Преобразование Вигнера – Вейля - Wigner–Weyl transform

«Преобразование Вейля» перенаправляется сюда. О преобразовании в общей теории относительности см. Преобразование Вейля.

В квантовая механика, то Преобразование Вигнера – Вейля или же Преобразование Вейля – Вигнера (после Герман Вейль и Юджин Вигнер ) - обратимое отображение между функциями в квантовой формулировка фазового пространства и Гильбертово пространство операторы в Картина Шредингера.

Часто отображение функций на фазовом пространстве в операторы называют Преобразование Вейля или же Квантование Вейля, в то время как обратное отображение от операторов к функциям на фазовом пространстве называется Преобразование Вигнера. Это отображение было первоначально разработано Германом Вейлем в 1927 году в попытке симметризовать отображение классический функции фазового пространства для операторов, процедура, известная как Квантование Вейля.^[1] Теперь понятно, что квантование Вейля не удовлетворяет всем свойствам, которые требуются для квантования, и поэтому иногда дает нефизические ответы. С другой стороны, некоторые из замечательных свойств, описанных ниже, предполагают, что, если кто-то ищет единую согласованную процедуру квантования, отображающую функции на классическом фазовом пространстве в операторы, квантование Вейля - лучший вариант. (Теорема Гроенвольда говорит, что никакая такая карта не может обладать всеми идеальными свойствами.)

Несмотря на это, преобразование Вейля – Вигнера представляет собой четко определенное интегральное преобразование между фазовым пространством и представлениями операторов и дает представление о работе квантовой механики. Самое главное, что Квази-вероятностное распределение Вигнера есть преобразование Вигнера квантовой матрица плотности, и, наоборот, матрица плотности - это преобразование Вейля функции Вигнера. В отличие от первоначальных намерений Вейля по поиску последовательной схемы квантования, эта карта просто сводится к изменению представления в рамках квантовой механики; нет необходимости связывать «классические» с «квантовыми» величинами. Например, функция фазового пространства может явно зависеть от постоянной Планка ħ, как это происходит в некоторых известных случаях, связанных с угловым моментом. Это обратимое изменение представления затем позволяет выразить квантовую механику в фазовом пространстве, как это было оценено в 1940-х годах Хильбранд Дж. Гроенвольд^[2] и Хосе Энрике Мойаль.^[3][4]

Определение квантования Вейля общей наблюдаемой

Следующее объясняет преобразование Вейля на простейшем двумерном евклидовом фазовом пространстве. Пусть координаты на фазовом пространстве равны (д, р), и разреши ж - функция, определенная всюду на фазовом пространстве. Далее фиксируем операторы п и Q удовлетворение канонические коммутационные соотношения, такие как обычные операторы положения и импульса в представлении Шредингера. Мы предполагаем, что экспоненциальные операторы ${displaystyle e^{iaQ}}$ и ${displaystyle e^{ibP}}$ представляют собой неприводимое представление Вейлевские отношения, таким образом Теорема Стоуна – фон Неймана (гарантирующее единственность канонических коммутационных соотношений).

Основная формула

В Преобразование Вейля (или же Квантование Вейля) функции ж задается следующим оператором в гильбертовом пространстве,

${displaystyle Phi [f]={frac {1}{(2pi )^{2}}}iint !!!iint f(q,p)left(e^{i(a(Q-q)+b(P-p))}ight){ ext{d}}q,{ ext{d}}p,{ ext{d}}a,{ ext{d}}b.}$

На протяжении, ${displaystyle hbar }$ это приведенная постоянная Планка.

Поучительно выполнить п и q сначала интегралы в приведенной выше формуле, что дает эффект вычисления обычного преобразования Фурье ${displaystyle { ilde {f}}}$ функции ${displaystyle f}$, оставив оператора ${displaystyle e^{i(aQ+bP)}}$. В этом случае преобразование Вейля можно записать как^[5]

${displaystyle Phi [f]={frac {1}{(2pi )^{2}}}iint { ilde {f}}(a,b)e^{iaQ+ibP},da,db}$.

Поэтому мы можем думать о отображении Вейля следующим образом: мы берем обычное преобразование Фурье функции ${displaystyle f(p,q)}$, но затем, применяя формулу обращения Фурье, мы подставляем квантовые операторы ${displaystyle P}$ и ${displaystyle Q}$ для исходных классических переменных ${displaystyle p}$ и ${displaystyle q}$, получив «квантовую версию ${displaystyle f}$."

