Циклическая гомология - Cyclic homology

В некоммутативная геометрия и смежные разделы математики, циклическая гомология и циклические когомологии являются теориями некоторых (ко) гомологий для ассоциативные алгебры которые обобщают (ко) гомологии де Рама многообразий. Эти понятия были независимо введены Борис Цыган (гомология)^[1] и Ален Конн (когомологии)^[2] в 1980-е гг. Эти инварианты имеют много интересных отношений с несколькими более старыми разделами математики, включая теорию де Рама, (ко) гомологии Хохшильда, групповые когомологии и K-теория. В развитие теории входят: Макс Каруби, Юрий Львович Далецкий, Борис Фейгин, Жан-Люк Брылински, Мариуш Водзицки, Жан-Луи Лоде, Виктор Нистор, Дэниел Квиллен, Иоахим Кунц, Рышард Гнездо, Ральф Майер и Майкл Пушниг.

Подсказки по поводу определения

Первое определение циклических гомологий кольца А над полем характеристика ноль, обозначенный

HC_п(А) или же ЧАС_п^λ(А),

осуществляется посредством явного цепной комплекс связанный с Гомологический комплекс Хохшильда из А. Позднее Конн нашел более категоричный подход к циклическим гомологиям, используя понятие циклический объект в абелева категория, что аналогично понятию симплициальный объект. Таким образом, циклические гомологии (и когомологии) можно интерпретировать как производный функтор, который можно явно вычислить с помощью функции (б, B) -бикомплекс.

Одна из ярких черт циклических гомологий - это наличие длинная точная последовательность соединяющие Гохшильда и циклические гомологии. Эта длинная точная последовательность называется последовательностью периодичности.

Случай коммутативных колец

Циклические когомологии коммутативной алгебры А регулярных функций на аффинное алгебраическое многообразие над полем k нулевой характеристики можно вычислить в терминах Гротендик с алгебраический комплекс де Рама.^[3] В частности, если сорт V= Спецификация А гладкие циклические когомологии А выражаются через когомологии де Рама из V следующее:

${\displaystyle HC_{n}(A)\simeq \Omega ^{n}\!A/d\Omega ^{n-1}\!A\oplus \bigoplus _{i\geq 1}H_{DR}^{n-2i}(V).}$

Эта формула предлагает способ определения когомологий де Рама для «некоммутативного спектра» некоммутативной алгебры А, который был широко разработан Конном.

Варианты циклических гомологий

Одним из мотивов циклических гомологий была потребность в приближении K-теория который определяется, в отличие от K-теории, как гомологии цепной комплекс. Циклические когомологии на самом деле наделены спариванием с K-теорией, и можно надеяться, что это спаривание будет невырожденным.

Было определено несколько вариантов, цель которых - лучше соответствовать алгебрам с топологией, например Алгебры Фреше, ${\displaystyle C^{*}}$-алгебры и т. д. Причина в том, что K-теория намного лучше ведет себя на топологических алгебрах, таких как Банаховы алгебры или же C * -алгебры чем на алгебрах без дополнительной структуры. Поскольку, с другой стороны, циклические гомологии вырождаются на C * -алгебрах, возникла потребность в определении модифицированных теорий. Среди них есть целые циклические гомологии, обусловленные Ален Конн, аналитические циклические гомологии Ральфа Мейера^[4] или асимптотические и локальные циклические гомологии из-за Майкла Пушнига.^[5] Последний очень близок к K-теория поскольку он наделен бивариантным Черн персонаж из КК-теория.

Приложения

Одно из приложений циклических гомологий - найти новые доказательства и обобщения Теорема Атьи-Зингера об индексе. Среди этих обобщений есть теоремы об индексе, основанные на спектральных тройках^[6] и квантование деформации из Пуассоновы структуры.^[7]

An эллиптический оператор D на компактном гладком многообразии определяет класс в K гомологиях. Одним из инвариантов этого класса является аналитический индекс оператора. Это рассматривается как спаривание класса [D] с элементом 1 в HC (C (M)). Циклические когомологии можно рассматривать как способ получения высших инвариантов эллиптических дифференциальных операторов не только для гладких многообразий, но и для слоений, орбифолды, и особые пространства, которые появляются в некоммутативной геометрии.

