Центратор и нормализатор - Centralizer and normalizer

В математика, особенно теория групп, то централизатор (также называется коммутант^[1]^[2]) из подмножество S из группа г это набор элементов г это ездить с каждым элементом S, а нормализатор из S это набор элементов, удовлетворяющих более слабому условию. Централизатор и нормализатор S находятся подгруппы из г, и может дать представление о структуре г.

Определения также применимы к моноиды и полугруппы.

В теория колец, то централизатор подмножества кольцо определяется относительно операции полугруппы (умножения) кольца. Централизатор подмножества кольца р это подкольцо из р. В этой статье также рассматриваются централизаторы и нормализаторы в Алгебра Ли.

В идеализатор в полугруппе или кольце есть другая конструкция, которая находится в том же духе, что и централизатор и нормализатор.

Определения

Группа и полугруппа

В централизатор подмножества S группы (или полугруппы) г определяется как^[3]

{ displaystyle mathrm {C} _ {G} (S) = {g in G mid gs = sg { text {для всех}} s in S }.}

Если в отношении рассматриваемой группы нет двусмысленности, г можно исключить из обозначений. Когда S = {а} это одиночка set, пишем C_г(а) вместо C_г({а}). Другое менее распространенное обозначение централизатора - Z (а), что соответствует обозначениям для центр. Используя это последнее обозначение, нужно быть осторожным, чтобы избежать путаницы между центр группы г, Z (г), а централизатор из элемент г в г, Z (г).

В нормализатор из S в группе (или полугруппе) г определяется как

{ Displaystyle mathrm {N} _ {G} (S) = {g in G mid gS = Sg }.}

Определения похожи, но не идентичны. Если г находится в централизаторе S и s в S, тогда должно быть так GS = sg, но если г находится в нормализаторе, то GS = тг для некоторых т в S, с участием т возможно отличается от s. То есть элементы централизатора S должен поточечно коммутировать с S, но элементы нормализатора S нужно только добираться с S как набор. Те же обозначения, упомянутые выше для централизаторов, применимы и к нормализаторам. Нормализатор не следует путать с нормальное закрытие.

Кольцо, алгебра над полем, кольцо Ли и алгебра Ли

Если р кольцо или алгебра над полем, и S это подмножество р, то централизатор S точно так же, как определено для групп, с р в месте г.

Если ${ displaystyle { mathfrak {L}}}$ это Алгебра Ли (или Кольцо лжи ) с произведением Ли [Икс,y], то централизатор подмножества S из ${ displaystyle { mathfrak {L}}}$ определяется как^[4]

{ displaystyle mathrm {C} _ { mathfrak {L}} (S) = {x in { mathfrak {L}} mid [x, s] = 0 { text {для всех}} s in S }.}

Определение централизаторов колец Ли связано с определением колец следующим образом. Если р ассоциативное кольцо, то р можно дать кронштейн продукта [Икс,y] = ху − yx. Конечно тогда ху = yx если и только если [Икс,y] = 0. Если обозначить множество р с продуктом кронштейна как L_р, то ясно кольцевой центратор из S в р равно Центратор кольца Ли из S в L_р.

Нормализатор подмножества S алгебры Ли (или кольца Ли) ${ displaystyle { mathfrak {L}}}$ дан кем-то^[4]

{ displaystyle mathrm {N} _ { mathfrak {L}} (S) = {x in { mathfrak {L}} mid [x, s] in S { text {для всех}} s in S }.}

Хотя это стандартное использование термина «нормализатор» в алгебре Ли, эта конструкция на самом деле является идеализатор из набора S в ${ displaystyle { mathfrak {L}}}$ . Если S аддитивная подгруппа ${ displaystyle { mathfrak {L}}}$ , тогда ${ Displaystyle mathrm {N} _ { mathfrak {L}} (S)}$ - наибольшее подкольцо Ли (или подалгебра Ли, в зависимости от случая), в котором S является ложью идеальный.^[5]

Свойства

Полугруппы

Позволять ${ displaystyle S '}$ обозначим централизатор ${ displaystyle S}$ в полугруппе ${ displaystyle A}$ , т.е. ${ displaystyle S '= {x in A mid sx = xs { mbox {for}} { mbox {every}} s in S }.}$ потом ${ displaystyle S '}$ образует подполугруппа и ${ Displaystyle S '= S' '' = S '' '' '}$ , т.е. коммутант - это собственный бикоммутант.

