Идеал (теория колец) - Ideal (ring theory)

«Идеальный продукт» перенаправляется сюда. Для продуктов с названием "Ideal" см. Идеал (значения).

В теория колец, филиал абстрактная алгебра, идеальный это особенный подмножество из звенеть. Идеалы обобщают определенные подмножества целые числа, такой как четные числа или кратные 3. Сложение и вычитание четных чисел сохраняет четность, а умножение четного числа на любое другое целое число приводит к другому четному числу; эти закрытие и абсорбционные свойства - определяющие свойства идеала. Идеал можно использовать для построения кольцо частного аналогично тому, как в теория групп, а нормальная подгруппа можно использовать для построения факторгруппа.

Среди целых чисел идеалы взаимно однозначно соответствуют неотрицательные целые числа: в этом кольце каждый идеал является главный идеал состоящий из кратных единственного неотрицательного числа. Однако в других кольцах идеалы могут отличаться от элементов кольца, и некоторые свойства целых чисел при обобщении на кольца более естественно связаны с идеалами, чем с элементами кольца. Например, главные идеалы кольца аналогичны простые числа, а Китайская теорема об остатках можно обобщить до идеалов. Есть версия уникальное разложение на простые множители за идеалы Дедекиндский домен (тип кольца важен в теория чисел ).

Родственная, но отличная концепция идеальный в теория порядка выводится из понятия идеала в теории колец. А дробный идеал является обобщением идеала, и обычные идеалы иногда называют интегральные идеалы для ясности.

История

Идеалы были впервые предложены Ричард Дедекинд в 1876 г. в третьем издании его книги Vorlesungen über Zahlentheorie (Английский: Лекции по теории чисел). Они были обобщением концепции идеальные числа разработан Эрнст Куммер.^[1][2] Позже концепция была расширена за счет Дэвид Гильберт и особенно Эмми Нётер.

Определения и мотивация

Для произвольного кольца ${displaystyle (R,+,cdot )}$, позволять ${displaystyle (R,+)}$ быть его аддитивная группа. Подмножество ${displaystyle I}$ называется левый идеал из ${displaystyle R}$ если это аддитивная подгруппа ${displaystyle R}$ который "поглощает умножение слева на элементы ${displaystyle R}$"; то есть, ${displaystyle I}$ это левый идеал если он удовлетворяет следующим двум условиям:

1. ${displaystyle (I,+)}$ это подгруппа из ${displaystyle (R,+),}$
2. Для каждого ${displaystyle rin R}$ и каждый ${displaystyle xin I}$, продукт ${displaystyle rx}$ в ${displaystyle I}$.

А правильный идеал определяется условием "r x ∈ я" заменен на "х г ∈ я". А двусторонний идеал является левым идеалом, который также является правым идеалом, и иногда его просто называют идеалом. Мы можем рассматривать левый (соответственно правый, двусторонний) идеал р как левый (соотв. правый, би-) р-подмодуль из р рассматривается как р-модуль. Когда р - коммутативное кольцо, определения левого, правого и двустороннего идеала совпадают, а член идеальный используется отдельно.

Чтобы понять концепцию идеала, рассмотрим, как идеалы возникают при построении колец «элементов по модулю». Для конкретности посмотрим на кольцо ℤ_п целых чисел по модулю данного целого числа п ∈ ℤ (заметим, что ℤ - коммутативное кольцо). Ключевое наблюдение здесь состоит в том, что мы получаем ℤ_п взяв целую строку ℤ и обернув ее вокруг себя, чтобы идентифицировать различные целые числа. При этом мы должны удовлетворить два требования: 1) п должен быть отождествлен с 0, поскольку п сравнимо с 0 по модулю пи 2) получившаяся структура снова должна быть кольцом. Второе требование заставляет нас проводить дополнительные идентификации (т.е. оно определяет точный способ, которым мы должны обернуть ℤ вокруг себя). Понятие идеала возникает, когда мы задаем вопрос:

Какой точный набор целых чисел мы вынуждены отождествлять с 0?

Ответ, что неудивительно, набор пℤ = {нм | м∈ℤ} всех целых чисел, сравнимых с 0 по модулю п. То есть мы должны обернуть many вокруг себя бесконечно много раз, чтобы целые числа ..., п ⋅ -2, п ⋅ -1, п ⋅ +1, п ⋅ +2, ... все выровняются с 0. Если мы посмотрим, каким свойствам этот набор должен удовлетворять, чтобы гарантировать, что ℤ_п кольцо, то мы приходим к определению идеала. В самом деле, можно непосредственно проверить, что пℤ - идеал ℤ.

Замечание. Также необходимо выполнить идентификацию с элементами, отличными от 0. Например, элементы в 1 + пℤ должен быть отождествлен с 1, элементы в 2 + пℤ должен обозначаться цифрой 2 и так далее. Однако они однозначно определяются пℤ поскольку ℤ аддитивная группа.

