Циклический и разделяющий вектор - Cyclic and separating vector

В математике понятие циклический и разделяющий вектор важно в теории алгебры фон Неймана,[1][2] и в частности в Теория Томиты – Такесаки. Родственное понятие - это вектор, который циклический для данного оператора. Существование циклических векторов гарантируется Конструкция Гельфанда – Наймарка – Сигала (ГНС).

Определения

Учитывая Гильбертово пространство ЧАС и линейное пространство А из ограниченные линейные операторы в ЧАС, элемент Ω из ЧАС как говорят циклический за А если линейное пространство АΩ = {аΩ: а ∈ А} плотно по норме в ЧАС. Элемент Ω называется разделение если аΩ = 0 с а в А подразумевает а = 0.

  • Любой элемент Ω из ЧАС определяет полунорма п на A пользователем п(а) = ||аΩ ||. Сказать, что Ω разделяет, равносильно утверждению, что п на самом деле норма.
  • Если Ω циклическое при А то он разделяющий для коммутанта A ′, какой алгебра фон Неймана из всех ограниченные операторы в ЧАС которые коммутируют со всеми операторамиА. Действительно, если а принадлежит A ′ и удовлетворяет аΩ = 0, то для всех б в А что 0 =баΩ =abΩ. Потому что набор бΩ с б в А плотно в ЧАС это означает, что а обращается в нуль на плотном подпространстве ЧАС. По непрерывности это означает, что а везде пропадает. Следовательно, Ω является разделяющей для A ′.

Следующий более сильный результат имеет место, если А это *-алгебра (алгебра, замкнутая относительно взятия примыкает ) и содержит тождественный оператор 1. Доказательство см. В предложении 5 главы 1 части I статьи.[2]

Предложение Если А это *-алгебра из ограниченные линейные операторы в ЧАС и 1 принадлежит А то Ω циклично для А тогда и только тогда, когда он является разделяющим для коммутанта A ′.

Особый случай возникает, когда А это алгебра фон Неймана. Тогда вектор Ω, циклический и разделяющий при А также циклический и разделяющий для коммутанта A ′

Положительные линейные функционалы

А положительный линейный функционал ω на *-алгебра А как говорят верный если ω(а) = 0, где а это положительный элемент из А, подразумеваета = 0.

Каждый элемент Ω множества ЧАС определяет положительный линейный функционал ωΩ на *-алгебра А из ограниченные линейные операторы в ЧАС отношением ωΩ(а) = (аΩ, Ω) для всех а в А. Если ωΩ определяется таким образом и А это C * -алгебра тогда ωΩ является точным тогда и только тогда, когда вектор Ω является разделяющим для А. Обратите внимание, что алгебра фон Неймана частный случай C * -алгебра.

Предложение Позволять φ и ψ быть элементами ЧАС которые являются циклическими для А. Предположить, что ωφ = ωψ. Тогда существует изометрия U в коммутаторе A ′ такой, чтоφ = Uψ.

Рекомендации

  1. ^ Диксмье, Жак (1957). Les algèbres d'opérateurs dans l'espace hilbertien: algèbres de von Neumann. Готье-Виллар.
  2. ^ а б Диксмье, Жак (1981). алгебры фон Неймана. Северная Голландия.