Группы

Источник:^[6]

Централизатор и нормализатор S обе подгруппы г.
Ясно, C_г(S) ⊆ N_г(S). По факту, C_г(S) всегда нормальная подгруппа из N_г(S).
C_г(C_г(S)) содержит S, но C_г(S) не обязательно содержать S. Сдерживание происходит именно тогда, когда S абелева.
Если ЧАС является подгруппой г, тогда N_г(ЧАС) содержит ЧАС.
Если ЧАС является подгруппой г, то наибольшая подгруппа г в котором ЧАС нормально это подгруппа N_г(ЧАС).
Если S это подмножество г так что все элементы S коммутируют друг с другом, то самая большая подгруппа группы г чей центр содержит S это подгруппа C_г(S).
Подгруппа ЧАС группы г называется саморегулирующаяся подгруппа из г если N_г(ЧАС) = ЧАС.
Центр г точно C_г(G) и г является абелева группа если и только если C_г(G) = Z (г) = г.
Для одноэлементных наборов C_г(а) = N_г(а).
По симметрии, если S и Т два подмножества г, Т ⊆ C_г(S) если и только если S ⊆ C_г(Т).
Для подгруппы ЧАС группы г, то Теорема N / C заявляет, что факторная группа N_г(ЧАС)/C_г(ЧАС) является изоморфный в подгруппу Aut (ЧАС), группа автоморфизмы из ЧАС. поскольку N_г(г) = г и C_г(г) = Z (г), из теоремы N / C также следует, что г/ Z (г) изоморфна Inn (г), подгруппа Aut (г) состоящий из всех внутренние автоморфизмы из г.
Если мы определим групповой гомоморфизм Т : г → Гостиница (г) от Т(Икс)(г) = Т_Икс(г) = xgx⁻¹, то можно описать N_г(S) и C_г(S) с точки зрения групповое действие гостиницы (г) на г: стабилизатор S в гостинице (г) является Т(N_г(S)), а подгруппа в Inn (г) фиксация S точечно Т(C_г(S)).
Подгруппа ЧАС группы г как говорят C-закрытый или самобикоммутант если ЧАС = C_г(S) для некоторого подмножества S ⊆ г. Если так, то на самом деле ЧАС = C_г(C_г(ЧАС)).

Кольца и алгебры над полем

Источник:^[4]

Централизаторы в кольцах и алгебрах над полем - это подкольца и подалгебры над полем соответственно; централизаторы в кольцах Ли и алгебрах Ли - это подкольца и подалгебры Ли соответственно.
Нормализатор S в кольце Ли содержит централизатор S.
C_р(C_р(S)) содержит S но не обязательно равно. В теорема о двойном централизаторе имеет дело с ситуациями, когда происходит равенство.
Если S аддитивная подгруппа кольца Ли А, тогда N_А(S) - наибольшее подкольцо Ли в А в котором S является идеалом Ли.
Если S подкольцо Ли кольца Ли А, тогда S ⊆ N_А(S).

Смотрите также

Заметки

^ Кевин О'Мира; Джон Кларк; Чарльз Винсонхалер (2011). Продвинутые темы линейной алгебры: плетение матричных задач через форму Вейра. Oxford University Press. п. 65. ISBN 978-0-19-979373-0.
^ Карл Генрих Хофманн; Сидни А. Моррис (2007). Теория Ли связных про-лиевских групп: теория структуры про-лиевских алгебр, пролиевых групп и связных локально компактных групп. Европейское математическое общество. п. 30. ISBN 978-3-03719-032-6.
^ Якобсон (2009), стр. 41 год
^ ^а ^б ^c Якобсон 1979, стр.28.
^ Якобсон 1979, стр.57.
^ Айзекс 2009, Главы 1–3.

использованная литература

Айзекс, И. Мартин (2009), Алгебра: аспирантура, Аспирантура по математике, 100 (перепечатка оригинального издания 1994 г.), Providence, RI: Американское математическое общество, Дои:10,1090 / г / м2 / 100, ISBN 978-0-8218-4799-2, Г-Н 2472787
Джейкобсон, Натан (2009), Основы алгебры, 1 (2-е изд.), Dover Publications, ISBN 978-0-486-47189-1
Джейкобсон, Натан (1979), Алгебры Ли (переиздание оригинального издания 1962 г.), Dover Publications, ISBN 0-486-63832-4, Г-Н 0559927

[O'MearaClark2011-1] Кевин О'Мира; Джон Кларк; Чарльз Винсонхалер (2011). Продвинутые темы линейной алгебры: плетение матричных задач через форму Вейра. Oxford University Press. п. 65. ISBN 978-0-19-979373-0.

[HofmannMorris2007-2] Карл Генрих Хофманн; Сидни А. Моррис (2007). Теория Ли связных про-лиевских групп: теория структуры про-лиевских алгебр, пролиевых групп и связных локально компактных групп. Европейское математическое общество. п. 30. ISBN 978-3-03719-032-6.

[3] Якобсон (2009), стр. 41 год

[FOOTNOTEJacobson1979p.28-4] а ^б ^c Якобсон 1979, стр.28.

[FOOTNOTEJacobson1979p.57-5] Якобсон 1979, стр.57.

[FOOTNOTEIsaacs2009Chapters_1−3-6] Айзекс 2009, Главы 1–3.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]