Дивизионное кольцо - Division ring

В абстрактная алгебра, а делительное кольцо, также называемый тело, это звенеть в котором разделение возможно. В частности, это ненулевой звенеть^[1] в котором каждый ненулевой элемент а имеет мультипликативный обратный, т.е. элемент Икс с а·Икс = Икс·а = 1. Другими словами, кольцо является делительным кольцом тогда и только тогда, когда группа единиц равен набору всех ненулевых элементов. Делительное кольцо - это разновидность некоммутативное кольцо при более свободном определении, где некоммутативное кольцо относится к кольцам, которые не обязательно коммутативный.

Делительные кольца отличаются от поля только в том, что их умножение не обязательно коммутативный. Однако по Маленькая теорема Веддерберна все конечные тела коммутативны и, следовательно, конечные поля. Исторически телесные кольца иногда назывались полями, а поля назывались «коммутативными полями».^[5]

Все делительные кольца простые, т.е. не имеют двусторонних идеальный Кроме нулевой идеал и сам.

Связь с полями и линейной алгеброй

Все поля являются делительными кольцами; более интересными примерами являются некоммутативные тела. Самый известный пример - кольцо кватернионы ЧАС. Если мы позволим только рациональный вместо настоящий коэффициентов в конструкциях кватернионов, получаем другое тело. В общем, если р кольцо и S это простой модуль над р, то по Лемма Шура, то кольцо эндоморфизмов из S это делительное кольцо;^[6] каждое делительное кольцо возникает таким образом из некоторого простого модуля.

Много линейная алгебра могут быть сформулированы и остаются правильными, поскольку модули над делительным кольцом D вместо векторные пространства над полем. При этом необходимо указать, рассматриваются ли правые или левые модули, и необходимо соблюдать осторожность при правильном различении левого и правого в формулах. Работая в координатах, элементы конечномерного правого модуля могут быть представлены векторами-столбцами, которые могут быть умножены справа на скаляры, а слева - на матрицы (представляющие линейные карты); для элементов конечномерного левого модуля должны использоваться векторы-строки, которые можно умножать слева на скаляры, а справа - на матрицы. Двойник правого модуля - это левый модуль, и наоборот. Транспонирование матрицы следует рассматривать как матрицу над противоположным делительным кольцом. D^op для правила (AB)^Т = B^ТА^Т чтобы оставаться в силе.

Каждый модуль над телом есть свободный; т.е. имеет основу, а все базы модуля иметь одинаковое количество элементов. Линейные отображения между конечномерными модулями над телом можно описать следующим образом: матрицы; тот факт, что линейные отображения по определению коммутируют со скалярным умножением, наиболее удобно представить в обозначениях, записав их на противоположный стороны векторов как скаляры. В Гауссово исключение алгоритм остается применимым. Ранг столбца матрицы - это размер правого модуля, сгенерированного столбцами, а ранг строки - это размер левого модуля, сгенерированного строками; то же доказательство, что и для случая векторного пространства, может использоваться, чтобы показать, что эти ранги одинаковы, и определить ранг матрицы.

На самом деле верно и обратное, и это дает характеристика делительных колец через их модульную категорию: Унитальное кольцо р является телом тогда и только тогда, когда каждое R-модуль является свободный.^[7]

В центр тела является коммутативным и, следовательно, полем.^[8] Следовательно, каждое делительное кольцо является алгебра с делением над его центром. Делительные кольца можно грубо классифицировать в зависимости от того, являются ли они конечномерными или бесконечномерными над их центрами. Первые называются центрально конечный и последний центрально бесконечный. Конечно, каждое поле одномерно над своим центром. Кольцо Гамильтоновы кватернионы образует 4-мерную алгебру над своим центром, которая изоморфна действительным числам.

