Гиперболическое уравнение в частных производных - Hyperbolic partial differential equation

В математика, а гиперболическое уравнение в частных производных порядка ${\displaystyle n}$ это уравнение в частных производных (PDE), которая, грубо говоря, имеет хорошо поставленную проблема начального значения во-первых ${\displaystyle n-1}$ производные. Точнее, Задача Коши может быть решена локально для произвольных начальных данных вдоль любых нехарактерных гиперповерхность. Многие из уравнений механика являются гиперболическими, поэтому изучение гиперболических уравнений представляет значительный интерес в наше время. Модельное гиперболическое уравнение - это волновое уравнение. В одном пространственном измерении это

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=c^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}}$

Уравнение обладает тем свойством, что если ты и его первая производная по времени - произвольно заданные начальные данные на строке т = 0 (с достаточными свойствами гладкости), то существует решение на все время т.

Решения гиперболических уравнений «волнообразны». Если в исходные данные гиперболического дифференциального уравнения вносится возмущение, то не каждая точка пространства сразу ощущает возмущение. Относительно фиксированной координаты времени возмущения имеют конечное скорость распространения. Они путешествуют по характеристики уравнения. Эта особенность качественно отличает гиперболические уравнения от эллиптические уравнения в частных производных и параболические уравнения в частных производных. Возмущение начальных (или граничных) данных эллиптического или параболического уравнения ощущается сразу практически во всех точках области.

Хотя определение гиперболичности по своей сути является качественным, существуют точные критерии, которые зависят от конкретного вида рассматриваемого дифференциального уравнения. Существует хорошо разработанная теория линейных дифференциальные операторы, из-за Ларс Гординг, в контексте микролокальный анализ. Нелинейные дифференциальные уравнения являются гиперболическими, если их линеаризации гиперболичны по Гордингу. Есть несколько иная теория для систем уравнений первого порядка, происходящих из систем законы сохранения.

Определение

Уравнение в частных производных гиперболично в точке ${\displaystyle P}$ при условии, что Задача Коши однозначно разрешима в окрестности ${\displaystyle P}$ для любых начальных данных, заданных на нехарактерной гиперповерхности, проходящей через ${\displaystyle P}$.^[1] Здесь заданные начальные данные состоят из всех (поперечных) производных функции на поверхности до одного порядка меньшего, чем порядок дифференциального уравнения.

Примеры

Линейной заменой переменных любое уравнение вида

${\displaystyle A{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+2B{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial y}}+C{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\text{(lower order derivative terms)}}=0}$

с участием

${\displaystyle B^{2}-AC>0}$

можно преобразовать в волновое уравнение, кроме членов более низкого порядка, которые не являются существенными для качественного понимания уравнения.^[2] Это определение аналогично определению плоского гипербола.

Одномерный волновое уравнение:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-c^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}=0}$

является примером гиперболического уравнения. Двумерные и трехмерные волновые уравнения также попадают в категорию гиперболических уравнений в частных производных. Этот тип гиперболического уравнения в частных производных второго порядка может быть преобразован в гиперболическую систему дифференциальных уравнений первого порядка.^[3]

Гиперболическая система дифференциальных уравнений в частных производных

Ниже приводится система ${\displaystyle s}$ дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка для ${\displaystyle s}$ неизвестно функции ${\displaystyle {\vec {u}}=(u_{1},\ldots ,u_{s})}$, ${\displaystyle {\vec {u}}={\vec {u}}({\vec {x}},t)}$, где ${\displaystyle {\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{d}}$:

${\displaystyle (*)\quad {\frac {\partial {\vec {u}}}{\partial t}}+\sum _{j=1}^{d}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\vec {f^{j}}}({\vec {u}})=0,}$

где ${\displaystyle {\vec {f^{j}}}\in C^{1}(\mathbb {R} ^{s},\mathbb {R} ^{s}),j=1,\ldots ,d}$ когда-то непрерывно дифференцируемый функции, нелинейный в общем.

