Равноденствие - Equinumerosity

В математика, два наборы или классы А и B находятся равномерный если существует индивидуальная переписка (или биекция) между ними, то есть если существует функция от А к B так что для каждого элемент у из B, есть ровно один элемент Икс из А с участием ж(Икс) = у.^[1] Говорят, что равные наборы имеют одинаковые мощность (количество элементов).^[2] Исследование мощности часто называют равноденствие (равенство чисел). Условия равноправие (равенство сил) и равноправие (равенство сил) иногда используются вместо этого.

Эквивалентность имеет характерные свойства отношение эквивалентности.^[1] Утверждение, что два набора А и B равнозначны обычно обозначают

{ Displaystyle А приблизительно В ,}

или

{ displaystyle A sim B}

, или

{ Displaystyle | A | = | B |.}

^[3]

Определение равноденствия с использованием биекции может применяться как к конечным, так и к бесконечные множества, и позволяет указать, имеют ли два набора одинаковый размер, даже если они бесконечны. Георг Кантор, изобретатель теория множеств, показал в 1874 году, что существует более одного вида бесконечности, в частности, что совокупность всех натуральные числа и сбор всех действительные числа, в то время как оба бесконечны, не равноправны (см. Первое доказательство несчетности Кантора ). В своей спорной статье 1878 г., Кантор явно определил понятие «власть» множеств и использовал его, чтобы доказать, что множество всех натуральных чисел и множество всех рациональное число равноденственны (пример, когда правильное подмножество бесконечного множества равнозначно исходному множеству), и что Декартово произведение даже счетно бесконечный количество копий действительных чисел равно единственному экземпляру действительных чисел.

Теорема кантора с 1891 г. подразумевает, что ни один набор не может быть равным своему собственному набор мощности (множество всех его подмножеств).^[1] Это позволяет определять все большие и большие бесконечные множества, начиная с одного бесконечного множества.

Если аксиома выбора верна, то количественное числительное набора можно рассматривать как наименьшее порядковый номер этой мощности (см. начальный порядковый номер ). В противном случае это может быть рассмотрено ( Уловка Скотта ) как множество множеств минимального ранга, обладающих этой мощностью.^[1]

Утверждение, что любые два множества либо равноправны, либо одно имеет меньшую мощность, чем другое, эквивалентно аксиома выбора.^[4]

Мощность

Одинаковые множества имеют взаимно однозначное соответствие между собой,^[5] и говорят, что у них то же самое мощность. Мощность набора Икс это мера «количества элементов набора».^[1] Эквивалентность имеет характерные свойства отношение эквивалентности (рефлексивность, симметрия, и транзитивность ):^[1]

Рефлексивность: Учитывая набор А, то функция идентичности на А это биекция от А себе, показывая, что каждый набор А равноденственна себе: А ~ А.
Симметрия: Для каждой биекции между двумя наборами А и B существует обратная функция что является взаимно однозначным соответствием между B и А, подразумевая, что если набор А равнозначен множеству B тогда B также равнозначен А: А ~ B подразумевает B ~ А.
Транзитивность: Учитывая три набора А, B и C с двумя биекциями ж : А → B и г : B → C, то сочинение г ∘ ж из этих биекций является биекцией из А к C, так что если А и B равноденственны и B и C равноденственны тогда А и C равноденственны: А ~ B и B ~ C вместе подразумевают А ~ C.

Попытка определить мощность множества как класс эквивалентности всех равнодействующих ему множеств проблематична. Теория множеств Цермело – Френкеля, стандартная форма аксиоматическая теория множеств, поскольку класс эквивалентности любого непустой набор было бы слишком велико для набора: это было бы правильный класс. В рамках теории множеств Цермело – Френкеля связи по определению ограничены наборами (бинарное отношение на множестве А это подмножество из Декартово произведение А × А), а нет набор всех наборов в теории множеств Цермело – Френкеля. В теории множеств Цермело – Френкеля, вместо определения мощности множества как класса эквивалентности всех равнодействующих ему множеств, каждый пытается присвоить репрезентативное множество каждому классу эквивалентности (кардинальное назначение ). В некоторых других системах аксиоматической теории множеств, например в Теория множеств фон Неймана – Бернейса – Гёделя. и Теория множеств Морса – Келли, отношения распространяются на классы.