Аналогичную конструкцию можно провести в любом коммутативном кольце р: начать с произвольного Икс ∈ р, а затем отождествить с 0 все элементы идеала xR = { х г : р ∈ р }. Получается, что идеал xR это наименьший идеал, содержащий Икс, названный идеальным генерируется к Икс. В более общем плане мы можем начать с произвольного подмножества S ⊆ р, а затем отождествить с 0 все элементы в идеале, порожденном S: наименьший идеал (S) такие, что S ⊆ (S). Кольцо, которое мы получаем после отождествления, зависит только от идеала (S) а не на съемочной площадке S с чего мы начали. То есть, если (S) = (Т), то получившиеся кольца будут такими же.

Следовательно, идеальный я коммутативного кольца р канонически фиксирует информацию, необходимую для получения кольца элементов р по модулю данного подмножества S ⊆ р. Элементы япо определению - это те, которые конгруэнтны нулю, то есть отождествлены с нулем в полученном кольце. Полученное кольцо называется частное из р к я и обозначается R / I. Интуитивно определение идеального постулирует два естественных условия, необходимых для я содержать все элементы, обозначенные как "нули" R / I:

1. я является аддитивной подгруппой в р: ноль 0 р является «нулем» 0 ∈ я, и если Икс₁ ∈ я и Икс₂ ∈ я "нули", то Икс₁ - Икс₂ ∈ я тоже "ноль".
2. Любой р ∈ р умноженный на «ноль» Икс ∈ я это "ноль" rx ∈ я.

Оказывается, перечисленных выше условий достаточно и для я содержать все необходимые «нули»: никакие другие элементы не должны быть обозначены как «ноль», чтобы сформировать R / I. (Фактически, никакие другие элементы не должны быть обозначены как "ноль", если мы хотим сделать наименьшее количество идентификаций.)

Замечание. Если р не обязательно коммутативна, приведенная выше конструкция все еще работает с использованием двусторонних идеалов.

Примеры и свойства

Для краткости некоторые результаты сформулированы только для левых идеалов, но обычно также верны и для правых идеалов с соответствующими изменениями обозначений.

