Геодезический - Geodesic - Wikipedia

Эта статья о геодезических в целом. Для получения более подробной информации см. Геодезические земли, Геодезический (значения), и Геодезические в теории относительности. Для использования в других целях см. Геодезический (значения).

Геодезический треугольник на сфере. Геодезические большой круг дуги.

В геометрия, а геодезический (/ˌdʒяəˈdɛsɪk,ˌdʒяoʊ-,-ˈdя-,-zɪk/^[1][2]) обычно изгиб представляющий в некотором смысле самый короткий^[а] путь между двумя точками в поверхность, или, в более общем смысле, в Риманово многообразие. Термин также имеет значение в любом дифференцируемое многообразие с связь. Это обобщение понятия "прямая линия "в более общие настройки.

Существительное «геодезический» и прилагательное «геодезический " родом из геодезия наука об измерении размера и формы земной шар, в то время как многие из основных принципов могут быть применены к любому эллипсоидальный геометрия. В первоначальном смысле геодезическая была кратчайшим путем между двумя точками на Земле. поверхность. Для сферическая Земля, это сегмент из большой круг. Этот термин был обобщен, чтобы включать измерения в гораздо более общих математических пространствах; например, в теория графов можно было бы рассмотреть геодезический между двумя вершины / узлы график.

В римановом многообразии или подмногообразии геодезические характеризуются свойством обращения в нуль. геодезическая кривизна. В более общем смысле, при наличии аффинная связь геодезической называется кривая, касательные векторы остаются параллельными, если они транспортируется вдоль него. Применяя это к Леви-Чивита связь из Риманова метрика восстанавливает предыдущее понятие.

Геодезия имеет особое значение в общая теория относительности. Timelike геодезические в общей теории относительности описать движение свободное падение тестовые частицы.

Вступление

Кратчайший путь между двумя заданными точками в искривленном пространстве, предполагаемый дифференциальный коллектор, можно определить с помощью уравнение для длина из изгиб (функция ж из открытый интервал из р в пространство), а затем минимизировать эту длину между точками с помощью вариационное исчисление. Это имеет некоторые незначительные технические проблемы, потому что существует бесконечное пространство различных способов параметризации кратчайшего пути. Проще ограничить набор кривых теми, которые параметризованы "с постоянной скоростью" 1, что означает, что расстояние от ж(s) к ж(т) вдоль кривой равно |s−т|, Эквивалентно, можно использовать другую величину, называемую энергией кривой; минимизация энергии приводит к тем же уравнениям для геодезической (здесь «постоянная скорость» является следствием минимизации).^{[нужна цитата ]} Интуитивно можно понять эту вторую формулировку, заметив, что эластичный бинт растянутое между двумя точками сократит его длину и тем самым сведет к минимуму его энергию. Получившаяся форма полосы - геодезическая.

Возможно, что несколько разных кривых между двумя точками минимизируют расстояние, как в случае двух диаметрально противоположных точек на сфере. В таком случае любая из этих кривых является геодезической.

Смежный отрезок геодезической снова является геодезической.

В общем, геодезические - это не то же самое, что «кратчайшие кривые» между двумя точками, хотя эти два понятия тесно связаны. Разница в том, что геодезические только локально кратчайшее расстояние между точками и параметризованы с «постоянной скоростью». Пройдя "долгий путь" на большой круг между двумя точками на сфере - это геодезическая, но не кратчайший путь между точками. Карта ${\displaystyle t\to t^{2}}$ от единичного интервала на действительной числовой прямой до самого себя дает кратчайший путь от 0 до 1, но не является геодезической, потому что скорость соответствующего движения точки не постоянна.

Геодезические обычно используются при изучении Риманова геометрия и вообще метрическая геометрия. В общая теория относительности, геодезические в пространство-время описать движение точечные частицы только под действием силы тяжести. В частности, путь, пройденный падающим камнем, движущимся по орбите спутник, или форма планетарная орбита все являются геодезическими в искривленном пространстве-времени. В более общем плане тема субриманова геометрия имеет дело с путями, которыми могут следовать объекты, когда они не свободны, и их движение ограничено различными способами.

В этой статье представлен математический формализм, используемый для определения, поиска и доказательства существования геодезических в случае Риманов и псевдоримановы многообразия. Статья геодезический (общая теория относительности) обсуждает частный случай общей теории относительности более подробно.

Примеры

А геодезическая на трехосном эллипсоиде.

