Биекция - Bijection

Биективная функция, ж: Икс → Y, где множество X равно {1, 2, 3, 4}, а множество Y равно {A, B, C, D}. Например, ж(1) = D.

В математика, а биекция, биективная функция, индивидуальная переписка, или же обратимая функция, это функция между элементами двух наборы, где каждый элемент одного набора сопряжен ровно с одним элементом другого набора, а каждый элемент другого набора сопряжен ровно с одним элементом первого набора. Нет непарных элементов. С математической точки зрения, биективная функция ж: Икс → Y это индивидуальный (инъективный) и на (сюръективный) отображение набора Икс к набору Y.^[1][2] Период, термин индивидуальная переписка не следует путать с индивидуальная функция (ан инъективная функция; см. рисунки).

• 

  Инъективный не-сюръективная функция (инъекция, а не биекция)

• 

  Инъективная сюръективная функция (биекция)

• 

  Неинъективная сюръективная функция (сюрприз, а не биекция)

• 

  Неинъективная несюръективная функция (также не биекция)

Биекция из набора Икс к набору Y имеет обратная функция из Y к Икс. Если Икс и Y находятся конечные множества, то наличие биекции означает, что у них одинаковое количество элементов. За бесконечные множества, картина более сложная, что приводит к концепции количественное числительное - способ различать бесконечные множества различных размеров.

Биективная функция от множества к себе также называется перестановка, а множество всех перестановок множества образует группа симметрии.

Биективные функции важны для многих областей математики, включая определения изоморфизм, гомеоморфизм, диффеоморфизм, группа перестановок, и проективное отображение.

Определение

Дополнительная информация об обозначениях: Функция (математика) § Обозначения

Для соединения между Икс и Y (куда Y не должно отличаться от Икс), чтобы быть биекцией, должны выполняться четыре свойства:

1. каждый элемент Икс должен сочетаться хотя бы с одним элементом Y,
2. нет элемента Икс может быть в паре с более чем одним элементом Y,
3. каждый элемент Y должен сочетаться хотя бы с одним элементом Икс, и
4. нет элемента Y может быть в паре с более чем одним элементом Икс.

Соответствие свойствам (1) и (2) означает, что спаривание является функция с домен Икс. Чаще всего свойства (1) и (2) записываются как один оператор: каждый элемент Икс сочетается ровно с одним элементом Y. Функции, удовлетворяющие свойству (3), называются "на Y "и называются сюрпризы (или же сюръективные функции). Функции, удовлетворяющие свойству (4), называются "индивидуальные функции "и называются инъекции (или же инъективные функции).^[3] Согласно этой терминологии, биекция - это функция, которая одновременно является сюръекцией и инъекцией, или, используя другие слова, биекция - это функция, которая является одновременно «один-к-одному» и «на».^[1][4]

Биекции иногда обозначают двуглавой стрелкой вправо с хвостом (U + 2916 ⤖ ДВУХГЛАВНАЯ СТРЕЛА ВПРАВО С ХВОСТОМ), как в ж : Икс ⤖ Y. Этот символ представляет собой комбинацию двуглавой стрелки вправо (U + 21A0 ↠ ДВЕ СТРЕЛКА ВПРАВО), иногда используется для обозначения выступов, и стрелка вправо с зазубренным хвостом (U + 21A3 ↣ СТРЕЛКА ВПРАВО С ХВОСТОМ), иногда используется для обозначения инъекций.

Примеры

Состав бейсбольной или крикетной команды

Рассмотрим состав ватин из бейсбол или же крикет команда (или любой список всех игроков любой спортивной команды, где каждый игрок занимает определенное место в составе). Набор Икс будут игроки команды (девятого размера в случае бейсбола) и набор Y будут позиции в порядке отбивания (1-й, 2-й, 3-й и т. д.) "Пары" определяются тем, какой игрок в какой позиции находится в этом порядке. Свойство (1) выполняется, поскольку каждый игрок находится где-то в списке. Свойство (2) выполняется, поскольку ни один игрок не бьет в двух (или более) позициях в порядке. Свойство (3) говорит о том, что для каждой позиции в порядке на этой позиции есть отбивающий игрок, а свойство (4) утверждает, что два или более игрока никогда не отбивают одну и ту же позицию в списке.