• В кольце р, набор р сам по себе образует двусторонний идеал р называется единица идеальная. Часто его также обозначают ${displaystyle (1)}$ поскольку это в точности двусторонний идеал, порожденный (см. ниже) единицей ${displaystyle 1_{R}}$. Также набор ${displaystyle {0_{R}}}$ состоящий только из аддитивного тождества 0_р образует двусторонний идеал, называемый нулевой идеал и обозначается ${displaystyle (0)}$.^{[примечание 1]} Каждый идеал (левый, правый или двусторонний) содержит нулевой идеал и содержится в единичном идеале.
• Идеал (левый, правый или двусторонний), который не является единичным идеалом, называется правильный идеал (поскольку это правильное подмножество ).^[3] Примечание: левый идеал ${displaystyle {mathfrak {a}}}$ является правильным тогда и только тогда, когда он не содержит единичного элемента, так как если ${displaystyle uin {mathfrak {a}}}$ является единичным элементом, то ${displaystyle r=(ru^{-1})uin {mathfrak {a}}}$ для каждого ${displaystyle rin R}$. Обычно правильных идеалов предостаточно. Фактически, если р это тело, тогда ${displaystyle (0),(1)}$ являются его единственными идеалами и наоборот: ненулевое кольцо р является телом, если ${displaystyle (0),(1)}$ единственные левые (или правые) идеалы. (Доказательство: если ${displaystyle x}$ - ненулевой элемент, то главный левый идеал ${displaystyle Rx}$ (см. ниже) отличен от нуля и, следовательно, ${displaystyle Rx=(1)}$; т.е. ${displaystyle yx=1}$ для некоторого ненулевого ${displaystyle y}$. Так же, ${displaystyle zy=1}$ для некоторого ненулевого ${displaystyle z}$. потом ${displaystyle z=z(yx)=(zy)x=x}$.)
• Даже целые числа сформировать идеал на ринге ${displaystyle mathbb {Z} }$ всех целых чисел; обычно обозначается ${displaystyle 2mathbb {Z} }$. Это связано с тем, что сумма любых четных целых чисел четна, и произведение любого целого числа на четное число также является четным. Аналогично, множество всех целых чисел, делящихся на фиксированное целое число п идеал, обозначенный ${displaystyle nmathbb {Z} }$.
• Набор всех многочлены с действительными коэффициентами, делящимися на многочлен Икс² + 1 - идеал в кольце всех многочленов.
• Набор всех п-к-п матрицы последняя строка которого равна нулю, образует правый идеал в кольце всех п-к-п матрицы. Это не левый идеал. Набор всех п-к-п матрицы, последние столбец равен нулю, образует левый идеал, но не правый.
• Кольцо ${displaystyle C(mathbb {R} )}$ из всех непрерывные функции ж из ${displaystyle mathbb {R} }$ к ${displaystyle mathbb {R} }$ под поточечное умножение содержит идеал всех непрерывных функций ж такой, что ж(1) = 0. Другой идеал в ${displaystyle C(mathbb {R} )}$ задается теми функциями, которые обращаются в нуль при достаточно больших аргументах, т.е. непрерывными функциями ж для которого существует номер L > 0 такой, что ж(Икс) = 0 всякий раз, когда |Икс| > L.
• Кольцо называется простое кольцо если он ненулевой и не имеет двусторонних идеалов, кроме ${displaystyle (0),(1)}$. Таким образом, тело является простым, а простое коммутативное кольцо - это поле. В матричное кольцо над телом - простое кольцо.
• Если ${displaystyle f:R o S}$ это кольцевой гомоморфизм, то ядро ${displaystyle ker(f)=f^{-1}(0_{S})}$ это двусторонний идеал ${displaystyle R}$. По определению, ${displaystyle f(1_{R})=1_{S}}$, а значит, если ${displaystyle S}$ не нулевое кольцо (так что ${displaystyle 1_{S}eq 0_{S}}$), тогда ${displaystyle ker(f)}$ это настоящий идеал. В общем, для каждого левого идеала я из S, прообраз ${displaystyle f^{-1}(I)}$ левый идеал. Если я левый идеал р, тогда ${displaystyle f(I)}$ левый идеал подкольца ${displaystyle f(R)}$ из S: пока не ж сюръективно, ${displaystyle f(I)}$ не обязательно быть идеалом S; смотрите также # Расширение и сжатие идеала ниже.
• Идеальное соответствие: Дан сюръективный кольцевой гомоморфизм ${displaystyle f:R o S}$, существует биективное соответствие, сохраняющее порядок между левыми (соответственно правыми, двусторонними) идеалами ${displaystyle R}$ содержащий ядро ${displaystyle f}$ и левые (соответственно правые, двусторонние) идеалы ${displaystyle S}$: соответствие дается ${displaystyle Imapsto f(I)}$ и прообраз ${displaystyle Jmapsto f^{-1}(J)}$. Более того, для коммутативных колец это биективное соответствие ограничивается первичными идеалами, максимальными идеалами и радикальными идеалами (см. Типы идеалов раздел для определения этих идеалов).
• (Для знающих модули) Если M левый р-модуль и ${displaystyle Ssubset M}$ подмножество, затем аннигилятор ${displaystyle operatorname {Ann} _{R}(S)={rin Rmid rs=0,sin S}}$ из S левый идеал. Учитывая идеалы ${displaystyle {mathfrak {a}},{mathfrak {b}}}$ коммутативного кольца р, то р-аннигилятор ${displaystyle ({mathfrak {b}}+{mathfrak {a}})/{mathfrak {a}}}$ это идеал р называется идеальное частное из ${displaystyle {mathfrak {a}}}$ к ${displaystyle {mathfrak {b}}}$ и обозначается ${displaystyle ({mathfrak {a}}:{mathfrak {b}})}$; это пример идеализатор в коммутативной алгебре.
• Позволять ${displaystyle {mathfrak {a}}_{i},iin S}$ быть восходящая цепочка левых идеалов в кольце р; т.е. ${displaystyle S}$ является полностью упорядоченным множеством и ${displaystyle {mathfrak {a}}_{i}subset {mathfrak {a}}_{j}}$ для каждого ${displaystyle i<j}$. Тогда союз ${displaystyle igcup _{iin S}{mathfrak {a}}_{i}}$ левый идеал р. (Примечание: этот факт остается верным, даже если р без единицы 1.)
• Указанный факт вместе с Лемма Цорна доказывает следующее: если ${displaystyle Esubset R}$ возможно пустое подмножество и ${displaystyle {mathfrak {a}}_{0}subset R}$ левый идеал, не пересекающийся с E, то среди идеалов, содержащих ${displaystyle {mathfrak {a}}_{0}}$ и не пересекаются с E. (Опять же, это все еще действительно, если кольцо р не хватает единства 1.) Когда ${displaystyle Req 0}$, принимая ${displaystyle {mathfrak {a}}_{0}=(0)}$ и ${displaystyle E={1}}$, в частности, существует левый идеал, максимальный среди собственных левых идеалов (часто называемый просто максимальным левым идеалом); видеть Теорема Крулля для большего.
• Произвольное объединение идеалов не обязательно должно быть идеалом, но по-прежнему верно следующее: с учетом возможно пустого подмножества Икс из р, существует наименьший левый идеал, содержащий Икс, называемый левым идеалом, порожденным Икс и обозначается ${displaystyle RX}$. Такой идеал существует, поскольку он является пересечением всех левых идеалов, содержащих Икс. Эквивалентно, ${displaystyle RX}$ это набор всех (конечный) левый р-линейные комбинации элементов Икс над р:

  ${displaystyle RX={r_{1}x_{1}+dots +r_{n}x_{n}mid nin mathbb {N} ,r_{i}in R,x_{i}in X}.}$

(поскольку такой промежуток - наименьший левый идеал, содержащий Икс.)^[4] Правый (соответственно двусторонний) идеал, порожденный Икс определяется аналогично. Для «двусторонности» необходимо использовать линейные комбинации с обеих сторон; т.е.

${displaystyle RXR={r_{1}x_{1}s_{1}+dots +r_{n}x_{n}s_{n}mid nin mathbb {N} ,r_{i}in R,s_{i}in R,x_{i}in X}.,}$

• Левый (соответственно правый, двусторонний) идеал, порожденный одним элементом Икс называется главным левым (соответственно правым, двусторонним) идеалом, порожденным Икс и обозначается ${displaystyle Rx}$ (соотв. ${displaystyle xR,RxR}$). Главный двусторонний идеал ${displaystyle RxR}$ часто также обозначается ${displaystyle (x)}$. Если ${displaystyle X={x_{1},dots ,x_{n}}}$ конечное множество, то ${displaystyle RXR}$ также записывается как ${displaystyle (x_{1},dots ,x_{n})}$.
• На ринге ${displaystyle mathbb {Z} }$ целых чисел, любой идеал может быть порожден одним числом (так ${displaystyle mathbb {Z} }$ это главная идеальная область ), как следствие Евклидово деление (или другим способом).
• Между идеалами и идеалами существует взаимно однозначное соответствие. отношения конгруэнтности (отношения эквивалентности, уважающие структуру кольца) на кольце: задан идеал я кольца р, позволять Икс ~ у если Икс − у ∈ я. Тогда ~ - отношение конгруэнтности на р. Наоборот, учитывая отношение конгруэнтности ~ на р, позволять я = {Икс : Икс ~ 0}. потом я это идеал р.

Типы идеалов

Для упрощения описания предполагается, что все кольца коммутативны. Некоммутативный случай подробно рассматривается в соответствующих статьях.

Идеалы важны, потому что они появляются как ядра гомоморфизмов колец и позволяют определять факторные кольца. Изучаются различные типы идеалов, поскольку с их помощью можно построить различные типы факторных колец.

• Максимальный идеал: Настоящий идеал я называется максимальный идеал если не существует другого собственного идеала J с я собственное подмножество J. Фактор-кольцо максимального идеала - это простое кольцо в целом и является поле для коммутативных колец.^[5]
• Минимальный идеал: Ненулевой идеал называется минимальным, если он не содержит другого ненулевого идеала.
• Главный идеал: Настоящий идеал я называется главный идеал если для любого а и б в р, если ab в я, то хотя бы один из а и б в я. Фактор-кольцо простого идеала - это первичное кольцо в целом и является область целостности для коммутативных колец.
• Радикальный идеал или же полупервичный идеал: Настоящий идеал я называется радикальный или же полупервичный если для любого а в р, если а^п в я для некоторых п, тогда а в я. Фактор-кольцо радикального идеала - это полупервичное кольцо для общих колец и является уменьшенное кольцо для коммутативных колец.
• Первичный идеал: Идеальный я называется первичный идеал если для всех а и б в р, если ab в я, то хотя бы один из а и б^п в я для некоторых натуральное число п. Каждый первичный идеал первичен, но не наоборот. Полупервичный примарный идеал первичен.
• Главный идеал: Идеал, созданный один элемент.
• Конечно порожденный идеал: Этот тип идеала конечно порожденный как модуль.
• Первобытный идеал: Левый примитивный идеал - это аннигилятор из просто оставили модуль.
• Неприводимый идеал: Идеал называется неприводимым, если он не может быть записан как пересечение идеалов, которые должным образом его содержат.
• Комаксимальные идеалы: Два идеала ${displaystyle {mathfrak {i}},{mathfrak {j}}}$ как говорят comaximal если ${displaystyle x+y=1}$ для некоторых ${displaystyle xin {mathfrak {i}}}$ и ${displaystyle yin {mathfrak {j}}}$.
• Обычный идеал: У этого термина есть несколько значений. См. Статью для списка.
• Нет идеал: Идеал называется ниль-идеалом, если каждый из его элементов нильпотентен.
• Нильпотентный идеал: Некоторая его мощность равна нулю.
• Параметр идеальный: идеал, порожденный система параметров.