Если насекомое помещается на поверхность и постоянно идет «вперед», оно по определению будет определять геодезические.

Наиболее известные примеры - прямые линии в Евклидова геометрия. На сфера, изображения геодезических - это большие круги. Кратчайший путь от точки А В точку B на сфере дается более коротким дуга большого круга, проходящего через А и B. Если А и B находятся противоположные точки, то есть бесконечно много кратчайшие пути между ними. Геодезические на эллипсоиде вести себя сложнее, чем на сфере; в частности, они не закрываются вообще (см. рисунок).

Метрическая геометрия

В метрическая геометрия, геодезическая - это кривая, которая всюду локально а расстояние минимизатор. Точнее, изгиб γ : я → M из интервала я Реалов в метрическое пространство M это геодезический если есть постоянный v ≥ 0 такой, что для любого т ∈ я есть район J из т в я такой, что для любого т₁, т₂ ∈ J у нас есть

${\displaystyle d(\gamma (t_{1}),\gamma (t_{2}))=v\left|t_{1}-t_{2}\right|.}$

Это обобщает понятие геодезических для римановых многообразий. Однако в метрической геометрии рассматриваемая геодезическая часто снабжена естественная параметризация, т.е. в указанном выше тождестве v = 1 и

${\displaystyle d(\gamma (t_{1}),\gamma (t_{2}))=\left|t_{1}-t_{2}\right|.}$

Если последнее равенство выполняется для всех т₁, т₂ ∈ ягеодезическая называется минимизация геодезических или же кратчайший путь.

В общем случае метрическое пространство может не иметь геодезических, кроме постоянных кривых. С другой стороны, любые две точки в длина метрическое пространство соединяются минимизирующей последовательностью исправляемые пути, хотя эта минимизирующая последовательность может не сходиться к геодезической.

Риманова геометрия

В Риманово многообразие M с метрический тензор грамм, длина L непрерывно дифференцируемой кривой γ: [а,б] → M определяется

${\displaystyle L(\gamma )=\int _{a}^{b}{\sqrt {g_{\gamma (t)}({\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t))}}\,dt.}$

Расстояние d(п, q) между двумя точками п и q из M определяется как инфимум длины, взятой по всем непрерывным кусочно-непрерывно дифференцируемым кривым γ: [а,б] → M такое, что γ (а) = п и γ (б) = q. В римановой геометрии все геодезические - это пути, локально минимизирующие расстояние, но обратное неверно. Фактически, геодезическими являются только пути, которые одновременно минимизируют локальное расстояние и параметризованы пропорционально длине дуги. Другой эквивалентный способ определения геодезических на римановом многообразии - определить их как минимумы следующих действие или же энергетический функционал

${\displaystyle E(\gamma )={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}g_{\gamma (t)}({\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t))\,dt.}$

Все минимумы E также являются минимумом L, но L является большим набором, поскольку пути, которые являются минимумом L могут быть произвольно перенастроены (без изменения их длины), а минимумы E не может. ${\displaystyle C^{1}}$ кривая (в более общем смысле ${\displaystyle W^{1,2}}$ кривая), Неравенство Коши – Шварца дает

${\displaystyle L(\gamma )^{2}\leq 2(b-a)E(\gamma )}$

с равенством тогда и только тогда, когда ${\displaystyle g(\gamma ',\gamma ')}$ равна постоянной п.в .; путь должен проходить с постоянной скоростью. Бывает, что минимизаторы ${\displaystyle E(\gamma )}$ также минимизировать ${\displaystyle L(\gamma )}$, поскольку они оказываются аффинно параметризованными, а неравенство является равенством. Полезность этого подхода заключается в том, что проблема поиска минимизаторов E является более устойчивой вариационной задачей. В самом деле, E является «выпуклой функцией» от ${\displaystyle \gamma }$, так что внутри каждого изотопического класса «разумных функций» следует ожидать существования, единственности и регулярности минимизаторов. Напротив, «минимизаторы» функционала ${\displaystyle L(\gamma )}$ обычно не очень регулярны, потому что разрешены произвольные изменения параметров.

В Уравнения Эйлера – Лагранжа. движения для функционала E тогда задаются в локальных координатах как

${\displaystyle {\frac {d^{2}x^{\lambda }}{dt^{2}}}+\Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }{\frac {dx^{\mu }}{dt}}{\frac {dx^{\nu }}{dt}}=0,}$

куда ${\displaystyle \Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }}$ являются Символы Кристоффеля метрики. Это геодезическое уравнение, обсуждали ниже.