Множество А считается, что его мощность меньше или равна мощности множества B, если существует индивидуальная функция (инъекция) от А в B. Это обозначается |А| ≤ |B|. Если А и B не равномерны, то мощность А называется строго меньшим, чем мощность B. Это обозначается |А| < |B|. Если аксиома выбора верна, то закон трихотомии относится к Количественные числительные, так что любые два набора либо равны, либо одно имеет строго меньшую мощность, чем другое.^[1] Закон трихотомии для количественных чисел также подразумевает аксиома выбора.^[4]

В Теорема Шредера – Бернштейна. заявляет, что любые два набора А и B для которого существуют две взаимно однозначные функции ж : А → B и г : B → А равноденственны: если |А| ≤ |B| и |B| ≤ |А|, тогда |А| = |B|.^[1]^[4] Эта теорема не опирается на аксиома выбора.

Теорема кантора

Теорема кантора означает, что никакое множество не равнозначно своему набор мощности (совокупность всех его подмножества ).^[1] Это справедливо даже для бесконечные множества. В частности, набор мощности счетно бесконечное множество является бесчисленное множество.

Предполагая существование бесконечного множества N состоящий из всех натуральные числа и предполагая, что существует набор мощности любого заданного набора, можно определить последовательность N, п(N), п(п(N)), п(п(п(N))), … бесконечных наборов, где каждый набор является набором мощности предыдущего набора. По теореме Кантора мощность каждого набора в этой последовательности строго превышает мощность набора, предшествующего ему, что приводит к все большим и большим бесконечным множествам.

Работы Кантора подверглись резкой критике со стороны некоторых его современников, например, со стороны Леопольд Кронекер, которые строго придерживались финишер^[6] философия математики и отверг идею о том, что числа могут образовывать реальную законченную совокупность ( актуальная бесконечность ). Однако идеи Кантора защищали другие, например, Ричард Дедекинд, и в конечном итоге были широко приняты, решительно поддержаны Дэвид Гильберт. Увидеть Споры по теории Кантора для большего.

В рамках Теория множеств Цермело – Френкеля, то аксиома власти гарантирует существование набора мощности любого заданного набора. Кроме того, аксиома бесконечности гарантирует существование хотя бы одного бесконечного набора, а именно набора, содержащего натуральные числа. Есть альтернативные теории множеств, например "общая теория множеств "(GST), Теория множеств Крипке – Платека., и теория карманных множеств (PST), которые намеренно опускают аксиому набора мощности и аксиому бесконечности и не позволяют определить бесконечную иерархию бесконечностей, предложенную Кантором.

Мощности, соответствующие множествам N, п(N), п(п(N)), п(п(п(N))), … являются числа Бет ${ displaystyle beth _ {0}}$ , ${ displaystyle beth _ {1}}$ , ${ displaystyle beth _ {2}}$ , ${ displaystyle beth _ {3}}$ , …,^[3] с первым номером бет ${ displaystyle beth _ {0}}$ будучи равным ${ displaystyle aleph _ {0}}$ (алеф ничего ), мощность любого счетно бесконечного множества, а второе число ${ displaystyle beth _ {1}}$ будучи равным ${ displaystyle { mathfrak {c}}}$ , то мощность континуума.

Дедекиндово-бесконечные множества

В некоторых случаях возможен набор S и это правильное подмножество быть равным числом. Например, набор четных натуральные числа равно множеству всех натуральных чисел. Множество, равное количеству собственных подмножеств, называется Дедекинд-бесконечный.^[1]^[4]

В аксиома счетного выбора (AC_ω), слабый вариант аксиома выбора (AC), необходимо, чтобы показать, что множество, которое не является бесконечным по Дедекинду, на самом деле конечный. В аксиомы из Теория множеств Цермело – Френкеля без аксиомы выбора (ZF) недостаточно сильны, чтобы доказать, что каждое бесконечный набор бесконечно по Дедекинду, но аксиомы теории множеств Цермело – Френкеля с аксиомой счетного выбора (ZF + AC_ω) достаточно сильны.^[7] Другие определения конечности и бесконечности множеств, кроме тех, что были даны Дедекиндом, не требуют аксиомы выбора для этого, см. Конечное множество § Необходимые и достаточные условия конечности.^[1]

Совместимость с набором операций

Эквивалентность совместима с основные операции набора таким образом, чтобы можно было определить кардинальная арифметика.^[1] В частности, равноденствие совместимо с непересекающиеся союзы: Даны четыре набора А, B, C и D с участием А и C с одной стороны и B и D с другой стороны попарно непересекающиеся и с А ~ B и C ~ D тогда А ∪ C ~ B ∪ D. Это используется для обоснования определения кардинальное сложение.

