Схема FTCS - FTCS scheme

«FTCS» перенаправляет сюда. Информацию о научной конференции см. Международная конференция по надежным системам и сетям.

В числовой анализ, то FTCS (Вперед, центрированное по времени пространство) метод является метод конечных разностей используется для численного решения уравнение теплопроводности и подобные параболические уравнения в частных производных.^[1] Это метод первого порядка во времени, явный вовремя, и условно стабильный применительно к уравнению теплопроводности. При использовании в качестве метода уравнения переноса, или в более общем смысле гиперболическое уравнение в частных производных, он нестабилен, если не включена искусственная вязкость. Аббревиатуру FTCS впервые использовал Патрик Роуч.^[2][3]

Метод

Метод FTCS основан на центральная разница в космосе и прямой метод Эйлера во времени, что дает сходимость первого порядка во времени и сходимость второго порядка в пространстве. Например, в одном измерении, если уравнение в частных производных является

${displaystyle {frac {partial u}{partial t}}=Fleft(u,x,t,{frac {partial ^{2}u}{partial x^{2}}}ight)}$

затем, позволяя ${displaystyle u(i,Delta x,n,Delta t)=u_{i}^{n},}$, прямой метод Эйлера определяется выражением:

${displaystyle {frac {u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n}}{Delta t}}=F_{i}^{n}left(u,x,t,{frac {partial ^{2}u}{partial x^{2}}}ight)}$

Функция ${displaystyle F}$ должны быть пространственно дискретизированы с помощью центральная разница схема. Это явный метод что обозначает, ${displaystyle u_{i}^{n+1}}$ могут быть вычислены явно (нет необходимости решать систему алгебраических уравнений), если значения ${displaystyle u}$ на предыдущем временном уровне ${displaystyle (n)}$ известны. Метод FTCS является недорогим в вычислительном отношении, поскольку он явный.

Иллюстрация: одномерное уравнение теплопроводности

Метод FTCS часто применяется к распространение проблемы. Например, для 1D уравнение теплопроводности,

${displaystyle {frac {partial u}{partial t}}=alpha {frac {partial ^{2}u}{partial x^{2}}}}$

Схема FTCS представлена:

${displaystyle {frac {u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n}}{Delta t}}={frac {alpha }{Delta x^{2}}}left(u_{i+1}^{n}-2u_{i}^{n}+u_{i-1}^{n}ight)}$

или, позволяя ${displaystyle r={frac {alpha ,Delta t}{Delta x^{2}}}}$:

${displaystyle u_{i}^{n+1}=u_{i}^{n}+rleft(u_{i+1}^{n}-2u_{i}^{n}+u_{i-1}^{n}ight)}$

Стабильность

Как получено с использованием анализ устойчивости фон Неймана, метод FTCS для одномерного уравнения теплопроводности имеет вид численно стабильный тогда и только тогда, когда выполняется следующее условие:

${displaystyle r={frac {alpha ,Delta t}{Delta x^{2}}}leq {frac {1}{2}}.}$

То есть выбор ${displaystyle Delta x}$ и ${displaystyle Delta t}$ должен удовлетворять вышеуказанному условию для стабильности схемы FTCS. Главный недостаток метода FTCS заключается в том, что для задач с большим коэффициентом диффузии ${displaystyle alpha }$, удовлетворительные размеры шага могут быть слишком малы, чтобы быть практичным.

За гиперболические уравнения в частных производных, то линейная тестовая задача постоянный коэффициентуравнение переноса, в отличие от уравнение теплопроводности (или же уравнение диффузии ), что является правильным выбором для параболическое дифференциальное уравнение. Известно, что для этих гиперболические проблемы, любой выбор${displaystyle Delta t}$ приводит к нестабильной схеме.^[4]

Смотрите также

• Уравнения с частными производными
• Метод Кранка – Николсона

Рекомендации

1. Джон К. Таннехилл; Дейл А. Андерсон; Ричард Х. Плетчер (1997). Вычислительная механика жидкости и теплопередача (2-е изд.). Тейлор и Фрэнсис. ISBN  1-56032-046-X.
2. Патрик Дж. Роуч (1972). Вычислительная гидродинамика (1-е изд.). Hermosa. ISBN  0-913478-05-9.
3. Патрик Дж. Роуч (1998). Вычислительная гидродинамика (2-е изд.). Hermosa. ISBN  0-913478-09-1.
4. Левек, Рэндалл (2002). Методы конечных объемов для гиперболических задач. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-00924-3.