Обратное преобразование рассеяния - Inverse scattering transform

В математика, то обратное преобразование рассеяния это метод решения некоторых нелинейных уравнения в частных производных. Это одно из самых важных достижений математической физики за последние 40 лет.^{[нужна цитата ]}. Метод является нелинейным аналогом и в некотором смысле обобщением преобразование Фурье, который сам применяется для решения многих линейных дифференциальных уравнений в частных производных. Название «метод обратной задачи» происходит от ключевой идеи восстановления временной эволюции потенциала из временной эволюции его данных рассеяния: обратное рассеяние относится к проблеме восстановления потенциала из его матрицы рассеяния, в отличие от прямого рассеяния. задача нахождения матрицы рассеяния по потенциалу.

Обратное преобразование рассеяния может применяться ко многим из так называемых точно решаемые модели, то есть полностью интегрируемый бесконечномерные системы.

Обзор

Обратное преобразование рассеяния было впервые введено Клиффордом С. Гарднером, Джоном М. Грином и Мартином Д. Крускалом и др. (1967, 1974 ) для Уравнение Кортевега – де Фриза, и вскоре распространился на нелинейное уравнение Шредингера, то Уравнение синус-Гордона, а Решетка Тоды уравнение. Позже он был использован для решения многих других уравнений, таких как Уравнение Кадомцева – Петвиашвили., то Уравнение Ишимори, то Уравнение Дима, и так далее. Еще одно семейство примеров представлено Уравнения Богомольного (для данной калибровочной группы и ориентированного риманова трехмерного пространства) ${displaystyle L ^ {2}}$ решения которых магнитные монополи.

Характерной чертой решений, полученных методом обратной задачи, является наличие солитоны, решения, похожие на частицы и волны, не имеющие аналогов для линейных уравнений в частных производных. Термин «солитон» возник из нелинейной оптики.

Обратную задачу рассеяния можно записать в виде Факторизация Римана – Гильберта проблема, по крайней мере, в случае уравнений одного измерения пространства. Эта формулировка может быть обобщена на дифференциальные операторы порядка больше 2, а также на периодические потенциалы. В более высоких размерностях пространства вместо этого возникает «нелокальная» проблема факторизации Римана – Гильберта (со сверткой вместо умножения) или проблема d-стержня.

Пример: уравнение Кортевега – де Фриза

Уравнение Кортевега – де Фриза является нелинейным, дисперсионным, эволюционным уравнение в частных производных для функция ты; из двух настоящий переменные, одна переменная-пробел Икс и одна временная переменная т :

{displaystyle u_ {t} -6uu_ {x} + u_ {xxx} = 0}

с ${displaystyle u_ {t}}$ и ${displaystyle u_ {x}}$ обозначающий частные производные относительно т и Икс, соответственно.

Чтобы решить начальную задачу для этого уравнения, где ${displaystyle u (x, 0)}$ известная функция Икс, этому уравнению ставится в соответствие уравнение Шредингера на собственные значения

{displaystyle psi _ {xx} -upsi = lambda psi.}

куда ${displaystyle psi}$ неизвестная функция т и Икс и ты является решением уравнения Кортевега – де Фриза, которое неизвестно, кроме ${displaystyle t = 0}$ . Постоянная ${displaystyle lambda}$ - собственное значение.

Из уравнения Шредингера получаем

{displaystyle u = {frac {1} {psi}} psi _ {xx} -lambda.}

Подставляя это в уравнение Кортевега – де Фриза и интегрируя, получаем уравнение

{displaystyle psi _ {t} + psi _ {xxx} -3 (u-lambda) psi _ {x} = Cpsi + Dpsi int {frac {1} {psi ^ {2}}} dx}

куда C и D являются константами.

Метод решения

Шаг 1. Определите нелинейное уравнение в частных производных. Обычно это достигается путем анализа физика изучаемой ситуации.

Шаг 2. Нанять рассеяние вперед. Это заключается в нахождении Слабая пара. Пара Лакса состоит из двух линейных операторы, ${displaystyle L}$ и ${displaystyle M}$ , так что ${displaystyle Lv = лямбда v}$ и ${displaystyle v_ {t} = Mv}$ . Чрезвычайно важно, чтобы собственное значение ${displaystyle lambda}$ быть независимым от времени; т.е. ${displaystyle lambda _ {t} = 0.}$ Необходимые и достаточные условия для этого определяются следующим образом: найдите время производная из ${displaystyle Lv = лямбда v}$ чтобы получить

{displaystyle L_ {t} v + Lv_ {t} = lambda _ {t} v + lambda v_ {t}.}

Подключение ${displaystyle Mv}$ за ${displaystyle v_ {t}}$ дает

{displaystyle L_ {t} v + LMv = lambda _ {t} v + lambda Mv.}

Перестановка на крайний правый член дает нам

{displaystyle L_ {t} v + LMv = lambda _ {t} v + MLv.}

Таким образом,

{displaystyle L_ {t} v + LMv-MLv = лямбда _ {t} v.}

С ${displaystyle vot = 0}$ , это означает, что ${displaystyle lambda _ {t} = 0}$ если и только если

{displaystyle L_ {t} + LM-ML = 0.,}

Это Уравнение Лакса. В уравнении Лакса ${displaystyle L_ {t}}$ является производной по времени от ${displaystyle L}$ именно там, где это явно зависит от ${displaystyle t}$ . Причина такого определения дифференциации мотивирована простейшим примером ${displaystyle L}$ , который является оператором Шредингера (см. Уравнение Шредингера ):

{displaystyle L = partial _ {xx} + u,}

где u - «потенциал». Сравнение выражения ${displaystyle L_ {t} v + Lv_ {t}}$ с ${displaystyle partial _ {t} left (v_ {xx} + uvight)}$ показывает нам, что ${displaystyle L_ {t} = u_ {t},}$ таким образом игнорируя первый член.

После составления соответствующей пары Лакса должно быть так, что уравнение Лакса восстанавливает исходное нелинейное уравнение в частных производных.

Шаг 3. Определите временную эволюцию собственных функций, связанных с каждым собственным значением ${displaystyle lambda}$ , нормирующие константы и коэффициент отражения, все три составляющие так называемые данные рассеяния. Эта временная эволюция задается системой линейных обыкновенные дифференциальные уравнения который можно решить.

Шаг 4. Выполните обратное рассеяние процедура путем решения Интегральное уравнение Гельфанда – Левитана – Марченко. (Израиль Моисеевич Гельфанд и Борис Моисеевич Левитан;^[1] Владимир Александрович Марченко^[2]), линейный интегральное уравнение, чтобы получить окончательное решение исходного нелинейного уравнения в частных производных. Для этого требуются все данные о рассеянии. Если коэффициент отражения равен нулю, процесс становится намного проще. Этот шаг работает, если ${displaystyle L}$ является дифференциальным или разностным оператором второго порядка, но не обязательно для более высоких порядков. Однако во всех случаях обратное рассеяние проблема сводится к Факторизация Римана – Гильберта (См. оба подхода в Ablowitz-Clarkson (1991). См. строгую математическую трактовку в Marchenko (1986)).

Примеры интегрируемых уравнений

Другие примеры интегрируемых уравнений можно найти в статье Интегрируемая система.

внешняя ссылка

[1] Гельфанд И. М., Левитан Б. М. "Об определении дифференциального уравнения по его спектральной функции". Переводы Американского математического общества, (2) 1: 253–304, 1955.

[2] В. А. Марченко, "Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения", Биркхойзер, Базель, 1986.

[1]

[2]