Вариационное исчисление

Техники классической вариационное исчисление может применяться для исследования функционала энергии E. В первая вариация энергии определяется в локальных координатах как

${\displaystyle \delta E(\gamma )(\varphi )=\left.{\frac {\partial }{\partial t}}\right|_{t=0}E(\gamma +t\varphi ).}$

В критические точки первой вариации - это именно геодезические. В второй вариант определяется

${\displaystyle \delta ^{2}E(\gamma )(\varphi ,\psi )=\left.{\frac {\partial ^{2}}{\partial s\,\partial t}}\right|_{s=t=0}E(\gamma +t\varphi +s\psi ).}$

В надлежащем смысле нули второй вариации вдоль геодезической γ возникают вдоль Поля Якоби. Таким образом, поля Якоби рассматриваются как вариации через геодезические.

Применяя вариационные техники из классическая механика, можно также рассмотреть геодезические как гамильтоновы потоки. Они являются решениями связанных Уравнения Гамильтона, с (псевдо-) римановой метрикой, взятой как Гамильтониан.

Аффинные геодезические

Смотрите также: Геодезические в общей теории относительности

А геодезический на гладкое многообразие M с аффинная связь ∇ определяется как изгиб γ (т) такие, что параллельный транспорт вдоль кривой сохраняет касательный вектор к кривой, поэтому

${\displaystyle \nabla _{\dot {\gamma }}{\dot {\gamma }}=0}$

(1)

в каждой точке кривой, где ${\displaystyle {\dot {\gamma }}}$ - производная по ${\displaystyle t}$. Точнее, чтобы определить ковариантную производную от ${\displaystyle {\dot {\gamma }}}$ сначала необходимо продлить ${\displaystyle {\dot {\gamma }}}$ к непрерывно дифференцируемой векторное поле в открытый набор. Однако результирующее значение (1) не зависит от выбора расширения.

С помощью местные координаты на M, мы можем написать геодезическое уравнение (с использованием соглашение о суммировании ) в качестве

${\displaystyle {\frac {d^{2}\gamma ^{\lambda }}{dt^{2}}}+\Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }{\frac {d\gamma ^{\mu }}{dt}}{\frac {d\gamma ^{\nu }}{dt}}=0\ ,}$

куда ${\displaystyle \gamma ^{\mu }=x^{\mu }\circ \gamma (t)}$ - координаты кривой γ (т) и ${\displaystyle \Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }}$ являются Символы Кристоффеля соединения ∇. Это обыкновенное дифференциальное уравнение для координат. У него есть уникальное решение, учитывая начальное положение и начальную скорость. Следовательно, с точки зрения классическая механика, геодезические можно рассматривать как траектории свободные частицы в коллекторе. Действительно, уравнение ${\displaystyle \nabla _{\dot {\gamma }}{\dot {\gamma }}=0}$ означает, что вектор ускорения кривой не имеет компонентов в направлении поверхности (и поэтому она перпендикулярна касательной плоскости поверхности в каждой точке кривой). Итак, движение полностью определяется изгибом поверхности. Это также идея общей теории относительности, в которой частицы движутся по геодезическим, а их изгиб вызывается гравитацией.

Существование и уникальность

В локальная теорема существования и единственности для геодезических утверждает, что геодезические на гладком многообразии с аффинная связь существуют и уникальны. Точнее:

Для любой точки п в M и для любого вектора V в Т_пM (в касательное пространство к M в п) существует единственная геодезическая ${\displaystyle \gamma \,}$ : я → M такой, что

${\displaystyle \gamma (0)=p\,}$ и

${\displaystyle {\dot {\gamma }}(0)=V,}$

куда я это максимальный открытый интервал в р содержащий 0.

Доказательство этой теоремы следует из теории обыкновенные дифференциальные уравнения, заметив, что уравнение геодезических является ОДУ второго порядка. Существование и уникальность тогда следуют из Теорема Пикара – Линделёфа для решений ОДУ с заданными начальными условиями. γ зависит плавно на обоих п иV.

В целом, я не может быть все из р как, например, для открытого диска в р². Любой γ распространяется на все ℝ если и только если M является геодезически полный.