Примеры

• Как отмечалось выше, все поля делительные кольца.
• В кватернионы образуют некоммутативное тело.
• Подмножество кватернионов а + би + cj + dk, так что а, б, c, и d принадлежат фиксированному подполю поля действительные числа, является некоммутативным телом. Когда это подполе является полем рациональное число, это делительное кольцо рациональные кватернионы.
• Позволять ${displaystyle sigma :mathbb {C} ightarrow mathbb {C} }$ быть автоморфизм поля ${displaystyle mathbb {C} }$. Позволять ${displaystyle mathbb {C} ((z,sigma ))}$ обозначим кольцо формальная серия Laurent с комплексными коэффициентами, при этом умножение определяется следующим образом: вместо того, чтобы просто позволять коэффициентам коммутировать непосредственно с неопределенными ${displaystyle z}$, за ${displaystyle alpha in mathbb {C} }$, определять ${displaystyle z^{i}alpha :=sigma ^{i}(alpha )z^{i}}$ для каждого индекса ${displaystyle iin mathbb {Z} }$. Если ${displaystyle sigma }$ является нетривиальным автоморфизмом сложные числа (Такие как спряжение ), то получившееся кольцо рядов Лорана является строго некоммутативным телом, известным как косое кольцо серии Laurent;^[9] если σ = я бы затем он показывает стандартное умножение формальных рядов. Эту концепцию можно обобщить на кольцо рядов Лорана над любым фиксированным полем ${displaystyle F}$, учитывая нетривиальную ${displaystyle F}$-автоморфизм ${displaystyle sigma }$.

Основные теоремы

Маленькая теорема Веддерберна: Все конечные тела коммутативны и, следовательно, конечные поля. (Эрнст Витт дал простое доказательство.)

Теорема Фробениуса: Единственными конечномерными ассоциативными алгебрами с делением над действительными числами являются сами числа, сложные числа, а кватернионы.

Связанные понятия

Делительные кольца раньше был в более раннем использовании назывались "полями". Во многих языках слово, означающее «тело», используется для делительных колец, в некоторых языках обозначает коммутативные или некоммутативные делительные кольца, в то время как в других специально обозначает коммутативные делительные кольца (то, что мы теперь называем полями на английском языке). Более полное сравнение - в статье Поле (математика).

Название «Косое поле» имеет интересный семантический особенность: модификатор (здесь "перекос") расширяется объем базового термина (здесь «поле»). Таким образом, поле представляет собой особый тип тела, и не все тела являются полями.

Предполагается, что тела и алгебры, обсуждаемые здесь, имеют ассоциативное умножение, неассоциативные алгебры с делением такой как октонионы также представляют интерес.

А ближнее поле представляет собой алгебраическую структуру, подобную телу, за исключением того, что она имеет только одну из двух законы распределения.

Примечания

1. В этой статье кольца имеют цифру 1.
2. 1948, Кольца и идеалы. Нортгемптон, Массачусетс, Математическая ассоциация Америки
3. Артин, Эмиль, 1965: Сборник статей. Под редакцией Сержа Ланга, Джона Т. Тейта. Нью-Йорк и др .: Springer
4. Брауэр, Ричард, 1932: Über die algebraische Struktur von Schiefkörpern. Journalfür die reine und angewandte Mathematik 166.4, 103-252
5. В области английского языка термины «тело» и «sfield» были упомянуты в 1948 году Нилом Маккой. ^[2] как «иногда используется в литературе», а с 1965 г. тело есть запись в OED. Немецкий термин Schiefkörper ^{[де ]} задокументировано, как предложение v.d. Waerden, в тексте 1927 г. Э. Артин,^[3] и использовался Э. Нётер как название лекции 1928 г.^[4]
6. Лам (2001), Лемма Шура, п. 33, в Google Книги.
7. Грийе, Пьер Антуан. Абстрактная алгебра. Vol. 242. Springer Science & Business Media, 2007; можно найти доказательство Вот
8. Простые коммутативные кольца - это поля. См. Лам (2001), простые коммутативные кольца, п. 39, в Google Книги и упражнение 3.4, п. 45, в Google Книги.
9. Лам (2001), стр. 10

Смотрите также

• Личность Хуа

Рекомендации

• Лам, Цит-Юэн (2001). Первый курс некоммутативных колец. Тексты для выпускников по математике. 131 (2-е изд.). Springer. ISBN  0-387-95183-0. Zbl  0980.16001.

дальнейшее чтение

• Кон, П. (1995). Искаженные поля. Теория общих делительных колец. Энциклопедия математики и ее приложений. 57. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-43217-0. Zbl  0840.16001.

внешняя ссылка

• Доказательство теоремы Веддерберна в Planet Math
• Абстрактная алгебра Грийе, раздел VIII.5, характеризация тел с помощью их свободных модулей.