Конструкция Гельфанда – Наймарка – Сигала - Gelfand–Naimark–Segal construction

В функциональный анализ, дисциплина внутри математика, учитывая C * -алгебра А, то Конструкция Гельфанда – Наймарка – Сигала устанавливает соответствие между циклическими * -представлениями А и некоторые линейные функционалы на А (называется состояния). Соответствие показано явным построением * -представления из состояния. Он назван в честь Израиль Гельфанд, Марк Наймарк, и Ирвинг Сигал.

Государства и представительства

А *-представление из C * -алгебра А на Гильбертово пространство ЧАС это отображение π из А в алгебру ограниченные операторы на ЧАС такой, что

• π - это кольцевой гомоморфизм который несет инволюция на А в инволюцию на операторах
• π - это невырожденный, то есть пространство векторов π (Икс) ξ плотно как Икс проходит через А и ξ пробегает ЧАС. Обратите внимание, что если А имеет тождество, невырожденность означает, что в точности π сохраняет единицу, т.е. π отображает тождество А оператору идентификации на ЧАС.

А государственный на C * -алгебре А это положительный линейный функционал ж нормы 1. Если А имеет мультипликативный единичный элемент, это условие эквивалентно ж(1) = 1.

Для представления π C * -алгебры А в гильбертовом пространстве ЧАС, элемент ξ называется циклический вектор если набор векторов

${\displaystyle \{\pi (x)\xi :x\in A\}}$

плотная норма в ЧАС, в этом случае π называется циклическое представление. Любой ненулевой вектор неприводимое представление циклический. Однако ненулевые векторы в циклическом представлении могут не быть циклическими.

Конструкция GNS

Пусть π * -представление C * -алгебры А на гильбертовом пространстве ЧАС и ξ - циклический вектор единичной нормы для π. потом

${\displaystyle a\mapsto \langle \pi (a)\xi ,\xi \rangle }$

это состояние А.

И наоборот, каждое состояние А можно рассматривать как векторное состояние как указано выше, при подходящем каноническом представлении.

Теорема.^[1] Учитывая состояние ρ Асуществует * -представление π А действующий в гильбертовом пространстве ЧАС с выделенным единичным циклическим вектором ξ таким, что ${\displaystyle \rho (a)=\langle \pi (a)\xi ,\xi \rangle }$ для каждого а в А.

Доказательство.

1) Построение гильбертова пространства. ЧАС

Определить на А полуопределенный полуторалинейная форма

${\displaystyle \langle a,b\rangle =\rho (b^{*}a),\;a,b\in A.}$

Посредством Неравенство Коши – Шварца, вырожденные элементы, а в А удовлетворяющий ρ (а * а) = 0, образуют векторное подпространство я из А. Используя C * -алгебраические аргументы, можно показать, что я это левый идеал из А (известное как левое ядро ​​ρ). Фактически, это наибольший левый идеал в нулевом пространстве ρ. В факторное пространство из А векторным подпространством я внутреннее пространство продукта с внутренним продуктом, определяемым${\displaystyle \langle a+I,b+I\rangle :=\rho (b^{*}a),\;a,b\in A}$. В Завершение Коши из А/я в норме, индуцированной этим скалярным произведением, является гильбертовым пространством, которое мы обозначим через ЧАС.

2) Построение представления π

Определим действие π оператора А на А/я по π (а)(б+я) = ab+я из А на А/я. Тот же аргумент, показывающий я является левым идеалом, также следует, что π (а) - ограниченный оператор на А/я и поэтому может быть однозначно расширен до завершения. Разбирая определение прилегающий оператора в гильбертовом пространстве π оказывается * -сохраняющим. Это доказывает существование * -представления π.

3) Идентифицируя циклический вектор единичной нормы ξ

Если А имеет мультипликативную единицу 1, то сразу следует, что класс эквивалентности ξ в гильбертовом пространстве GNS ЧАС содержащий 1 - циклический вектор для приведенного выше представления. Если А не является единым, возьмите приблизительная личность {е_λ} за А. Поскольку положительные линейные функционалы ограничены, классы эквивалентности сети {е_λ} сходится к некоторому вектору ξ в ЧАС, который является циклическим вектором для π.