Геодезический поток

Геодезический поток местный р-действие на касательный пучок TM многообразия M определяется следующим образом

${\displaystyle G^{t}(V)={\dot {\gamma }}_{V}(t)}$

куда т ∈ р, V ∈ TM и ${\displaystyle \gamma _{V}}$ обозначает геодезическую с начальными данными ${\displaystyle {\dot {\gamma }}_{V}(0)=V}$. Таким образом, ${\displaystyle G^{t}}$(V) = ехр (телевидение) это экспоненциальная карта вектора телевидение. Замкнутая орбита геодезического потока соответствует закрытая геодезическая наM.

На (псевдо) римановом многообразии геодезический поток отождествляется с Гамильтонов поток на котангенсном пучке. В Гамильтониан тогда задается обратной метрикой (псевдо) римановой метрики, вычисляемой относительно каноническая одноформа. В частности, поток сохраняет (псевдо) риманову метрику ${\displaystyle g}$, т.е.

${\displaystyle g(G^{t}(V),G^{t}(V))=g(V,V).\,}$

В частности, когда V - единичный вектор, ${\displaystyle \gamma _{V}}$ остается единичной скоростью на всем протяжении, поэтому геодезический поток касается единичный касательный пучок. Теорема Лиувилля влечет инвариантность кинематической меры на единичном касательном расслоении.

Геодезический спрей

Геодезический поток определяет семейство кривых в касательный пучок. Производные этих кривых определяют векторное поле на общая площадь касательного пучка, известного как геодезический спрей.

Точнее, аффинная связность приводит к расщеплению пучок двойных касательных TTM в горизонтальный и вертикальные связки:

${\displaystyle TTM=H\oplus V.}$

Геодезический спрей - это уникальное горизонтальное векторное поле. W удовлетворение

${\displaystyle \pi _{*}W_{v}=v\,}$

в каждой точке v ∈ TM; здесь π_∗ : TTM → ТM обозначает pushforward (дифференциал) вдоль проекции π: TM → M связанный с касательным расслоением.

В более общем плане такая же конструкция позволяет построить векторное поле для любого Связь Эресманна на касательном расслоении. Чтобы полученное векторное поле было спреем (на удаленном касательном расслоении TM {0}) достаточно, чтобы связность была эквивариантной относительно положительных пересчетов: она не обязательно должна быть линейной. То есть (ср. Связность Эресмана # Векторные расслоения и ковариантные производные ) достаточно, чтобы горизонтальное распределение удовлетворяло

${\displaystyle H_{\lambda X}=d(S_{\lambda })_{X}H_{X}\,}$

для каждого Икс ∈ TM {0} и λ> 0. Здесь d(S_λ) это продвигать вдоль скалярной гомотетии ${\displaystyle S_{\lambda }:X\mapsto \lambda X.}$ Частный случай нелинейной связи, возникающей таким образом, связан с Финслеровский коллектор.

Аффинные и проективные геодезические

Уравнение (1) инвариантен относительно аффинных репараметризаций; то есть параметризации вида

${\displaystyle t\mapsto at+b}$

куда а и б - постоянные действительные числа. Таким образом, помимо определения определенного класса вложенных кривых, уравнение геодезических также определяет предпочтительный класс параметризации на каждой из кривых. Соответственно, решения (1) называются геодезическими с аффинный параметр.

Аффинная связь определяется по его семейство аффинно параметризованных геодезических, до кручение (Спивак 1999, Глава 6, Приложение I). Само кручение фактически не влияет на семейство геодезических, поскольку уравнение геодезических зависит только от симметричной части связности. Точнее, если ${\displaystyle \nabla ,{\bar {\nabla }}}$ две связи такие, что тензор разностей

${\displaystyle D(X,Y)=\nabla _{X}Y-{\bar {\nabla }}_{X}Y}$

является кососимметричный, тогда ${\displaystyle \nabla }$ и ${\displaystyle {\bar {\nabla }}}$ имеют одинаковые геодезические с одинаковыми аффинными параметризациями. Кроме того, существует уникальное соединение с теми же геодезическими, что и ${\displaystyle \nabla }$, но с исчезающим кручением.

Геодезические без особой параметризации описываются проективная связь.