Два других важных термина, использующих слово «идеал», не всегда являются идеалами их круга. Подробности смотрите в соответствующих статьях:

• Дробный идеал: Обычно это определяется, когда р коммутативная область с поле частного K. Несмотря на их названия, фракционные идеалы р подмодули K со специальным свойством. Если дробный идеал целиком содержится в р, то это действительно идеал р.
• Обратимый идеал: Обычно обратимый идеал А определяется как дробный идеал, для которого существует другой дробный идеал B такой, что AB=BA=р. Некоторые авторы могут также применять «обратимый идеал» к обычным кольцевым идеалам. А и B с AB=BA=р в кольцах кроме доменов.

Идеальные операции

Сумма и произведение идеалов определяются следующим образом. За ${displaystyle {mathfrak {a}}}$ и ${displaystyle {mathfrak {b}}}$, левые (соответственно правые) идеалы кольца р, их сумма

${displaystyle {mathfrak {a}}+{mathfrak {b}}:={a+bmid ain {mathfrak {a}}{mbox{ and }}bin {mathfrak {b}}}}$,

который является левым (соответственно правым) идеалом, и, если ${displaystyle {mathfrak {a}},{mathfrak {b}}}$ двусторонние,

${displaystyle {mathfrak {a}}{mathfrak {b}}:={a_{1}b_{1}+dots +a_{n}b_{n}mid a_{i}in {mathfrak {a}}{mbox{ and }}b_{i}in {mathfrak {b}},i=1,2,dots ,n;{mbox{ for }}n=1,2,dots },}$

т.е. продукт - это идеал, порожденный всеми продуктами вида ab с а в ${displaystyle {mathfrak {a}}}$ и б в ${displaystyle {mathfrak {b}}}$.

Примечание ${displaystyle {mathfrak {a}}+{mathfrak {b}}}$ наименьший левый (соответственно правый) идеал, содержащий оба ${displaystyle {mathfrak {a}}}$ и ${displaystyle {mathfrak {b}}}$ (или союз ${displaystyle {mathfrak {a}}cup {mathfrak {b}}}$), а продукт ${displaystyle {mathfrak {a}}{mathfrak {b}}}$ содержится в пересечении ${displaystyle {mathfrak {a}}}$ и ${displaystyle {mathfrak {b}}}$.

Закон распределения справедлив для двусторонних идеалов ${displaystyle {mathfrak {a}},{mathfrak {b}},{mathfrak {c}}}$,

• ${displaystyle {mathfrak {a}}({mathfrak {b}}+{mathfrak {c}})={mathfrak {a}}{mathfrak {b}}+{mathfrak {a}}{mathfrak {c}}}$,
• ${displaystyle ({mathfrak {a}}+{mathfrak {b}}){mathfrak {c}}={mathfrak {a}}{mathfrak {c}}+{mathfrak {b}}{mathfrak {c}}}$.

Если продукт заменяется перекрестком, выполняется частичный закон распределения:

${displaystyle {mathfrak {a}}cap ({mathfrak {b}}+{mathfrak {c}})supset {mathfrak {a}}cap {mathfrak {b}}+{mathfrak {a}}cap {mathfrak {c}}}$

где равенство выполняется, если ${displaystyle {mathfrak {a}}}$ содержит ${displaystyle {mathfrak {b}}}$ или же ${displaystyle {mathfrak {c}}}$.

Замечание: Сумма и пересечение идеалов снова идеал; с этими двумя операциями как объединение и встреча, множество всех идеалов данного кольца образует полный модульная решетка. Решетка, вообще говоря, не распределительная решетка. Три операции пересечения, суммы (или соединения) и произведения превращают набор идеалов коммутативного кольца в квант.

Если ${displaystyle {mathfrak {a}},{mathfrak {b}}}$ идеалы коммутативного кольца р, тогда ${displaystyle {mathfrak {a}}cap {mathfrak {b}}={mathfrak {a}}{mathfrak {b}}}$ в следующих двух случаях (как минимум)

• ${displaystyle {mathfrak {a}}+{mathfrak {b}}=(1)}$
• ${displaystyle {mathfrak {a}}}$ порождается элементами, образующими регулярную последовательность по модулю ${displaystyle {mathfrak {b}}}$.

(В более общем смысле разница между продуктом и пересечением идеалов измеряется Функтор Tor:${displaystyle operatorname {Tor} _{1}^{R}(R/{mathfrak {a}},R/{mathfrak {b}})=({mathfrak {a}}cap {mathfrak {b}})/{mathfrak {a}}{mathfrak {b}}.}$^[6])

Область целостности называется Дедекиндский домен если для каждой пары идеалов ${displaystyle {mathfrak {a}}subset {mathfrak {b}}}$, есть идеал ${displaystyle {mathfrak {c}}}$ такой, что ${displaystyle {mathfrak {mathfrak {a}}}={mathfrak {b}}{mathfrak {c}}}$.^[7] Затем можно показать, что каждый ненулевой идеал дедекиндовской области может быть однозначно записан как произведение максимальных идеалов, обобщение основная теорема арифметики.