Менее симметричная форма, но удобная для приложений, следующая:

${displaystyle Phi [f]={frac {2}{(2pi hbar )^{3/2}}}iint !!!iint !!dqdpd{ ilde {x}}d{ ilde {p}}~e^{{frac {i}{hbar }}({ ilde {x}}{ ilde {p}}-2({ ilde {p}}-p)({ ilde {x}}-q))}~f(q,p)~|{ ilde {x}}angle langle { ilde {p}}|.}$

В позиционном представлении

Тогда отображение Вейля также может быть выражено через матричные элементы интегрального ядра этого оператора:^[6]

${displaystyle langle x|Phi [f]|yangle =int _{-infty }^{infty }{{ ext{d}}p over h}~e^{ip(x-y)/hbar }~fleft({x+y over 2},pight).}$

Обратная карта

Обратным вышеупомянутому отображению Вейля является Карта Вигнера, который принимает оператор Φ вернуться к исходной функции ядра фазового пространства ж,

${displaystyle f(q,p)=2int _{-infty }^{infty }{ ext{d}}y~e^{-2ipy/hbar }~langle q+y|Phi [f]|q-yangle .}$

Если заменить ${displaystyle Phi [f]}$ в приведенном выше выражении с произвольным оператором результирующая функция ж может зависеть от постоянной Планка час, и может хорошо описывать квантово-механические процессы при условии, что он правильно скомпонован через звездный продукт, ниже.^[7]В свою очередь, карта Вейля карты Вигнера резюмируется Формула Греневольда,^[8]

${displaystyle Phi [f]=hiint ,da,db~e^{iaQ+ibP}operatorname {Tr} (e^{-iaQ-ibP}Phi ).}$

Квантование Вейля полиномиальных наблюдаемых

Хотя приведенные выше формулы дают хорошее представление о квантовании Вейля очень общей наблюдаемой на фазовом пространстве, они не очень удобны для вычислений на простых наблюдаемых, таких как те, которые являются полиномами от ${displaystyle q}$ и ${displaystyle p}$. В следующих разделах мы увидим, что на таких полиномах квантование Вейля представляет собой полностью симметричный порядок некоммутирующих операторов ${displaystyle Q}$ и ${displaystyle P}$Например, отображение Вигнера квантового оператора квадрата углового момента L² не просто классический квадрат углового момента, но также содержит член смещения −3час²/2, который объясняет ненулевой угловой момент основного состояния Орбита Бора.

Характеристики

Квантование Вейля многочленов

Действие квантования Вейля на полиномиальные функции от ${displaystyle q}$ и ${displaystyle p}$ полностью определяется следующей симметричной формулой:^[9]

${displaystyle (aq+bp)^{n}longmapsto (aQ+bP)^{n}}$

для всех комплексных чисел ${displaystyle a}$ и ${displaystyle b}$. Из этой формулы нетрудно показать, что квантование Вейля на функции вида ${displaystyle q^{k}p^{l}}$ дает среднее значение всех возможных порядков ${displaystyle k}$ факторы ${displaystyle Q}$ и ${displaystyle l}$ факторы ${displaystyle P}$. Например, у нас есть

${displaystyle 6p^{2}q^{2}~~longmapsto ~~P^{2}Q^{2}+Q^{2}P^{2}+PQPQ+PQ^{2}P+QPQP+QP^{2}Q.}$

Хотя этот результат концептуально естественен, он неудобен для вычислений, когда ${displaystyle k}$ и ${displaystyle l}$ большие. В таких случаях мы можем использовать вместо этого формулу Маккоя^[10]

${displaystyle p^{m}q^{n}~~longmapsto ~~{1 over 2^{n}}sum _{r=0}^{n}{n choose r}Q^{r}P^{m}Q^{n-r}={1 over 2^{m}}sum _{s=0}^{m}{m choose s}P^{s}Q^{n}P^{m-s}.}$

Это выражение дает явно другой ответ для случая ${displaystyle p^{2}q^{2}}$ из полностью симметричного выражения выше. Однако здесь нет противоречия, поскольку канонические коммутационные соотношения допускают более одного выражения для одного и того же оператора. (Читателю может показаться поучительным использовать коммутационные соотношения для переписывания полностью симметричной формулы для случая ${displaystyle p^{2}q^{2}}$ с точки зрения операторов ${displaystyle P^{2}Q^{2}}$, ${displaystyle QP^{2}Q}$, и ${displaystyle Q^{2}P^{2}}$ и проверим первое выражение в формуле Маккоя с помощью ${displaystyle m=n=2}$.)

Широко распространено мнение, что квантование Вейля, среди всех схем квантования, максимально приближено к отображению скобки Пуассона на классической стороне на коммутатор на квантовой стороне. (Точное соответствие невозможно, в свете Теорема Гроенвольда.) Например,^[11]

Теорема: Если ${displaystyle f(q,p)}$ является многочленом степени не выше 2 и ${displaystyle g(q,p)}$ - произвольный многочлен, то имеем ${displaystyle Phi ({f,g})={frac {1}{ihbar }}[Phi (f),Phi (g)]}$.

