Конфигурационное пространство (математика) - Configuration space (mathematics) - Wikipedia

Конфигурационное пространство всех неупорядоченных пар точек на окружности - это Лента Мебиуса.

В математика, а конфигурационное пространство это конструкция, тесно связанная с государственные пространства или же фазовые пространства по физике. В физике они используются для описания состояния всей системы как единой точки в многомерном пространстве. В математике они используются для описания присвоения набора точек позициям в топологическое пространство. В частности, конфигурационные пространства в математике являются частными примерами конфигурационные пространства в физике в частном случае нескольких не сталкивающихся частиц.

Определение

Для топологического пространства ${\displaystyle X}$, то п^th (упорядоченное) конфигурационное пространство X это набор п-кортежи попарно различных точек в ${\displaystyle X}$:

${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(X):=\prod ^{n}X\smallsetminus \{(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\in X^{n}\mid x_{i}=x_{j}\ {\text{ for some }}i\neq j\}.}$^[1]

Это пространство обычно наделяется топологией подпространств из-за включения ${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(X)}$ в ${\displaystyle X^{n}}$. Также иногда обозначается ${\displaystyle F(X,n)}$, ${\displaystyle F^{n}(X)}$, или же ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{n}(X)}$.^[2]

Есть естественный действие из симметричная группа ${\displaystyle S_{n}}$ по пунктам в ${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(X)}$ данный

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}\times \operatorname {Conf} _{n}(X)&\longrightarrow \operatorname {Conf} _{n}(X)\\(\sigma ,x)&\longmapsto \sigma (x)=(x_{\sigma (1)},x_{\sigma (2)},\ldots ,x_{\sigma (n)}).\end{aligned}}}$

Это действие порождает п^th неупорядоченное конфигурационное пространство Икс,

${\displaystyle \operatorname {UConf} _{n}(X):=\operatorname {Conf} _{n}(X)/S_{n},}$

какой орбитальное пространство этого действия. Интуиция подсказывает, что это действие «забывает названия точек». Неупорядоченное конфигурационное пространство иногда обозначают ${\displaystyle {\mathcal {UC}}^{n}(X)}$,^[2] ${\displaystyle B_{n}(X)}$, или же ${\displaystyle C_{n}(X)}$. Совокупность неупорядоченных конфигурационных пространств по всем ${\displaystyle n}$ это Пробежал пространство, и имеет естественную топологию.

Альтернативные составы

Для топологического пространства ${\displaystyle X}$ и конечное множество ${\displaystyle S}$, то конфигурационное пространство Икс с частицами, помеченными S является

${\displaystyle \operatorname {Conf} _{S}(X):=\{f\mid f\colon S\hookrightarrow X{\text{ is injective}}\}.}$

За ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, определять ${\displaystyle \mathbf {n} :=\{1,2,\ldots ,n\}}$. Тогда п^th конфигурационное пространство Икс является ${\displaystyle \operatorname {Conf} _{\mathbf {n} }(X)}$, и обозначается просто ${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(X)}$.^[3]

Примеры

• Пространство упорядоченной конфигурации двух точек в ${\displaystyle \mathbf {R} ^{2}}$ является гомеоморфный произведению трехмерного евклидова пространства на круг, т. е. ${\displaystyle \operatorname {Conf} _{2}(\mathbf {R} ^{2})\cong \mathbf {R} ^{3}\times S^{1}}$.^[2]
• В более общем плане конфигурационное пространство двух точек в ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$ является гомотопический эквивалент в сферу ${\displaystyle S^{n-1}}$.^[4]
• Конфигурационное пространство ${\displaystyle n}$ указывает в ${\displaystyle \mathbf {R} ^{2}}$ классифицирующее пространство ${\displaystyle n}$th группа кос (видеть ниже ).

Подключение к группам кос

Основная статья: Группа кос

В пгруппа косичек на связаны топологическое пространство Икс является

${\displaystyle B_{n}(X):=\pi _{1}(\operatorname {UConf} _{n}(X)),}$

то фундаментальная группа из п^th неупорядоченное конфигурационное пространство Икс. В пгруппа чистой косы на Икс является^[2]

${\displaystyle P_{n}(X):=\pi _{1}(\operatorname {Conf} _{n}(X)).}$

Первыми изученными группами кос были Группы косы Artin ${\displaystyle B_{n}\cong \pi _{1}(\operatorname {UConf} _{n}(\mathbf {R} ^{2}))}$. Хотя приведенное выше определение не является тем, что Эмиль Артин дал, Адольф Гурвиц неявно определили группы кос Артина как фундаментальные группы конфигурационных пространств комплексной плоскости значительно раньше определения Артина (в 1891 г.).^[5]