Места и ученики класса

В классе есть определенное количество мест. Группа студентов входит в комнату, и инструктор просит их сесть. Быстро осмотрев комнату, инструктор заявляет, что существует взаимное соответствие между набором студентов и набором сидений, где каждый студент сопоставляется с сиденьем, на котором они сидят. Что наблюдал преподаватель, чтобы прийти к такому выводу было это:

1. Каждый ученик сидел (никого не было),
2. Ни один студент не занимал более одного места,
3. На каждом месте кто-то сидел (свободных мест не было), и
4. Ни на одном месте не было более одного студента.

Инструктор смог сделать вывод, что мест было столько же, сколько учеников, без необходимости считать ни одно из них.

Дополнительные математические примеры и некоторые не-примеры

• Для любого набора Икс, то функция идентичности 1_Икс: Икс → Икс, 1_Икс(Икс) = Икс биективен.
• Функция ж: р → р, ж(Икс) = 2Икс + 1 биективен, поскольку для каждого у есть уникальный Икс = (у - 1) / 2 такие, что ж(Икс) = у. В общем, любой линейная функция над реалами, ж: р → р, ж(Икс) = топор + б (куда а не равно нулю) является биекцией. Каждое действительное число у получается из (или в паре с) действительного числа Икс = (у − б)/а.
• Функция ж: р → (−π / 2, π / 2), задаваемое формулой ж(Икс) = arctan (Икс) биективно, так как каждое действительное число Икс соединяется ровно с одним углом у в интервале (−π / 2, π / 2), так что tan (у) = Икс (то есть, у = arctan (Икс)). Если codomain (−π / 2, π / 2) было увеличено, чтобы включить целое число, кратное π / 2, тогда эта функция больше не будет на (сюръективной), так как не существует действительного числа, которое могло бы быть спарено с кратным π / 2 этой функцией arctan.
• В экспоненциальная функция, грамм: р → р, грамм(Икс) = е^Икс, не является биективным: например, нет Икс в р такой, что грамм(Икс) = −1, показывая, что грамм не на (сюръективный). Однако, если codomain ограничен положительными действительными числами ${displaystyle scriptstyle mathbb {R} ^{+};equiv ;left(0,,+infty ight)}$, тогда грамм будет биективным; его обратным (см. ниже) является натуральный логарифм функция ln.
• Функция час: р → р⁺, час(Икс) = Икс² не является биективным: например, час(−1) = час(1) = 1, показывая, что час не является однозначным (инъективным). Однако если домен ограничено ${displaystyle scriptstyle mathbb {R} _{0}^{+};equiv ;left[0,,+infty ight)}$, тогда час будет биективным; его обратная функция - положительная функция квадратного корня.

Перевернутые

Биекция ж с доменом Икс (указано ж: X → Y в функциональная запись ) также определяет обратное отношение начиная с Y и собираюсь Икс (повернув стрелки вокруг). Процесс "поворота стрелок" для произвольной функции не в целом, дают функцию, но свойства (3) и (4) биекции говорят, что это обратное соотношение является функцией с областью определения Y. Более того, свойства (1) и (2) говорят, что эта обратная функция сюръекция и инъекция, то есть обратная функция существует и также является биекцией. Функции, имеющие обратные функции, называются обратимый. Функция обратима тогда и только тогда, когда она биекция.

В кратких математических обозначениях функция ж: X → Y биективен тогда и только тогда, когда он удовлетворяет условию

для каждого у в Y есть уникальный Икс в Икс с у = ж(Икс).

