Некоммутативная геометрия - Noncommutative geometry

Некоммутативная геометрия (NCG) является ветвью математика занимается геометрическим подходом к некоммутативные алгебры, а с построением пробелы которые локально представлены некоммутативными алгебрами функций (возможно, в некотором обобщенном смысле). Некоммутативная алгебра - это ассоциативная алгебра в котором умножение не коммутативный, то есть для которого не всегда равно ; или в более общем плане алгебраическая структура в котором один из главных бинарные операции не коммутативен; один также позволяет дополнительные структуры, например топология или же норма, которые, возможно, переносятся некоммутативной алгеброй функций.

Мотивация

Основная мотивация - распространить коммутативную двойственность между пространствами и функциями на некоммутативную установку. В математике пробелы, которые имеют геометрическую природу, могут быть связаны с числовыми функции на них. В общем, такие функции образуют коммутативное кольцо. Например, можно взять кольцо C(Икс) из непрерывный сложный -значные функции на топологическое пространство Икс. Во многих случаях (например, если Икс это компактный Пространство Хаусдорфа ), мы можем восстановить Икс из C(Икс), поэтому имеет смысл сказать, что Икс имеет коммутативная топология.

В частности, в топологии компактный Хаусдорф топологические пространства могут быть восстановлены из Банахова алгебра функций на пространстве (Гельфанд – Наймарк ). В коммутативном алгебраическая геометрия, алгебраические схемы являются локально первичными спектрами коммутативных колец с единицей (А. Гротендик ), а схемы реконструируются из категорий квазикогерентных пучков модулей на них (П. Габриэль –А. Розенберг). За Топологии Гротендика, когомологические свойства узла являются инвариантами соответствующей категории пучков множеств, рассматриваемых абстрактно как топос (А. Гротендик). Во всех этих случаях пространство восстанавливается из алгебры функций или ее категорированной версии - некоторых категория шкивов на этом пространстве.

Функции в топологическом пространстве можно умножать и складывать поточечно, поэтому они образуют коммутативную алгебру; на самом деле эти операции локальны в топологии базового пространства, следовательно, функции образуют пучок коммутативных колец над базовым пространством.

Мечта некоммутативной геометрии состоит в том, чтобы обобщить эту двойственность на двойственность между некоммутативными алгебрами, или пучками некоммутативных алгебр, или пучкообразными некоммутативными алгебраическими или операторно-алгебраическими структурами, и геометрическими объектами определенных видов, и дать взаимодействие между алгебраическими и алгебраическими объектами. их геометрическое описание через эту двойственность.

Учитывая, что коммутативные кольца соответствуют обычным аффинным схемам, а коммутативные C * -алгебры на обычные топологические пространства, расширение на некоммутативные кольца и алгебры требует нетривиального обобщения топологические пространства как «некоммутативные пространства». По этой причине говорят о некоммутативная топология, хотя этот термин имеет и другие значения.

Приложения в математической физике

Некоторые приложения в физика элементарных частиц описаны в записях Некоммутативная стандартная модель и Некоммутативная квантовая теория поля. Внезапный рост интереса к некоммутативной геометрии в физике последовал после размышлений о ее роли в физике. М-теория Сделано в 1997 году.[1]

Мотивация из эргодической теории

Некоторые из теории, разработанной Ален Конн обработка некоммутативной геометрии на техническом уровне имеет корни в более старых попытках, в частности в эргодическая теория. Предложение Джордж Макки создать виртуальная подгруппа теория, относительно которой эргодические групповые действия станет однородные пространства расширенного типа, к настоящему моменту отнесен к категории.

Некоммутативные C * -алгебры, алгебры фон Неймана

(Формальные двойники) некоммутативный C * -алгебры теперь часто называют некоммутативными пространствами. Это по аналогии с Представительство Гельфанда, что показывает, что коммутативный C * -алгебры двойной к локально компактный Хаусдорфовы пространства. Вообще говоря, любой C * -алгебре можно сопоставить S топологическое пространство Ŝ; видеть спектр C * -алгебры.

Для двойственность между σ-конечным измерять пространства и коммутативный алгебры фон Неймана, некоммутативный алгебры фон Неймана называются некоммутативный измерять пространства.

Некоммутативные дифференцируемые многообразия

Гладкий Риманово многообразие M это топологическое пространство с множеством дополнительных структур. Из своей алгебры непрерывных функций C(M) мы только восстанавливаемся M топологически. Алгебраический инвариант, восстанавливающий риманову структуру, является спектральная тройка. Он построен из гладкого векторного расслоения E над M, например расслоение внешней алгебры. Гильбертово пространство L2(M, E) квадратных интегрируемых сечений E несет представление о C(M) операторами умножения, и мы рассматриваем неограниченный оператор D в L2(M, E) с компактной резольвентой (например, оператор подписи ), такие что коммутаторы [D, ж] ограничены всякий раз, когда ж гладко. Недавняя глубокая теорема[2] утверждает, что M как риманово многообразие можно восстановить из этих данных.