Из этого определения и того факта, что ${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(\mathbf {R} ^{2})}$ и ${\displaystyle \operatorname {UConf} _{n}(\mathbf {R} ^{2})}$ находятся Пространства Эйленберга – Маклейна типа ${\displaystyle K(\pi ,1)}$, что неупорядоченное конфигурационное пространство плоскости ${\displaystyle \operatorname {UConf} _{n}(\mathbf {R} ^{2})}$ это классификация пространства для группы кос Артина и ${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(\mathbf {R} ^{2})}$ является классифицирующим пространством для чистой группы кос Артина, когда обе рассматриваются как дискретные группы.^[6]

Конфигурационные пространства многообразий

Если исходное пространство ${\displaystyle X}$ это многообразие, его упорядоченные конфигурационные пространства являются открытыми подпространствами степеней ${\displaystyle X}$ и, таким образом, сами являются многообразиями. Конфигурационное пространство различных неупорядоченных точек также является многообразием, а конфигурационное пространство не обязательно отличаться^{[требуется разъяснение ]} неупорядоченные точки вместо этого орбифолд.

Конфигурационное пространство - это тип классификация пространства или (хорошо) пространство модулей. В частности, есть универсальный комплект ${\displaystyle \pi \colon E_{n}\to C_{n}}$ которое является подрасслоением тривиального расслоения ${\displaystyle C_{n}\times X\to C_{n}}$, и обладающий тем свойством, что слой над каждой точкой ${\displaystyle p\in C_{n}}$ это п подмножество элементов ${\displaystyle X}$ классифицированп.

Гомотопическая инвариантность

Гомотопический тип конфигурационных пространств не является гомотопический инвариант. Например, пробелы ${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(\mathbb {R} ^{m})}$ не гомотопически эквивалентны для любых двух различных значений ${\displaystyle m}$: ${\displaystyle \mathrm {Conf} _{n}(\mathbb {R} ^{0})}$ пусто для ${\displaystyle n\geq 2}$, ${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(\mathbb {R} )}$ не связан для ${\displaystyle n\geq 2}$, ${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(\mathbb {R} ^{2})}$ является Пространство Эйленберга – Маклейна типа ${\displaystyle K(\pi ,1)}$, и ${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(\mathbb {R} ^{m})}$ является односвязный за ${\displaystyle m\geq 3}$.

Раньше вопрос о том, есть ли примеры компактный многообразия, которые были гомотопически эквивалентны, но имели негомотопически эквивалентные конфигурационные пространства: такой пример был найден только в 2005 году Риккардо Лонгони и Паоло Сальваторе. Их пример - два трехмерных линзы, и конфигурационные пространства не менее двух точек в них. То, что эти конфигурационные пространства не гомотопически эквивалентны, было обнаружено Продукция Massey в соответствующих универсальных крышках.^[7] Гомотопическая инвариантность конфигурационных пространств односвязный замкнутые многообразия в общем случае остаются открытыми и, как было доказано, выполняются над базовым полем ${\displaystyle \mathbf {R} }$.^[8][9] Вещественная гомотопическая инвариантность односвязного компакта многообразия с односвязным краем размерности не менее 4.^[10]

Конфигурационные пространства графов

Некоторые результаты относятся к конфигурационным пространствам графики. Эта проблема может быть связана с робототехникой и планированием движения: можно представить себе размещение нескольких роботов на рельсах и попытку переместить их в разные положения без столкновений. Дорожки соответствуют (ребрам) графа, роботы соответствуют частицам, а успешная навигация соответствует пути в конфигурационном пространстве этого графа.^[11]

Для любого графика ${\displaystyle \Gamma }$, ${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(\Gamma )}$ является пространством Эйленберга – Маклейна типа ${\displaystyle K(\pi ,1)}$^[11] и при сильной деформации втягивается к CW комплекс измерения ${\displaystyle b(\Gamma )}$, куда ${\displaystyle b(\Gamma )}$ количество вершин степень минимум 3.^[11][12] Более того, ${\displaystyle \operatorname {UConf} _{n}(\Gamma )}$ и ${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(\Gamma )}$ деформация втягивается в неположительно изогнутый кубические комплексы размер не более ${\displaystyle \min(n,b(\Gamma ))}$.^[13][14]

Конфигурационные пространства механических связей

Также определяется конфигурационное пространство механической связи с графом. ${\displaystyle \Gamma }$ его основная геометрия. Обычно предполагается, что такой граф состоит из жестких стержней и шарниров. Конфигурационное пространство такой связи определяется как совокупность всех ее допустимых положений в евклидовом пространстве, снабженная соответствующей метрикой. Конфигурационное пространство типичного зацепления представляет собой гладкое многообразие, например, для тривиального плоского зацепления, состоящего из ${\displaystyle n}$ жесткие стержни, соединенные поворотными шарнирами, конфигурационное пространство - n-тор ${\displaystyle T^{n}}$.^[15][16]Простейшая особая точка в таких конфигурационных пространствах - это произведение конуса на однородной квадратичной гиперповерхности на евклидово пространство. Такая точка сингулярности возникает для связей, которые могут быть разделены на две подсвязки, так что их соответствующие конечные точки трассы-пути пересекаются непересечным образом, например, связь, которую можно выровнять (то есть полностью сложить в линию).^[17]

