Конгруэнтность (многообразия) - Congruence (manifolds)

В теории гладкие многообразия, а соответствие это набор интегральные кривые определяется ненулевым векторное поле определены на многообразии.

Конгруэнции - важное понятие в общая теория относительности, а также важны в некоторых частях Риманова геометрия.

Мотивационный пример

Идею конгруэнтности, вероятно, лучше объяснить примером, чем определением. Рассмотрим гладкое многообразие р². Векторные поля можно указать как линейные дифференциальные операторы в частных производных первого порядка, Такие как

${\displaystyle {\vec {X}}=(x^{2}-y^{2})\,\partial _{x}+2\,xy\,\partial _{y}}$

Они соответствуют системе линейные обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка, в этом случае

${\displaystyle {\dot {x}}=x^{2}-y^{2},\;{\dot {y}}=2\,xy}$

где точка обозначает производную по некоторому (фиктивному) параметру. Решения таких систем семейства параметризованных кривых, в этом случае

${\displaystyle x(\lambda )={\frac {x_{0}-(x_{0}^{2}+y_{0}^{2})\,\lambda }{1-2\,x_{0}\,\lambda +(x_{0}^{2}+y_{0}^{2})\,\lambda ^{2}}}}$

${\displaystyle y(\lambda )={\frac {y_{0}}{1-2\,x_{0}\,\lambda +(x_{0}^{2}+y_{0}^{2})\,\lambda ^{2}}}}$

Эту семью часто называют конгруэнтность кривых, или просто соответствие для краткости.

В этом конкретном примере есть два особенности, где векторное поле обращается в нуль. Это фиксированные точки из поток. (Поток - это одномерная группа диффеоморфизмы; поток определяет действие одномерным Группа Ли р, обладающий локально хорошими геометрическими свойствами.) Эти две особенности соответствуют двум точки, а не две кривые. В этом примере все остальные интегральные кривые простые замкнутые кривые. Многие потоки значительно сложнее этого. Чтобы избежать осложнений, связанных с наличием особенностей, обычно требуется, чтобы векторное поле было неисчезающий.

Если мы добавим больше математической структуры, наше сравнение может приобрести новое значение.

Конгруэнции в римановых многообразиях

Например, если мы сделаем наш гладкое многообразие в Риманово многообразие добавив риманову метрический тензор, скажем, определенное линейным элементом

${\displaystyle ds^{2}=\left({\frac {2}{1+x^{2}+y^{2}}}\right)^{2}\,\left(dx^{2}+dy^{2}\right)}$

наша конгруэнтность может стать геодезическая конгруэнтность. Действительно, в примере из предыдущего раздела наши кривые становятся геодезические на обычной круглой сфере (с вырезанным северным полюсом). Если бы мы добавили стандартную евклидову метрику ${\displaystyle ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}}$ вместо этого наши кривые стали бы круги, но не геодезические.

Интересным примером римановой геодезической конгруэнтности, связанной с нашим первым примером, является Клиффорд конгруэнтность на P³, который также известен на Набор хопфа или же Расслоение Хопфа. Интегральные кривые или слои соответственно определены попарно связанный большие круги, орбиты в пространстве единичной нормы кватернионы при умножении слева на заданный единичный кватернион единичной нормы.

Конгруэнции в лоренцевых многообразиях

В Лоренцево многообразие, например пространство-время модель в общей теории относительности (которая обычно точный или приблизительное решение Уравнение поля Эйнштейна ), сравнения называются подобный времени, ноль, или же космический если касательные векторы везде времениподобны, нулевые или пространственноподобные соответственно. Сравнение называется геодезическая конгруэнтность если касательное векторное поле ${\displaystyle {\vec {X}}}$ исчезает ковариантная производная, ${\displaystyle \nabla _{\vec {X}}{\vec {X}}=0}$.

Смотрите также

• Конгруэнтность (общая теория относительности)

Рекомендации

• Ли, Джон М. (2003). Введение в гладкие многообразия. Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  0-387-95448-1. Учебник по теории многообразий. См. Также учебники того же автора по топологическим многообразиям (нижний уровень структуры) и римановой геометрии (более высокий уровень структуры).