантовая теория для математиков, Тексты для выпускников по математике, 267, Springer.
• Холл, Брайан К. (2013), Группы Ли, алгебры и представления Ли, элементарное введение, Тексты для выпускников по математике, 222 (2-е изд.), Springer.