Это наводит на мысль, что можно определить некоммутативное риманово многообразие как спектральная тройка (А, ЧАС, D), состоящий из представления C * -алгебры А в гильбертовом пространстве ЧАСвместе с неограниченным оператором D на ЧАС, с компактной резольвентой, такой что [D, а] ограничен для всех а в некоторой плотной подалгебре А. Исследования спектральных троек ведутся очень активно, и было построено много примеров некоммутативных многообразий.

Некоммутативные аффинные и проективные схемы

По аналогии с двойственность между аффинные схемы и коммутативные кольца, определим категорию некоммутативные аффинные схемы как двойственный к категории ассоциативных колец с единицей. В этом контексте есть определенные аналоги топологии Зарисского, так что можно приклеивать такие аффинные схемы к более общим объектам.

Существуют также обобщения Конуса и Proj коммутативного градуированного кольца, имитирующие теорему Серр на Proj. А именно, категория квазикогерентных пучков O-модулей на Proj коммутативной градуированной алгебры эквивалентна категории градуированных модулей над кольцом, локализованных на подкатегории Серра градуированных модулей конечной длины; аналогичная теорема существует и для когерентных пучков, когда алгебра нётерова. Эта теорема расширяется до определения некоммутативная проективная геометрия к Майкл Артин и Дж. Дж. Чжан,[3] которые добавляют также некоторые общие теоретико-кольцевые условия (например, регулярность Артина – Шелтера).

Многие свойства проективных схем распространяются на этот контекст. Например, существует аналог знаменитого Двойственность Серра для некоммутативных проективных схем Артина и Чжана.[4]

А. Л. Розенберг создал довольно общее относительное понятие некоммутативная квазикомпактная схема (над базовой категорией), абстрагируя исследование Гротендика морфизмов схем и покрытий в терминах категорий квазикогерентных пучков и плоских функторов локализации.[5] Есть еще один интересный подход через теорию локализации, потому что Фред Ван Ойстэйен, Люка Уилларта и Алена Вершорена, где основной концепцией является схематическая алгебра.[6][7]

Инварианты некоммутативных пространств

Некоторые из мотивирующих вопросов теории связаны с расширением известных топологические инварианты формальным двойникам некоммутативных (операторных) алгебр и другим заменам и кандидатам в некоммутативные пространства. Одна из основных отправных точек Ален Конн Направление в некоммутативной геометрии - это открытие им новой теории гомологии, связанной с некоммутативными ассоциативными алгебрами и некоммутативными операторными алгебрами, а именно: циклическая гомология и его связь с алгебраической K-теорией (прежде всего через отображение характеров Конна – Черна).

Теория характеристические классы гладких многообразий расширен до спектральных троек с использованием инструментов оператора K-теория и циклические когомологии. Несколько обобщений ставшего классическим индексные теоремы позволяют эффективно извлекать числовые инварианты из спектральных троек. Фундаментальный характеристический класс в циклических когомологиях Коцикл JLO, обобщает классический Черн персонаж.

Примеры некоммутативных пространств

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Конн, Ален; Дуглас, Майкл Р.; Шварц, Альберт (1998-02-05). «Некоммутативная геометрия и теория матриц». Журнал физики высоких энергий. ООО "Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа". 1998 (02): 003–003. arXiv:hep-th / 9711162. Дои:10.1088/1126-6708/1998/02/003. ISSN  1029-8479.
  2. ^ Конн, Ален, О спектральной характеризации многообразий, arXiv: 0810.2088v1
  3. ^ Артин, М .; Чжан, Дж. Дж. (1994). «Некоммутативные проективные схемы». Успехи в математике. Elsevier BV. 109 (2): 228–287. Дои:10.1006 / aima.1994.1087. ISSN  0001-8708.
  4. ^ Екутиели, Амнон; Чжан, Джеймс Дж. (1 марта 1997 г.). «Двойственность Серра для некоммутативных проективных схем». Труды Американского математического общества. Американское математическое общество (AMS). 125 (03): 697–708. Дои:10.1090 / s0002-9939-97-03782-9. ISSN  0002-9939.
  5. ^ А. Л. Розенберг, Некоммутативные схемы, Compositio Mathematica 112 (1998) 93--125, Дои; Базовые пространства некоммутативных схем, препринт MPIM2003-111, dvi, пс; ИИГС лекция Некоммутативные схемы и пространства (Февраль 2000 г.): видео
  6. ^ Фредди ван Ойстэйен, Алгебраическая геометрия ассоциативных алгебр, ISBN  0-8247-0424-X - Нью-Йорк: Деккер, 2000. - 287 с. - (Монографии и учебники по чистой и прикладной математике, 232)
  7. ^ Ван Ойстэйен, Фред; Уилларт, Люк (1995). «Топология Гротендика, когерентные пучки и теорема Серра для схематических алгебр». Журнал чистой и прикладной алгебры. Elsevier BV. 104 (1): 109–122. Дои:10.1016/0022-4049(94)00118-3. HDL:10067/124190151162165141. ISSN  0022-4049.
  8. ^ Снайдер, Хартланд С. (1947-01-01). «Квантованное пространство-время». Физический обзор. Американское физическое общество (APS). 71 (1): 38–41. Дои:10.1103 / Physrev.71.38. ISSN  0031-899X.

Рекомендации

дальнейшее чтение

внешняя ссылка