Вычисления алгебраической K-теории

В круговая карта следа это карта из алгебраическая K-теория (кольца А, скажем), к циклическим гомологиям:

${\displaystyle tr:K_{n}(A)\to HC_{n-1}(A).}$

В некоторых ситуациях это отображение можно использовать для вычисления K-теории с помощью этого отображения. Новаторским результатом в этом направлении является теорема Гудвилли (1986): он утверждает, что карта

${\displaystyle K_{n}(A,I)\otimes \mathbf {Q} \to HC_{n-1}(A,I)\otimes \mathbf {Q} }$

между относительной K-теорией А по отношению к нильпотентный двусторонний идеал я относительной циклической гомологии (измерение разницы между K-теорией или циклической гомологией А и из А/я) является изоморфизмом для п≥1.

Хотя результат Гудвилли справедлив для произвольных колец, быстрое сокращение показывает, что, по сути, это всего лишь утверждение о ${\displaystyle A\otimes _{\mathbf {Z} }\mathbf {Q} }$. Для колец, не содержащих Q, циклические гомологии должны быть заменены топологическими циклическими гомологиями, чтобы сохранить тесную связь с K-теорией. (Если Q содержится в А, то циклические гомологии и топологические циклические гомологии А согласен.) Это соответствует тому факту, что (классический) Гомологии Хохшильда менее хорошо себя ведет, чем топологические гомологии Хохшильда для колец, не содержащих Q. Клаузен, Мэтью и Морроу (2018) доказал далеко идущее обобщение результата Гудвилли, заявив, что для коммутативного кольца А таким образом Гензелева лемма относительно идеального яотносительная K-теория изоморфна относительным топологическим циклическим гомологиям (без тензорной Q). Их результат также включает теорему Габбер (1992), утверждая, что в этой ситуации относительный спектр K-теории по модулю целого п который обратим в А исчезает. Жардин (1993) использовал результат Габбера и Суслин жесткость опровергнуть вычисление Квилленом K-теории конечные поля.

Смотрите также

• Некоммутативная геометрия

Примечания

1. Борис Львович Цыган. Гомологии матричных алгебр Ли над кольцами и Гомологии Хохшильда. Успехи матем. Наук, 38 (2 (230)): 217–218, 1983. Перевод на русский язык. Математика. Обзор 38 (2) (1983), 198–199.
2. Ален Конн. Некоммутативная дифференциальная геометрия. Inst. Hautes Études Sci. Publ. Матем., 62: 257–360, 1985.
3. Борис Л. Фегин и Борис Л. Цыган. Аддитивная K-теория и кристаллические когомологии. Функц. Анальный. и приложение, 19 (2): 52–62, 96, 1985.
4. Ральф Мейер. Аналитические циклические когомологии. Кандидатская диссертация, Мюнстерский университет, 1999 г.
5. Майкл Пушниг. Функторы диффеотопии инд-алгебр и локальные циклические когомологии. Док. Математика, 8: 143–245 (электрон.), 2003.
6. Ален Конн и Анри Московичи. Формула локального индекса в некоммутативной геометрии. Геом. Функц. Анализ., 5 (2): 174–243, 1995.
7. Рышард Гнездо и Борис Цыган. Теорема об алгебраическом индексе. Comm. Математика. Phys., 172 (2): 223–262, 1995.

Рекомендации

• Жардин, Дж. Ф. (1993), "Повторный визит К-теории конечных полей", K-теория, 7 (6): 579–595, Дои:10.1007 / BF00961219, МИСТЕР  1268594
• Лодей, Жан-Луи (1998), Циклические гомологии, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 301, Спрингер, ISBN  978-3-540-63074-6
• Габбер, Офер (1992), "K-теория гензелевых локальных колец и гензелевых пар », Алгебраический K-теория, коммутативная алгебра и алгебраическая геометрия (Санта Маргерита Лигуре, 1989), Contemp. Математика, 126, AMS, стр. 59–70.
• Клаузен, Дастин; Мэтью, Ахил; Морроу, Мэтью (2018), "K-теория и топологические циклические гомологии гензелевых пар", arXiv:1803.10897 [math.KT ]
• Гудвилли, Томас Г. (1986), "Относительная алгебраическая K-теория и циклические гомологии », Анналы математики, Вторая серия, 124 (2): 347–402, Дои:10.2307/1971283, JSTOR  1971283, МИСТЕР  0855300
• Розенберг, Джонатан (1994), Алгебраическая K-теория и ее приложения, Тексты для выпускников по математике, 147, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-94248-3, МИСТЕР  1282290, Zbl  0801.19001. Опечатки

внешняя ссылка

• «Циклические когомологии», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Личное примечание о гомологии Хохшильда и циклических