Квантование по Вейлю общих функций

• Если ж это функция с действительным знаком, то его изображение карты Вейля Φ[ж] является самосопряженный.
• Если ж является элементом Пространство Шварца, тогда Φ[ж] является класс трассировки.
• В более общем смысле, Φ[ж] является плотно определенным неограниченный оператор.
• Карта Φ[ж] взаимно однозначно на пространстве Шварца (как подпространство квадратично интегрируемых функций).

Квантование деформации

Интуитивно деформация математического объекта - это семейство однотипных объектов, зависящих от некоторого параметра (ов). Здесь он предоставляет правила того, как деформировать «классическую» коммутативную алгебру наблюдаемых в квантовую некоммутативную алгебру наблюдаемых.

Основная установка в теории деформации - начать с алгебраической структуры (скажем, Алгебра Ли ) и спросите: существует ли один или несколько семейств параметров похожий структуры, такие, что для начального значения параметра (ов) один имеет ту же структуру (алгебру Ли), с которой был начат? (Самой старой иллюстрацией этого может быть осознание Эратосфен в древнем мире плоская Земля могла деформироваться до сферической Земли с параметром деформации 1 /р_⊕.) Например, можно определить некоммутативный тор как квантование деформации через ★-продукт для неявного обращения ко всем тонкостям сходимости (обычно не затрагиваемым при формальном квантовании деформации). Поскольку алгебра функций в пространстве определяет геометрию этого пространства, изучение звездного произведения приводит к изучению некоммутативная геометрия деформация этого пространства.

В контексте приведенного выше примера с плоским фазовым пространством звездное произведение (Мойял продукт, фактически представленный Groenewold в 1946 году), ★_час, пары функций в ж₁, ж₂ ∈ C^∞(ℜ²), определяется

${displaystyle Phi [f_{1}star f_{2}]=Phi [f_{1}]Phi [f_{2}].,}$

Звездное произведение, вообще говоря, не коммутативно, а переходит в обычное коммутативное произведение функций в пределе час → 0. Таким образом, говорят, что он определяет деформация коммутативной алгебры C^∞(ℜ²).

Для приведенного выше примера карты Вейля ★-продукт может быть написан в терминах Скобка Пуассона в качестве

${displaystyle f_{1}star f_{2}=sum _{n=0}^{infty }{frac {1}{n!}}left({frac {ihbar }{2}}ight)^{n}Pi ^{n}(f_{1},f_{2}).}$

Здесь Π - Бивектор Пуассона, оператор, определенный таким образом, что его мощности равны

${displaystyle Pi ^{0}(f_{1},f_{2})=f_{1}f_{2}}$

и

${displaystyle Pi ^{1}(f_{1},f_{2})={f_{1},f_{2}}={frac {partial f_{1}}{partial q}}{frac {partial f_{2}}{partial p}}-{frac {partial f_{1}}{partial p}}{frac {partial f_{2}}{partial q}}~,}$

куда {ж₁, ж₂} это Скобка Пуассона. В более общем смысле,

${displaystyle Pi ^{n}(f_{1},f_{2})=sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n choose k}left({frac {partial ^{k}}{partial p^{k}}}{frac {partial ^{n-k}}{partial q^{n-k}}}f_{1}ight) imes left({frac {partial ^{n-k}}{partial p^{n-k}}}{frac {partial ^{k}}{partial q^{k}}}f_{2}ight)}$

куда ${displaystyle {n choose k}}$ это биномиальный коэффициент.

Так, например,^[8] Гауссианцы составляют гиперболически,

${displaystyle exp left(-{a}(q^{2}+p^{2})ight)~star ~exp left(-{b}(q^{2}+p^{2})ight)={1 over 1+hbar ^{2}ab}exp left(-{a+b over 1+hbar ^{2}ab}(q^{2}+p^{2})ight),}$

или же

${displaystyle delta (q)~star ~delta (p)={2 over h}exp left(2i{qp over hbar }ight),}$

Эти формулы основаны на координатах, в которых Бивектор Пуассона постоянна (плоские скобки Пуассона). Для общей формулы на произвольных Пуассоновы многообразия, ср. то Формула квантования Концевича.

Антисимметризация этого ★-продукт дает Кронштейн Мойял, собственная квантовая деформация Скобка Пуассона, и изоморф фазового пространства (преобразование Вигнера) квантовой коммутатор в более обычной формулировке квантовой механики в гильбертовом пространстве. Таким образом, он является краеугольным камнем динамических уравнений наблюдаемых в этой формулировке фазового пространства.