Вычислительные методы

Эффективные решатели минимальной геодезической задачи на поверхностях, заданных как уравнения эйконала были предложены Киммелем и другими.^[3][4]

Приложения

Геодезические служат основой для расчета:

• геодезические планеры; видеть геодезический планер или же геодезический планер
• геодезические сооружения - например геодезические купола
• горизонтальные расстояния на Земле или вблизи Земли; видеть Геодезические земли
• отображение изображений на поверхностях для рендеринга; видеть УФ-отображение
• движение частиц в компьютерном моделировании молекулярной динамики (МД)^[5]
• робот планирование движения (например, при покраске деталей автомобиля); видеть Задача кратчайшего пути

Смотрите также

• Введение в математику общей теории относительности
• Отношение Клеро - Формула классической дифференциальной геометрии
• Дифференцируемая кривая - Изучение кривых с дифференциальной точки зрения
• Дифференциальная геометрия поверхностей
• Теорема Хопфа – Ринова.
• Внутренняя метрика
• Изотропная линия
• Поле Якоби
• Теория Морса - Анализирует топологию многообразия, изучая дифференцируемые функции на этом многообразии.
• Zoll поверхность - Поверхность, гомеоморфная сфере
• Проблема паука и мухи - Проблема рекреационной геодезии

Примечания

1. Или для Лоренцево многообразие самый длинный

Рекомендации

1. "geodesic - определение слова geodesic на английском языке из Оксфордского словаря". OxfordDictionaries.com. Получено 2016-01-20.
2. "геодезический". Словарь Merriam-Webster.
3. Kimmel, R .; Амир, А .; Брукштейн, А. М. (1995). «Нахождение кратчайших путей на поверхностях с использованием распространения наборов уровней». IEEE Transactions по анализу шаблонов и машинному анализу. 17 (6): 635–640. Дои:10.1109/34.387512.
4. Kimmel, R .; Сетиан, Дж. А. (1998). «Расчет геодезических путей на многообразиях» (PDF). Труды Национальной академии наук. 95 (15): 8431–8435. Bibcode:1998PNAS ... 95.8431K. Дои:10.1073 / пнас.95.15.8431. PMID  9671694.
5. Ingebrigtsen, Trond S .; Toxvaerd, Søren; Heilmann, Ole J .; Schrøder, Thomas B .; Дайр, Джепп К. (2011). «Динамика НВУ. I. Геодезические движения на гиперповерхности постоянной потенциальной энергии». Журнал химической физики. 135 (10): 104101. Дои:10.1063/1.3623585. ISSN  0021-9606.

• Спивак Михаил (1999), Всестороннее введение в дифференциальную геометрию (Том 2), Хьюстон, Техас: опубликовать или погибнуть, ISBN  978-0-914098-71-3

дальнейшее чтение

• Адлер, Рональд; Базен, Морис; Шиффер, Менахем (1975), Введение в общую теорию относительности (2-е изд.), Нью-Йорк: Макгроу-Хилл, ISBN  978-0-07-000423-8. См. Главу 2.
• Авраам, Ральф Х.; Марсден, Джеррольд Э. (1978), Основы механики, Лондон: Бенджамин-Каммингс, ISBN  978-0-8053-0102-1. См. Раздел 2.7.
• Йост, Юрген (2002), Риманова геометрия и геометрический анализ, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-42627-1. См. Раздел 1.4.
• Кобаяси, Шошичи; Номидзу, Кацуми (1996), Основы дифференциальной геометрии, Vol. 1 (Новое издание), Wiley-Interscience, ISBN  0-471-15733-3.
• Ландау, Л.; Лифшиц, Э. (1975), Классическая теория поля, Оксфорд: Пергамон, ISBN  978-0-08-018176-9. См. Раздел 87.
• Миснер, Чарльз В.; Торн, Кип; Уилер, Джон Арчибальд (1973), Гравитация, У. Х. Фриман, ISBN  978-0-7167-0344-0
• Ортин, Томас (2004), Гравитация и струны, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-82475-0. Обратите особое внимание на страницы 7 и 10.
• Волков, Ю.А. (2001) [1994], «Геодезическая линия», Энциклопедия математики, EMS Press.
• Вайнберг, Стивен (1972), Гравитация и космология: принципы и приложения общей теории относительности, Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья, ISBN  978-0-471-92567-5. См. Главу 3.

внешняя ссылка

• Возвращение к геодезии - Введение в геодезические, включая два способа вывода уравнения геодезических с приложениями в геометрии (геодезические на сфере и на тор ), механика (брахистохрона ) и оптики (световой пучок в неоднородной среде).
• Геодезические на параметрической поверхности - шалфей взаимодействуют - Интерактивный SageMath рабочий лист для расчета и иллюстрации геодезических на параметрических поверхностях.
• Полностью геодезическое подмногообразие в Manifold Atlas