Кроме того, равноденствие совместимо с декартовы продукты:

Если А ~ B и C ~ D тогда А × C ~ B × D.
А × B ~ B × А
(А × B) × C ~ А × (B × C)

Эти свойства используются для обоснования кардинальное умножение.

Учитывая два набора Икс и Y, набор всех функций из Y к Икс обозначается Икс^Y. Тогда верны следующие утверждения:

Если А ~ B и C ~ D тогда А^C ~ B^D.
А^{B ∪ C} ~ А^B × А^C для непересекающихся B и C.
(А × B)^C ~ А^C × B^C
(А^B)^C ~ А^B×C

Эти свойства используются для обоснования кардинальное возведение в степень.

Кроме того, набор мощности данного набора А (набор всех подмножества из А) равнозначно множеству 2^А, множество всех функций из множества А в набор, содержащий ровно два элемента.

Категориальное определение

В теория категорий, то категория наборов, обозначенный Набор, это категория состоящий из совокупности всех множеств как объекты и сбор всех функции между наборами как морфизмы, с состав функций как композиция морфизмов. В Набор, изоморфизм между двумя множествами - это в точности биекция, и два множества равноправны, если они изоморфны как объекты в Набор.

Смотрите также

использованная литература

^ ^а ^б ^c ^d ^е ^ж ^г ^час ^я ^j ^k ^л Суппес, Патрик (1972) [первоначально опубликовано D. van Nostrand Company в 1960 году]. Аксиоматическая теория множеств. Дувр. ISBN 0486616304.
^ Эндертон, Герберт (1977). Элементы теории множеств. Academic Press Inc. ISBN 0-12-238440-7.
^ ^а ^б «Исчерпывающий список символов теории множеств». Математическое хранилище. 2020-04-11. Получено 2020-09-05.
^ ^а ^б ^c ^d Jech, Thomas J. (2008) [Первоначально опубликовано Северной Голландией в 1973 году]. Аксиома выбора. Дувр. ISBN 978-0-486-46624-8.
^ Вайсштейн, Эрик В. "Эквиполлент". mathworld.wolfram.com. Получено 2020-09-05.
^ Плитка, Мэри (2004) [Первоначально опубликовано Basil Blackwell Ltd. в 1989 году]. Философия теории множеств: историческое введение в рай Кантора. Дувр. ISBN 978-0486435206.
^ Герлих, Хорст (2006). Аксиома выбора. Конспект лекций по математике 1876. Springer-Verlag. ISBN 978-3540309895.

[suppes-1] а ^б ^c ^d ^е ^ж ^г ^час ^я ^j ^k ^л Суппес, Патрик (1972) [первоначально опубликовано D. van Nostrand Company в 1960 году]. Аксиоматическая теория множеств. Дувр. ISBN 0486616304.

[2] Эндертон, Герберт (1977). Элементы теории множеств. Academic Press Inc. ISBN 0-12-238440-7.

[:0-3] а ^б «Исчерпывающий список символов теории множеств». Математическое хранилище. 2020-04-11. Получено 2020-09-05.

[jech-4] а ^б ^c ^d Jech, Thomas J. (2008) [Первоначально опубликовано Северной Голландией в 1973 году]. Аксиома выбора. Дувр. ISBN 978-0-486-46624-8.

[5] Вайсштейн, Эрик В. "Эквиполлент". mathworld.wolfram.com. Получено 2020-09-05.

[tiles-6] Плитка, Мэри (2004) [Первоначально опубликовано Basil Blackwell Ltd. в 1989 году]. Философия теории множеств: историческое введение в рай Кантора. Дувр. ISBN 978-0486435206.

[herrlich-7] Герлих, Хорст (2006). Аксиома выбора. Конспект лекций по математике 1876. Springer-Verlag. ISBN 978-3540309895.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]