Уравнение Дима - Dym equation

В математика, и в частности в теории солитоны, то Уравнение Дима (HD) является третьим порядком уравнение в частных производных

${\displaystyle u_{t}=u^{3}u_{xxx}.\,}$

Часто его записывают в эквивалентной форме для некоторой функции v одной пространственной переменной и времени

${\displaystyle v_{t}=(v^{-1/2})_{xxx}.\,}$

Уравнение Дима впервые появилось в Краскале ^[1] и приписывается к неопубликованной статье Гарри Дим.

Уравнение Дима представляет собой систему, в которой разброс и нелинейность соединены вместе. HD - это полностью интегрируемый нелинейный уравнение эволюции это может быть решено с помощью обратное преобразование рассеяния. Он подчиняется бесконечный количество законы сохранения; он не обладает Пенлеве недвижимость.

Уравнение Дима тесно связано с Уравнение Кортевега – де Фриза. К.С. Гарднер, Дж.М. Грин, Крускал, Р.М. Миура применил [уравнение Дима] к решению соответствующей задачи в Уравнение Кортевега – де Фриза. В Слабая пара уравнения Гарри Дима связано с Оператор Штурма – Лиувилля Преобразование Лиувилля преобразует этот оператор изоспектрально в Шредингер оператор.^[2]Таким образом, с помощью обратного преобразования Лиувилля решения уравнения Кортевега – де Фриза преобразуются в решения уравнения Дима. Явное решение уравнения Дима, справедливое на конечном интервале, находится с помощью автоматическогоПреобразование Бэклунда^[2]

${\displaystyle u(t,x)=\left[-3\alpha \left(x+4\alpha ^{2}t\right)\right]^{2/3}.}$

Примечания

1. Мартин Крускал Нелинейные волновые уравнения. В Юрген Мозер, редактор, Динамические системы, теория и приложения, том 38 конспектов лекций по физике, страницы 310–354. Гейдельберг. Springer. 1975 г.
2. Фриц Гестеси и Карл Унтеркофлер, Изоспектральные деформации для операторов типа Штурма – Лиувилля и Дирака и связанных с ними нелинейных эволюционных уравнений, Rep. Math. Phys. 31 (1992), 113–137.

Рекомендации

• Черчиньяни, Карло; Дэвид Х. Саттингер (1998). Пределы масштабирования и модели в физических процессах. Базель: Birkhäuser Verlag. ISBN  0-8176-5985-4.

• Kichenassamy, Satyanad (1996). Нелинейные волновые уравнения. Марсель Деккер. ISBN  0-8247-9328-5.

• Гестези, Фриц; Холден, Хельге (2003). Солитонные уравнения и их алгебро-геометрические решения. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-75307-4.

• Олвер, Питер Дж. (1993). Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям, 2-е изд.. Springer-Verlag. ISBN  0-387-94007-3.

• Василиу, П.Дж. (2001) [1994], «Уравнение Гарри Дима», Энциклопедия математики, EMS Press