Примеры идеальных операций

В ${displaystyle mathbb {Z} }$ у нас есть

${displaystyle (n)cap (m)=operatorname {lcm} (n,m)mathbb {Z} }$

поскольку ${displaystyle (n)cap (m)}$ это набор целых чисел, которые делятся как на ${displaystyle n}$ и ${displaystyle m}$.

Позволять ${displaystyle R=mathbb {C} [x,y,z,w]}$ и разреши ${displaystyle I=(z,w),{ ext{ }}J=(x+z,y+w),{ ext{ }}K=(x+z,w)}$. Потом,

• ${displaystyle I+J=(z,w,x+z,y+w)=(x,y,z,w)}$ и ${displaystyle I+K=(z,w,x+z)}$
• ${displaystyle IJ=(z(x+z),z(y+w),w(x+z),w(y+w))=(z^{2}+xz,zy+wz,wx+wz,wy+w^{2})}$
• ${displaystyle IK=(xz+z^{2},zw,xw+zw,w^{2})}$
• ${displaystyle Icap J=IJ}$ пока ${displaystyle Icap K=(w,xz+z^{2})eq IK}$

В первом вычислении мы видим общую схему взятия суммы двух конечно порожденных идеалов, это идеал, порожденный объединением их образующих. В последних трех мы видим, что произведения и пересечения совпадают, когда два идеала пересекаются в нулевом идеале. Эти вычисления можно проверить с помощью Маколей2.^[8][9][10]

Радикал кольца

Основная статья: Радикал кольца

Идеалы естественно возникают при изучении модулей, особенно в форме радикала.

Для простоты мы работаем с коммутативными кольцами, но с некоторыми изменениями результаты верны и для некоммутативных колец.

Позволять р коммутативное кольцо. По определению примитивный идеал из р является аннулятором (ненулевого) просто р-модуль. В Радикал Якобсона ${displaystyle J=operatorname {Jac} (R)}$ из р является пересечением всех примитивных идеалов. Эквивалентно,

${displaystyle J=igcap _{{mathfrak {m}}{ ext{ maximal ideals}}}{mathfrak {m}}.}$

Действительно, если ${displaystyle M}$ это простой модуль и Икс ненулевой элемент в M, тогда ${displaystyle Rx=M}$ и ${displaystyle R/operatorname {Ann} (M)=R/operatorname {Ann} (x)simeq M}$, смысл ${displaystyle operatorname {Ann} (M)}$ - максимальный идеал. Наоборот, если ${displaystyle {mathfrak {m}}}$ - максимальный идеал, то ${displaystyle {mathfrak {m}}}$ аннигилятор простого р-модуль ${displaystyle R/{mathfrak {m}}}$. Есть и другая характеристика (доказательство несложно):

${displaystyle J={xin Rmid 1-yx,{ ext{ is a unit element for every }}yin R}.}$

Для необязательно коммутативного кольца общий факт ${displaystyle 1-yx}$ это элемент единицы если и только если ${displaystyle 1-xy}$ есть (см. ссылку), и поэтому эта последняя характеристика показывает, что радикал может быть определен как в терминах левого, так и правого примитивных идеалов.

Следующий простой, но важный факт (Лемма Накаямы ) является встроенным в определение радикала Джекобсона: если M такой модуль, что ${displaystyle JM=M}$, тогда M не допускает максимальный подмодуль, так как если существует максимальный подмодуль ${displaystyle Lsubsetneq M}$, ${displaystyle Jcdot (M/L)=0}$ и так ${displaystyle M=JMsubset Lsubsetneq M}$, противоречие. Поскольку ненулевой конечно порожденный модуль допускает максимальный подмодуль, в частности:

Если ${displaystyle JM=M}$ и M конечно порождена, то ${displaystyle M=0.}$

Максимальный идеал - это простой идеал, поэтому

${displaystyle operatorname {nil} (R)=igcap _{{mathfrak {p}}{ ext{ prime ideals }}}{mathfrak {p}}subset operatorname {Jac} (R)}$

где пересечение слева называется нильрадикал из р. Как выясняется из, ${displaystyle operatorname {nil} (R)}$ также набор нильпотентные элементы из р.