Из определения скалярного произведения на гильбертовом пространстве GNS ясно ЧАС что состояние ρ может быть восстановлено как векторное состояние на ЧАС. Это доказывает теорему.

Метод, используемый для получения * -представления из состояния А в доказательстве приведенной теоремы называется Строительство ГНС.Для состояния C * -алгебры Асоответствующее представление ГНС по существу однозначно определяется условием ${\displaystyle \rho (a)=\langle \pi (a)\xi ,\xi \rangle }$ как показано в следующей теореме.

Теорема.^[2] Учитывая состояние ρ А, пусть π, π '- * -представления А на гильбертовых пространствах ЧАС, ЧАС' соответственно, каждый с циклическими векторами единичной нормы ξ ∈ ЧАС, ξ '∈ ЧАС' такой, что ${\displaystyle \rho (a)=\langle \pi (a)\xi ,\xi \rangle =\langle \pi '(a)\xi ',\xi '\rangle }$ для всех ${\displaystyle a\in A}$. Тогда π, π '- унитарно эквивалентные * -представления, т. Е. Существует унитарный оператор U из ЧАС к ЧАС' такое, что π '(а) = Uπ (а) U * для всех а в А. Оператор U реализующий унитарные отображения эквивалентности π (а) ξ в π '(а) ξ 'для всех а в А.

Значение конструкции GNS

Конструкция GNS лежит в основе доказательства Теорема Гельфанда – Наймарка. характеризуя C * -алгебры как алгебры операторов. C * -алгебра имеет достаточно много чистых состояний (см. Ниже), так что прямая сумма соответствующих неприводимых GNS-представлений равна верный.

Прямая сумма соответствующих GNS-представлений всех состояний называется универсальное представительство из А. Универсальное представление А содержит каждое циклическое представление. Поскольку каждое * -представление является прямой суммой циклических представлений, отсюда следует, что каждое * -представление А является прямым слагаемым некоторой суммы копий универсального представления.

Если Φ - универсальное представление C * -алгебры А, замыкание Φ (А) в слабой операторной топологии называется охватывающая алгебра фон Неймана из А. Его можно идентифицировать с двойным двойным А **.

Несводимость

Также важно соотношение между несводимый * -представления и крайние точки выпуклого множества состояний. Представление π на ЧАС неприводимо тогда и только тогда, когда нет замкнутых подпространств в ЧАС которые инвариантны относительно всех операторов π (Икс) Кроме как ЧАС само и тривиальное подпространство {0}.

Теорема. Множество состояний C * -алгебры А с единичным элементом представляет собой компактный выпуклый набор под топологией weak- *. В целом (независимо от того, А имеет единичный элемент) множество положительных функционалов нормы ≤ 1 - компактное выпуклое множество.

Оба этих результата немедленно следуют из Теорема Банаха – Алаоглу.

В унитальном коммутативном случае для C * -алгебры C(Икс) непрерывных функций на некотором компакте Икс, Теорема о представлении Рисса – Маркова – Какутани говорит, что положительные функционалы нормы ≤ 1 - это в точности положительные борелевские меры на Икс с полной массой ≤ 1. Из Теорема Крейна – Мильмана что экстремальные состояния являются мерой точечной массы Дирака.

С другой стороны, представление C(Икс) неприводимо тогда и только тогда, когда оно одномерно. Следовательно, GNS-представление C(Икс), соответствующая мере μ, неприводима тогда и только тогда, когда μ - экстремальное состояние. На самом деле это верно для C * -алгебр в целом.

Теорема. Позволять А - C * -алгебра. Если π - * -представление А на гильбертовом пространстве ЧАС с циклическим вектором единичной нормы ξ, то π неприводимо тогда и только тогда, когда соответствующее состояние ж является крайняя точка выпуклого множества положительных линейных функционалов на А нормы ≤ 1.

Чтобы доказать этот результат, сначала отметим, что представление неприводимо тогда и только тогда, когда коммутант из π (А), обозначаемый π (А) ', состоит из скалярных кратных единицы.

Любые положительные линейные функционалы грамм на А доминировать над ж имеет форму

${\displaystyle g(x^{*}x)=\langle \pi (x)\xi ,\pi (x)T_{g}\,\xi \rangle }$

для некоторого положительного оператора Т_грамм в π (А) 'с 0 ≤ Т ≤ 1 в порядке оператора. Это версия Теорема Радона – Никодима.