Получается полный формулировка фазового пространства квантовой механики, полностью эквивалентно представлению оператора в гильбертовом пространстве, с умножениями звезды, изоморфно распараллеливающими операторные умножения.^[8]

Значения ожидания при квантовании в фазовом пространстве получаются изоморфно отслеживанию наблюдаемых операторов Φ с матрицей плотности в гильбертовом пространстве: они получаются интегралами по фазовому пространству наблюдаемых, таких как приведенный выше ж с Квази-вероятностное распределение Вигнера эффективно служащая мерой.

Таким образом, выражая квантовую механику в фазовом пространстве (та же область, что и для классической механики), указанное выше отображение Вейля облегчает признание квантовой механики как деформация (обобщение, ср. принцип соответствия ) классической механики с параметром деформации час/S. (Другие известные деформации в физике включают деформацию классической ньютоновской механики в релятивистскую механику с параметром деформации v / c; или деформация ньютоновской гравитации в общую теорию относительности с параметром деформации радиус Шварцшильда / характеристический размер. Наоборот, групповое сокращение приводит к недеформированным теориям исчезающего параметра -классические пределы.)

Классические выражения, наблюдаемые и операции (например, скобки Пуассона) модифицируются час-зависимые квантовые поправки, поскольку обычное коммутативное умножение, применяемое в классической механике, обобщается на некоммутативное звездное умножение характеризует квантовую механику и лежит в основе ее принципа неопределенности.

Несмотря на свое название, квантование деформации не является успешным схема квантования, а именно метод создания квантовой теории из классической. Это просто изменение представления от гильбертова пространства к фазовому пространству.

Основная статья: Формулировка фазового пространства

Обобщения

В более общем плане квантование Вейля изучается в случаях, когда фазовое пространство является симплектическое многообразие, или, возможно, Пуассоново многообразие. Связанные структуры включают Группы Пуассона – Ли и Алгебры Каца – Муди.

Смотрите также

Каноническое коммутационное отношение Группа Гейзенберга Кронштейн Мойял Алгебра Вейля Функтор Псевдодифференциальный оператор

Квази-вероятностное распределение Вигнера Теорема Стоуна – фон Неймана Формулировка фазового пространства квантовой механики Формула квантования Концевича Преобразование Габора – Вигнера Представление осциллятора

Рекомендации

1. Вейль, Х. (1927). "Quantenmechanik und Gruppentheorie". Zeitschrift für Physik. 46 (1–2): 1–46. Bibcode:1927ZPhy ... 46 .... 1Вт. Дои:10.1007 / BF02055756. S2CID  121036548.
2. Groenewold, H. J. (1946). «О принципах элементарной квантовой механики». Physica. 12 (7): 405–446. Bibcode:1946Phy .... 12..405G. Дои:10.1016 / S0031-8914 (46) 80059-4.
3. Moyal, J.E .; Бартлетт, М. С. (1949). «Квантовая механика как статистическая теория». Математические труды Кембриджского философского общества. 45 (1): 99–124. Bibcode:1949PCPS ... 45 ... 99M. Дои:10.1017 / S0305004100000487.
4. Curtright, T. L .; Захос, К. К. (2012). «Квантовая механика в фазовом пространстве». Информационный бюллетень по физике Азиатско-Тихоокеанского региона. 1: 37–46. arXiv:1104.5269. Дои:10.1142 / S2251158X12000069. S2CID  119230734.
5. Зал 2013 Раздел 13.3
6. Зал 2013 Определение 13.7.
7. Кубо Р. (1964). "Вигнеровское представление квантовых операторов и его приложения к электронам в магнитном поле". Журнал Физического общества Японии. 19 (11): 2127–2139. Bibcode:1964JPSJ ... 19,2127K. Дои:10.1143 / JPSJ.19.2127.
8. Curtright, T. L .; Fairlie, D. B .; Захос, К. К. (2014). Краткий трактат по квантовой механике в фазовом пространстве. Всемирный научный. ISBN  9789814520430.
9. Зал 2013 Предложение 13.3.
10. Маккой, Нил (1932). «О функции в квантовой механике, которая соответствует заданной функции в классической механике», Proc Nat Acad Sci USA 19 674, онлайн .
11. Зал 2013 Предложение 13.11.

• Холл, Брайан К. (2013), Квантовая теория для математиков, Тексты для выпускников по математике, 267, Спрингер, ISBN  978-1461471158

дальнейшее чтение

• Дело, Уильям Б. (октябрь 2008 г.). «Функции Вигнера и преобразования Вейля для пешеходов». Американский журнал физики. 76 (10): 937–946. Bibcode:2008AmJPh..76..937C. Дои:10.1119/1.2957889. (В разделах с I по IV этой статьи дается обзор Преобразование Вигнера – Вейля, то Распределение квазивероятностей Вигнера, то формулировка фазового пространства квантовой механики и на примере квантовый гармонический осциллятор.)
• «Квантование Вейля», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]