Если р является Артинианское кольцо, тогда ${displaystyle operatorname {Jac} (R)}$ нильпотентен и ${displaystyle operatorname {nil} (R)=operatorname {Jac} (R)}$. (Доказательство: во-первых, обратите внимание, что DCC подразумевает ${displaystyle J^{n}=J^{n+1}}$ для некоторых п. Если (DCC) ${displaystyle {mathfrak {a}}supsetneq operatorname {Ann} (J^{n})}$ является собственно минимальным идеалом над последним, то ${displaystyle Jcdot ({mathfrak {a}}/operatorname {Ann} (J^{n}))=0}$. То есть, ${displaystyle J^{n}{mathfrak {a}}=J^{n+1}{mathfrak {a}}=0}$, противоречие.)

Расширение и сжатие идеала

Позволять А и B быть двумя коммутативные кольца, и разреши ж : А → B быть кольцевой гомоморфизм. Если ${displaystyle {mathfrak {a}}}$ идеал в А, тогда ${displaystyle f({mathfrak {a}})}$ не обязательно быть идеалом в B (например, взять ж быть включение кольца целых чисел Z в область рационального мышления Q). В расширение ${displaystyle {mathfrak {a}}^{e}}$ из ${displaystyle {mathfrak {a}}}$ в B определяется как идеал в B создано ${displaystyle f({mathfrak {a}})}$. Ясно,

${displaystyle {mathfrak {a}}^{e}={Big {}sum y_{i}f(x_{i}):x_{i}in {mathfrak {a}},y_{i}in B{Big }}}$

Если ${displaystyle {mathfrak {b}}}$ это идеал B, тогда ${displaystyle f^{-1}({mathfrak {b}})}$ всегда идеал А, называется сокращение ${displaystyle {mathfrak {b}}^{c}}$ из ${displaystyle {mathfrak {b}}}$ к А.

Предполагая ж : А → B - гомоморфизм колец, ${displaystyle {mathfrak {a}}}$ идеал в А, ${displaystyle {mathfrak {b}}}$ идеал в B, тогда:

• ${displaystyle {mathfrak {b}}}$ главный в B ${displaystyle Rightarrow }$ ${displaystyle {mathfrak {b}}^{c}}$ главный в А.
• ${displaystyle {mathfrak {a}}^{ec}supseteq {mathfrak {a}}}$
• ${displaystyle {mathfrak {b}}^{ce}subseteq {mathfrak {b}}}$

В целом неверно, что ${displaystyle {mathfrak {a}}}$ быть простым (или максимальным) в А подразумевает, что ${displaystyle {mathfrak {a}}^{e}}$ простое (или максимальное) в B. Многие классические примеры этого берут начало в теории алгебраических чисел. Например, встраивание ${displaystyle mathbb {Z} o mathbb {Z} leftlbrack iightbrack }$. В ${displaystyle B=mathbb {Z} leftlbrack iightbrack }$, элемент 2 множится как ${displaystyle 2=(1+i)(1-i)}$ где (можно показать) ни один из ${displaystyle 1+i,1-i}$ единицы в B. Так ${displaystyle (2)^{e}}$ не является основным в B (а значит, и не максимальную). В самом деле, ${displaystyle (1pm i)^{2}=pm 2i}$ показывает, что ${displaystyle (1+i)=((1-i)-(1-i)^{2})}$, ${displaystyle (1-i)=((1+i)-(1+i)^{2})}$, и поэтому ${displaystyle (2)^{e}=(1+i)^{2}}$.

С другой стороны, если ж является сюръективный и ${displaystyle {mathfrak {a}}supseteq ker f}$ тогда:

• ${displaystyle {mathfrak {a}}^{ec}={mathfrak {a}}}$ и ${displaystyle {mathfrak {b}}^{ce}={mathfrak {b}}}$.
• ${displaystyle {mathfrak {a}}}$ это главный идеал в А ${displaystyle Leftrightarrow }$ ${displaystyle {mathfrak {a}}^{e}}$ главный идеал в B.
• ${displaystyle {mathfrak {a}}}$ это максимальный идеал в А ${displaystyle Leftrightarrow }$ ${displaystyle {mathfrak {a}}^{e}}$ является максимальным идеалом в B.

Замечание: Позволять K быть расширение поля из L, и разреши B и А быть кольца целых чисел из K и L, соответственно. потом B является интегральное расширение из А, и мы позволяем ж быть карта включения из А к B. Поведение главный идеал ${displaystyle {mathfrak {a}}={mathfrak {p}}}$ из А при расширении - одна из центральных проблем алгебраическая теория чисел.