Далее для каждого ${\displaystyle {\vec {f^{j}}}}$ определить ${\displaystyle s\times s}$ Матрица якобиана

${\displaystyle A^{j}:={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f_{1}^{j}}{\partial u_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{1}^{j}}{\partial u_{s}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{s}^{j}}{\partial u_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{s}^{j}}{\partial u_{s}}}\end{pmatrix}},{\text{ for }}j=1,\ldots ,d.}$

Система ${\displaystyle (*)}$ является гиперболический если для всех ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{d}\in \mathbb {R} }$ матрица ${\displaystyle A:=\alpha _{1}A^{1}+\cdots +\alpha _{d}A^{d}}$имеет только настоящий собственные значения и является диагонализуемый.

Если матрица ${\displaystyle A}$ имеет s отчетливый действительные собственные значения, отсюда следует, что он диагонализуем. В этом случае система ${\displaystyle (*)}$ называется строго гиперболический.

Если матрица ${\displaystyle A}$ симметрична, то она диагонализуема и собственные значения действительны. В этом случае система ${\displaystyle (*)}$ называется симметричный гиперболический.

Гиперболическая система и законы сохранения

Существует связь между гиперболической системой и закон сохранения. Рассмотрим гиперболическую систему из одного уравнения в частных производных для одной неизвестной функции ${\displaystyle u=u({\vec {x}},t)}$. Тогда система ${\displaystyle (*)}$ имеет форму

${\displaystyle (**)\quad {\frac {\partial u}{\partial t}}+\sum _{j=1}^{d}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{f^{j}}(u)=0.}$

Вот, ${\displaystyle u}$ можно интерпретировать как количество, которое движется в соответствии с поток данный ${\displaystyle {\vec {f}}=(f^{1},\ldots ,f^{d})}$. Чтобы увидеть, что количество ${\displaystyle u}$ сохраняется, интегрировать ${\displaystyle (**)}$ над доменом ${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle \int _{\Omega }{\frac {\partial u}{\partial t}}\operatorname {d} \Omega +\int _{\Omega }\nabla \cdot {\vec {f}}(u)\operatorname {d} \Omega =0.}$

Если ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle {\vec {f}}}$ - достаточно гладкие функции, можно использовать теорема расходимости и измените порядок интеграции и ${\displaystyle \partial /\partial t}$ чтобы получить закон сохранения величины ${\displaystyle u}$ в общем виде

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} t}}\int _{\Omega }u\operatorname {d} \Omega +\int _{\partial \Omega }{\vec {f}}(u)\cdot {\vec {n}}\operatorname {d} \Gamma =0,}$

что означает, что скорость изменения ${\displaystyle u}$ в домене ${\displaystyle \Omega }$ равен чистому потоку ${\displaystyle u}$ через его границу ${\displaystyle \partial \Omega }$. Поскольку это равенство, можно сделать вывод, что ${\displaystyle u}$ сохраняется в ${\displaystyle \Omega }$.

Смотрите также

• Эллиптическое уравнение в частных производных
• Гипоэллиптический оператор
• Параболическое уравнение в частных производных

Заметки

1. Рождественский
2. Эванс 1998, стр.400
3. Эванс 1998, стр.402

Список используемой литературы

• Эванс, Лоуренс К. (2010) [1998], Уравнения с частными производными, Аспирантура по математике, 19 (2-е изд.), Providence, R.I .: Американское математическое общество, Дои:10,1090 / г / м2 / 019, ISBN  978-0-8218-4974-3, Г-Н  2597943
• Полянин А.Д., Справочник по линейным дифференциальным уравнениям с частными производными для инженеров и ученых, Chapman & Hall / CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN  1-58488-299-9
• Рождественский, Б. (2001) [1994], «Гиперболическое уравнение в частных производных», Энциклопедия математики, EMS Press

внешние ссылки

• «Гиперболическое уравнение в частных производных, численные методы»., Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Линейные гиперболические уравнения в EqWorld: мир математических уравнений.
• Нелинейные гиперболические уравнения. в EqWorld: мир математических уравнений.