Продолжая пример с расстановкой бейсбольных битов, определяемая функция принимает на входе имя одного из игроков и выводит позицию этого игрока в порядке отбивания. Поскольку эта функция является биекцией, у нее есть обратная функция, которая принимает в качестве входных данных позицию в порядке отбивания и выводит игрока, который будет отбивать эту позицию.

Сочинение

В сочинение ${displaystyle scriptstyle g,circ ,f}$ двух биекций ж: X → Y и грамм: Y → Z - биекция, обратная к которой дается формулой ${displaystyle scriptstyle g,circ ,f}$ является ${displaystyle scriptstyle (g,circ ,f)^{-1};=;(f^{-1}),circ ,(g^{-1})}$.

Биекция, состоящая из инъекции (слева) и сюръекции (справа).

И наоборот, если состав ${displaystyle scriptstyle g,circ ,f}$ двух функций биективен, отсюда только следует, что ж является инъективный и грамм является сюръективный.

Мощность

Если Икс и Y находятся конечные множества, то существует биекция между двумя множествами Икс и Y если и только если Икс и Y имеют одинаковое количество элементов. Действительно, в аксиоматическая теория множеств, это принято как определение «одинакового количества элементов» (равноденствие ) и обобщив это определение на бесконечные множества приводит к концепции количественное числительное, способ различать различные размеры бесконечных множеств.

Характеристики

• Функция ж: р → р биективен тогда и только тогда, когда его график встречает каждую горизонтальную и вертикальную линию ровно один раз.
• Если Икс - множество, то биективные функции из Икс самому себе, вместе с операцией функциональной композиции (∘), образуют группа, то симметричная группа из Икс, который по-разному обозначается S (Икс), S_Икс, или же Икс! (Икс факториал ).
• Биекции сохранить мощности наборов: для подмножества А области с мощностью |А| и подмножество B кодомена с мощностью |B|, выполняются следующие равенства:

  |ж(А)| = |А| и |ж⁻¹(B)| = |B|.

• Если Икс и Y находятся конечные множества с той же мощностью, и ж: X → Y, то эквивалентны следующие:
  1. ж это биекция.
  2. ж это сюрприз.
  3. ж является инъекция.
• Для конечного множества S, существует взаимное соответствие между множеством возможных общее количество заказов элементов и набор биекций из S к S. То есть количество перестановки элементов S совпадает с числом полных порядков этого набора, а именно, п!.

Теория категорий

Биекции - это как раз то изоморфизмы в категория Набор из наборы и установить функции. Однако биекции не всегда являются изоморфизмами для более сложных категорий. Например, в категории Grp из группы, морфизмы должны быть гомоморфизмы так как они должны сохранять структуру группы, так что изоморфизмы групповые изоморфизмы которые являются биективными гомоморфизмами.

Обобщение на частичные функции

Понятие взаимно однозначного соответствия обобщается на частичные функции, где они называются частичные отклонения, хотя частичные отклонения необходимы только для того, чтобы быть инъективными. Причина этого ослабления состоит в том, что (правильная) частичная функция уже не определена для части своего домена; таким образом, нет веских причин ограничивать его инверсию как общая функция, т.е. определен всюду в своей области. Множество всех частичных биекций на данном базовом множестве называется симметричная инверсная полугруппа.^[5]

Другой способ определения того же понятия - сказать, что частичная биекция из А к B какое-то отношение р (которая оказывается частичной функцией) со свойством, что р это график биекция ж:A ′→B ′, куда A ′ это подмножество из А и B ′ это подмножество B.^[6]

Когда частичная биекция происходит на том же множестве, ее иногда называют индивидуальный частичный трансформация.^[7] Примером может служить Преобразование Мёбиуса просто определяется на комплексной плоскости, а не до расширенной комплексной плоскости.^[8]

Контраст с

Этот список неполный; вы можете помочь добавление недостающих предметов с надежные источники.