Иногда полезно следующее:^[11] главный идеал ${displaystyle {mathfrak {p}}}$ является сжатием простого идеала тогда и только тогда, когда ${displaystyle {mathfrak {p}}={mathfrak {p}}^{ec}}$. (Доказательство: если предположить последнее, обратите внимание ${displaystyle {mathfrak {p}}^{e}B_{mathfrak {p}}=B_{mathfrak {p}}Rightarrow {mathfrak {p}}^{e}}$ пересекает ${displaystyle A-{mathfrak {p}}}$, противоречие. Итак, основные идеалы ${displaystyle B_{mathfrak {p}}}$ соответствуют тем в B которые не пересекаются с ${displaystyle A-{mathfrak {p}}}$. Следовательно, существует простой идеал ${displaystyle {mathfrak {q}}}$ из B, не пересекаются с ${displaystyle A-{mathfrak {p}}}$, так что ${displaystyle {mathfrak {q}}B_{mathfrak {p}}}$ - максимальный идеал, содержащий ${displaystyle {mathfrak {p}}^{e}B_{mathfrak {p}}}$. Затем проверяется, что ${displaystyle {mathfrak {q}}}$ лежит над ${displaystyle {mathfrak {p}}}$. Обратное очевидно.)

Обобщения

Идеалы можно обобщить на любые моноидный объект ${displaystyle (R,otimes )}$, куда ${displaystyle R}$ это объект, где моноид структура была забытый. А левый идеал из ${displaystyle R}$ это подобъект ${displaystyle I}$ который "поглощает умножение слева на элементы ${displaystyle R}$"; то есть, ${displaystyle I}$ это левый идеал если он удовлетворяет следующим двум условиям:

1. ${displaystyle I}$ это подобъект из ${displaystyle R}$
2. Для каждого ${displaystyle rin (R,otimes )}$ и каждый ${displaystyle xin (I,otimes )}$, продукт ${displaystyle rotimes x}$ в ${displaystyle (I,otimes )}$.

А правильный идеал определяется условием "${displaystyle rotimes xin (I,otimes )}$" заменен на "'${displaystyle xotimes rin (I,otimes )}$". А двусторонний идеал является левым идеалом, который также является правым идеалом, и иногда его просто называют идеалом. Когда ${displaystyle R}$ - коммутативный моноидный объект соответственно, определения левого, правого и двустороннего идеала совпадают, а член идеальный используется отдельно.

Смотрите также

• Модульная арифметика
• Теорема об изоморфизме Нётер
• Теорема о булевом простом идеале
• Идеальная теория
• Идеал (теория порядка)
• Идеальная норма
• Расщепление простых идеалов в расширениях Галуа
• Идеальная связка

Примечания

1. Некоторые авторы называют нулевой и единичный идеалы кольца р то тривиальные идеалы из р.

Рекомендации

1. Гарольд М. Эдвардс (1977). Последняя теорема Ферма. Генетическое введение в алгебраическую теорию чисел. п. 76.
2. Эверест Г., Уорд Т. (2005). Введение в теорию чисел. п. 83.
3. Lang 2005, Раздел III.2
4. Если р не имеет единицы, то внутренние описания выше должны быть немного изменены. В дополнение к конечным суммам произведений вещей в Икс с вещами в р, мы должны разрешить добавление п-кратные суммы вида Икс+Икс+...+Икс, и п-кратные суммы вида (−x)+(−x)+...+(−x) для каждого Икс в Икс и каждый п в натуральных числах. Когда р есть блок, это лишнее требование становится излишним.
5. Потому что простые коммутативные кольца - это поля. Видеть Лам (2001). Первый курс в некоммутативных кольцах. п. 39.
6. Эйзенбуд, Упражнение A 3.17 ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFEisenbud (помощь)
7. Милнор, стр.9. ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFMilnor (помощь)
8. "идеалы". www.math.uiuc.edu. Архивировано из оригинал на 2017-01-16. Получено 2017-01-14.
9. "суммы, продукты и силы идеалов". www.math.uiuc.edu. Архивировано из оригинал на 2017-01-16. Получено 2017-01-14.
10. «пересечение идеалов». www.math.uiuc.edu. Архивировано из оригинал на 2017-01-16. Получено 2017-01-14.
11. Атья – Макдональд, Предложение 3.16. ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFAtiyah – MacDonald (помощь)

• Атья, М.Ф. и Макдональд, И.Г., Введение в коммутативную алгебру, Книги Персея, 1969, ISBN  0-201-00361-9
• Ланг, Серж (2005). Алгебра бакалавриата (Третье изд.). Springer-Verlag. ISBN  978-0-387-22025-3.
• Мишель Хазевинкель, Надежда Губарени, Надежда Михайловна Губарени, Владимир Васильевич Кириченко. Алгебры, кольца и модули. Том 1. 2004. Springer, 2004. ISBN  1-4020-2690-0
• Милнор, Джон Уиллард (1971), Введение в алгебраическую K-теорию, Анналы математических исследований, 72, Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press, МИСТЕР  0349811, Zbl  0237.18005

внешняя ссылка

• Левинсон, Джейк (14 июля 2014 г.). "Геометрическая интерпретация продолжения идеалов?". Обмен стеком.