Эллиптическая гамма-функция - Elliptic gamma function
В математика , то эллиптическая гамма-функция является обобщением q-гамма-функция , что само по себе q-аналог обычного гамма-функция . Это тесно связано с функцией, изучаемой Джексон (1905) , и может быть выражена через тройная гамма-функция . Это дается
Γ ( z ; п , q ) = ∏ м = 0 ∞ ∏ п = 0 ∞ 1 − п м + 1 q п + 1 / z 1 − п м q п z . { displaystyle Gamma (z; p, q) = prod _ {m = 0} ^ { infty} prod _ {n = 0} ^ { infty} { frac {1-p ^ {m + 1} q ^ {n + 1} / z} {1-p ^ {m} q ^ {n} z}}.} Он подчиняется нескольким тождествам:
Γ ( z ; п , q ) = 1 Γ ( п q / z ; п , q ) { Displaystyle Gamma (z; p, q) = { frac {1} { Gamma (pq / z; p, q)}} ,} Γ ( п z ; п , q ) = θ ( z ; q ) Γ ( z ; п , q ) { Displaystyle Gamma (pz; p, q) = theta (z; q) Gamma (z; p, q) ,} и
Γ ( q z ; п , q ) = θ ( z ; п ) Γ ( z ; п , q ) { Displaystyle Gamma (qz; p, q) = theta (z; p) Gamma (z; p, q) ,} где θ - q-тета-функция .
Когда п = 0 { displaystyle p = 0} символ q-Pochhammer :
Γ ( z ; 0 , q ) = 1 ( z ; q ) ∞ . { displaystyle Gamma (z; 0, q) = { frac {1} {(z; q) _ { infty}}}.} Формула умножения Определять
Γ ~ ( z ; п , q ) := ( q ; q ) ∞ ( п ; п ) ∞ ( θ ( q ; п ) ) 1 − z ∏ м = 0 ∞ ∏ п = 0 ∞ 1 − п м + 1 q п + 1 − z 1 − п м q п + z . { displaystyle { tilde { Gamma}} (z; p, q): = { frac {(q; q) _ { infty}} {(p; p) _ { infty}}} ( theta (q; p)) ^ {1-z} prod _ {m = 0} ^ { infty} prod _ {n = 0} ^ { infty} { frac {1-p ^ {m + 1} q ^ {n + 1-z}} {1-p ^ {m} q ^ {n + z}}}.}.} Тогда справедлива следующая формула с р = q п { Displaystyle г = д ^ {п}} Фельдер и Варченко (2003) Ошибка harvtxt: нет цели: CITEREFFelderVarchenko2003 (помощь) ).
Γ ~ ( п z ; п , q ) Γ ~ ( 1 / п ; п , р ) Γ ~ ( 2 / п ; п , р ) ⋯ Γ ~ ( ( п − 1 ) / п ; п , р ) = ( θ ( р ; п ) θ ( q ; п ) ) п z − 1 Γ ~ ( z ; п , р ) Γ ~ ( z + 1 / п ; п , р ) ⋯ Γ ~ ( z + ( п − 1 ) / п ; п , р ) . { displaystyle { tilde { Gamma}} (nz; p, q) { tilde { Gamma}} (1 / n; p, r) { tilde { Gamma}} (2 / n; p, r) cdots { tilde { Gamma}} ((n-1) / n; p, r) = left ({ frac { theta (r; p)} { theta (q; p)} } right) ^ {nz-1} { tilde { Gamma}} (z; p, r) { tilde { Gamma}} (z + 1 / n; p, r) cdots { tilde { Gamma}} (z + (n-1) / n; p, r).} Рекомендации Джексон, Ф. Х. (1905), "Основная гамма-функция и эллиптические функции", Труды Лондонского королевского общества. Серия A, содержащая статьи математического и физического характера , Королевское общество, 76 (508): 127–144, Дои :10.1098 / RSPA.1905.0011 ISSN 0950-1207 , JSTOR 92601 Гаспер, Джордж; Рахман, Мизан (2004), Базовый гипергеометрический ряд , Энциклопедия математики и ее приложений, 96 (2-е изд.), Издательство Кембриджского университета , ISBN 978-0-521-83357-8 Г-Н 2128719 Руйсенаарс, С. Н. М. (1997), «Аналитические разностные уравнения первого порядка и интегрируемые квантовые системы» , Журнал математической физики 38 (2): 1069–1146, Дои :10.1063/1.531809 , ISSN 0022-2488 , Г-Н 1434226