Для таких грамм, можно написать ж как сумму положительных линейных функционалов: ж = грамм + грамм' . Итак, π унитарно эквивалентно подпредставлению π_грамм ⊕ π_грамм' . Это показывает, что π неприводимо тогда и только тогда, когда любое такое π_грамм унитарно эквивалентно π, т. е. грамм является скалярным кратным ж, что доказывает теорему.

Экстремальные состояния обычно называют чистые состояния. Отметим, что состояние является чистым тогда и только тогда, когда оно экстремально в выпуклом множестве состояний.

Приведенные выше теоремы для C * -алгебр справедливы в более общем смысле в контексте B * -алгебры с примерным тождеством.

Обобщения

В Теорема факторизации Стайнспринга характеризуя полностью положительные карты является важным обобщением конструкции GNS.

История

Статья Гельфанда и Наймарка по теореме Гельфанда – Наймарка была опубликована в 1943 году.^[3] Сигал распознал конструкцию, которая подразумевается в этой работе, и представил ее в отточенной форме.^[4]

В своей статье 1947 года Сигал показал, что для любой физической системы, которая может быть описана алгеброй операторов в гильбертовом пространстве, достаточно рассмотреть несводимый представления C * -алгебры. В квантовой теории это означает, что C * -алгебра порождается наблюдаемыми. Это, как указал Сигал, было показано ранее Джон фон Нейман только для частного случая нерелятивистской теории Шредингера-Гейзенберга.^[5]

Смотрите также

• Циклический и разделяющий вектор

Рекомендации

• Уильям Арвесон, Приглашение в C * -алгебру, Springer-Verlag, 1981 г.
• Кадисон, Ричард, Основы теории операторных алгебр. I: Элементарная теория, Американское математическое общество. ISBN  978-0821808191.
• Жак Диксмье, Les C * -algèbres et leurs Репрезентации, Готье-Виллар, 1969.
  Английский перевод: Диксмье, Жак (1982). C * -алгебры. Северная Голландия. ISBN  0-444-86391-5.
• Томас Тиммерманн, Приглашение к квантовым группам и двойственности: от алгебр Хопфа до мультипликативных унитаров и не только, Европейское математическое общество, 2008 г., ISBN  978-3-03719-043-2 – Приложение 12.1, раздел: Конструкция ГНС (с. 371)
• Стефан Вальдманн: К теории представлений квантование деформации, В: Деформационное квантование: материалы совещания физиков-теоретиков и математиков, Страсбург, 31 мая - 2 июня 2001 г. (Исследования по генеративной грамматике) , Грюйтер, 2002, ISBN  978-3-11-017247-8, п. 107–134 - раздел 4. Конструкция ГНС (с. 113)
• Дж. Джакетта, Л. Манджиаротти, Г. Сарданашвили (2005). Геометрические и алгебраические топологические методы в квантовой механике. World Scientific. ISBN  981-256-129-3.

Встроенные ссылки

1. Кадисон, Р.В., Теорема 4.5.2, Основы теории операторных алгебр, т. I: Элементарная теория, Американское математическое общество. ISBN  978-0821808191
2. Кадисон, Р.В., Предложение 4.5.3, Основы теории операторных алгебр, т. I: Элементарная теория, Американское математическое общество. ISBN  978-0821808191
3. И. М. Гельфанд, М. А. Наймарк (1943). «О вложении нормированных колец в кольцо операторов в гильбертовом пространстве». Математический сборник. 12 (2): 197–217. (также Google Книги, см. стр. 3–20)
4. Ричард В. Кадисон: Замечания к теореме Гельфанда – Неймарка. В: Роберт С. Доран (ред.): C * -Алгебры: 1943–1993. Празднование пятидесятилетия, Специальная сессия AMS, посвященная первым пятидесятилетию теории C * -алгебры, 13–14 января 1993 г., Сан-Антонио, Техас, Американское математическое общество, стр. 21–54, ISBN  0-8218-5175-6 (доступно в Google Книгах, см. стр.21 и след.)
5. И. Э. Сегал (1947). «Неприводимые представления операторных алгебр» (PDF). Бык. Являюсь. Математика. Soc. 53: 73–88. Дои:10.1090 / s0002-9904-1947-08742-5.