Смотрите также

• Математический портал

• Пространство конфигурации (физика)
• Пространство состояний (физика)

Рекомендации

1. Фарбер, Майкл; Грант, Марк (2009). «Топологическая сложность конфигурационных пространств». Труды Американского математического общества. 137 (5): 1841–1847. arXiv:0806.4111. Дои:10.1090 / S0002-9939-08-09808-0. МИСТЕР  2470845.
2. Грист, Роберт (2009-12-01). «Конфигурационные пространства, косы и робототехника». В Беррике, А. Джон; Коэн, Фредерик Р .; Хэнбери, Элизабет; Вонг, Ян-Лой; Ву, Цзе (ред.). Косы. Серия лекций, Институт математических наук, Национальный университет Сингапура. Том 19. Мировой науч. С. 263–304. Дои:10.1142/9789814291415_0004. ISBN  9789814291408.
3. Четтих, Сафия; Lütgehetmann, Даниэль (2018). «Гомологии конфигурационных пространств графов». Алгебраическая и геометрическая топология. 18 (4): 2443–2469. arXiv:1612.08290. Дои:10.2140 / agt.2018.18.2443.
4. Синха, Дев (20.02.2010). «Гомология маленьких дисков операда». п. 2. arXiv:математика / 0610236.
5. Магнус, Вильгельм (1974). «Группы кос: опрос». Труды Второй Международной конференции по теории групп.. Конспект лекций по математике. 372. Springer. п. 465. ISBN  978-3-540-06845-7.
6. Арнольд, Владимир (1969). Кольцо когомологий группы окрашенных кос. Математические заметки (на русском). 5. Переведено Виктор Васильев. С. 227–231. Дои:10.1007/978-3-642-31031-7_18. ISBN  978-3-642-31030-0. ISSN  0025-567X. МИСТЕР  0242196.
7. Сальваторе, Паоло; Лонгони, Риккардо (2005), "Конфигурационные пространства не являются гомотопически инвариантными", Топология, 44 (2): 375–380, arXiv:математика / 0401075, Дои:10.1016 / j.top.2004.11.002
8. Кампос, Рикардо; Уиллахер, Томас (2016-04-07). «Модель конфигурационного пространства точек». arXiv:1604.02043 [math.QA ].
9. Идрисси, Наджиб (29 августа 2016 г.). "Модель конфигурационных пространств Ламбрехта – Стэнли". Inventiones Mathematicae. arXiv:1608.08054. Bibcode:2016arXiv160808054I. Дои:10.1007 / s00222-018-0842-9.
10. Кампос, Рикардо; Идрисси, Наджиб; Ламбрехтс, Паскаль; Уиллахер, Томас (02.02.2018). "Конфигурационные пространства многообразий с границей". arXiv:1802.00716 [math.AT ].
11. Грист, Роберт (2001), "Конфигурационные пространства и группы кос на графах в робототехнике", Узлы, косы и группы классов отображений - статьи, посвященные Джоан С. Бирман, AMS / IP Stud. Adv. Математика, 24, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. 29–40, arXiv:математика / 9905023, МИСТЕР  1873106
12. Фарли, Дэниел; Сабалка, Лукас (2005). «Дискретная теория Морса и группы кос графов». Алгебраическая и геометрическая топология. 5 (3): 1075–1109. arXiv:математика / 0410539. Дои:10.2140 / agt.2005.5.1075. МИСТЕР  2171804.
13. Свёнтковский, Яцек (2001). «Оценки гомологической размерности конфигурационных пространств графов». Математический коллоквиум (по польски). 89 (1): 69–79. Дои:10,4064 / см89-1-5. МИСТЕР  1853416.
14. Lütgehetmann, Даниэль (2014). Конфигурационные пространства графов (Дипломная работа). Берлин: Свободный университет Берлина.
15. Швалб, Нир; Шохам, Моше; Блан, Дэвид (2005). «Конфигурационное пространство паутинных механизмов». Форум Mathematicum. 17 (6): 1033–1042. Дои:10.1515 / форма.2005.17.6.1033.
16. Фарбер, Майкл (2007). Приглашение в топологическую робототехнику. Американское математическое общество.
17. Швалб, Нир; Блан, Дэвид (2012). «Типовые особые конфигурации связей». Топология и ее приложения. 159 (3): 877–890. Дои:10.1016 / j.topol.2011.12.003.