• Многозначная функция

Смотрите также

• Математический портал

• Биекция, инъекция и сюръекция
• Биективная нумерация
• Биективное доказательство
• Теория категорий
• Теорема Акс-Гротендика

Примечания

1. "Окончательный глоссарий высшего математического жаргона - однозначное соответствие". Математическое хранилище. 2019-08-01. Получено 2019-12-07.
2. «Инъективный, сюръективный и биективный». www.mathsisfun.com. Получено 2019-12-07.
3. Также есть имена, связанные со свойствами (1) и (2). Отношение, удовлетворяющее свойству (1), называется полное отношение а отношение, удовлетворяющее (2), есть однозначное отношение.
4. "Биекция, инъекция и сюрприз | Блестящая вики по математике и науке". brilliant.org. Получено 2019-12-07.
5. Кристофер Холлингс (16 июля 2014 г.). Математика за железным занавесом: история алгебраической теории полугрупп. Американское математическое общество. п. 251. ISBN  978-1-4704-1493-1.
6. Фрэнсис Борсо (1994). Справочник категориальной алгебры: Том 2, Категории и структуры. Издательство Кембриджского университета. п. 289. ISBN  978-0-521-44179-7.
7. Пьер А. Грийе (1995). Полугруппы: введение в теорию структуры. CRC Press. п. 228. ISBN  978-0-8247-9662-4.
8. Джон Микин (2007). «Группы и полугруппы: связи и противопоставления». В C.M. Кэмпбелл; М.Р. Квик; Э. Ф. Робертсон; G.C. Смит (ред.). Группы Сент-Эндрюс 2005 Том 2. Издательство Кембриджского университета. п. 367. ISBN  978-0-521-69470-4. препринт цитируя Лоусон, М. В. (1998). «Обратный моноид Мёбиуса». Журнал алгебры. 200 (2): 428. Дои:10.1006 / jabr.1997.7242.

Рекомендации

Эта тема является основным понятием теории множеств и может быть найдена в любом тексте, который включает введение в теорию множеств. Почти все тексты, посвященные введению в написание доказательств, будут включать раздел по теории множеств, поэтому эту тему можно найти в любом из них:

• Вольф (1998). Доказательство, логика и гипотеза: набор инструментов математика. Фримен.
• Сандстрем (2003). Математическое мышление: написание и доказательство. Прентис-Холл.
• Смит; Эгген; Святой Андрей (2006). Переход к высшей математике (6-е изд.). Томсон (Брукс / Коул).
• Шумахер (1996). Глава нулевая: основные понятия абстрактной математики. Эддисон-Уэсли.
• О'Лири (2003). Структура доказательства: с помощью логики и теории множеств. Прентис-Холл.
• Мораш. Мост к абстрактной математике. Случайный дом.
• Мэддокс (2002). Математическое мышление и письмо. Harcourt / Academic Press.
• Lay (2001). Анализ с введением в доказательство. Прентис Холл.
• Гилберт; Ванстон (2005). Введение в математическое мышление. Пирсон Прентис-Холл.
• Флетчер; Пэтти. Основы высшей математики. PWS-Kent.
• Иглевич; Стойл. Введение в математические рассуждения. Макмиллан.
• Девлин, Кейт (2004). Множества, функции и логика: введение в абстрактную математику. Чепмен и Холл / CRC Press.
• Д'Анджело; Запад (2000). Математическое мышление: решение проблем и доказательства. Прентис Холл.
• Купиллари. Гайки и болты доказательств. Уодсворт.
• Связь. Введение в абстрактную математику. Брукс / Коул.
• Барнье; Фельдман (2000). Введение в высшую математику. Прентис Холл.
• Пепел. Учебник по абстрактной математике. MAA.

внешняя ссылка

• "Биекция", Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. "Биекция". MathWorld.
• Самые ранние примеры использования некоторых слов математики: статья о инъекции, сюръекции и взаимно-взаимной инъекции имеет историю инъекции и связанных с ней терминов.