Фердинанд Георг Фробениус - Ferdinand Georg Frobenius

Фердинанд Георг Фробениус
Георг Фробениус (обрезано) .jpg
Фердинанд Георг Фробениус
Родившийся(1849-10-26)26 октября 1849 г.
Шарлоттенбург, Берлин
Умер3 августа 1917 г.(1917-08-03) (67 лет)
Берлин
НациональностьНемецкий
Альма-матерГеттингенский университет
Берлинский университет
ИзвестенДифференциальные уравнения
Теория групп
Теорема Кэли – Гамильтона
Метод Фробениуса
Матрица Фробениуса
Научная карьера
ПоляМатематика
УчрежденияБерлинский университет
ETH Цюрих
ДокторантКарл Вейерштрасс
Эрнст Куммер
ДокторантыРичард Фукс
Эдмунд Ландау
Иссай Шур
Конрад Кнопп
Вальтер Шни

Фердинанд Георг Фробениус (26 октября 1849 г. - 3 августа 1917 г.) Немецкий математик, наиболее известный своим вкладом в теорию эллиптические функции, дифференциальные уравнения, теория чисел, и чтобы теория групп. Он известен известными детерминантными тождествами, известными как формулы Фробениуса – Штикельбергера, управляющими эллиптическими функциями, а также развитием теории биквадратичных форм. Он также был первым, кто ввел понятие рациональных приближений функций (ныне известных как Аппроксимации Паде ), и дал первое полное доказательство Теорема Кэли – Гамильтона. Он также дал свое имя некоторым дифференциально-геометрическим объектам современной математической физики, известным как Многообразия Фробениуса.

биография

Фердинанд Георг Фробениус родился 26 октября 1849 г. в г. Шарлоттенбург, пригород Берлин[1] от родителей Кристиана Фердинанда Фробениуса, Протестантский пастор и Кристина Элизабет Фридрих. Он поступил в гимназию Иоахимсталя в 1860 году, когда ему было почти одиннадцать.[2] В 1867 г., окончив институт, он ушел в Геттингенский университет где он начал учебу в университете, но проучился там всего один семестр, прежде чем вернуться в Берлин, где он слушал лекции Кронекер, Куммер и Карл Вейерштрасс. Он получил докторскую степень (с отличием) в 1870 году под руководством Weierstrass. Его диссертация была посвящена решению дифференциальных уравнений. В 1874 году, после преподавания в средней школе сначала в гимназии Иоахимсталя, а затем в Софьенреальской школе, он был назначен в Берлинский университет экстраординарным профессором математики.[2] Фробениус был в Берлине всего за год до того, как отправился в Цюрих поступить на должность рядового профессора в Eidgenössische Polytechnikum. Семнадцать лет, с 1875 по 1892 год, Фробениус работал в Цюрихе. Именно там он женился, вырастил свою семью и проделал важную работу в самых разных областях математики. В последние дни декабря 1891 года Кронекер умер, и его кресло в Берлине освободилось. Вейерштрасс, твердо убежденный в том, что Фробениус был тем человеком, который удерживал Берлин в авангарде математики, использовал свое значительное влияние, чтобы назначить Фробениуса. В 1893 году он вернулся в Берлин, где был избран депутатом Прусская Академия Наук.

Вклад в теорию групп

Теория групп был одним из основных интересов Фробениуса во второй половине его карьеры. Одним из его первых вкладов было доказательство Теоремы Силова для абстрактных групп. Более ранние доказательства были для группы перестановок. Его доказательство первой теоремы Силова (о существовании силовских групп) - одно из часто используемых сегодня.

  • Фробениус также доказал следующую фундаментальную теорему: если натуральное число п делит порядок |грамм| из конечная группа грамм, то количество решений уравнения Иксп = 1 дюйм грамм равно кн для некоторого положительного целого числаk. Он также поставил следующую проблему: если в приведенной выше теореме k = 1, то решения уравнения Иксп = 1 дюйм грамм образуют подгруппу. Много лет назад эта проблема была решена для разрешимые группы.[3] Только в 1991 г., после классификация конечных простых групп, эта проблема решилась в общем.

Более важным было создание им теории группа персонажей и групповые представления, которые являются фундаментальным инструментом для изучения структуры групп. Эта работа привела к понятию Взаимность Фробениуса и определение того, что сейчас называется Группы Фробениуса. Группа грамм называется группой Фробениуса, если существует подгруппа ЧАС < грамм такой, что

для всех .

В этом случае набор

вместе с элементом идентичности грамм образует подгруппу, которая нильпотентный в качестве Джон Г. Томпсон показали в 1959 году.[4] Все известные доказательства этой теоремы используют характеры. В своей первой статье о персонажах (1896 г.) Фробениус построил таблицу символов группы порядка (1/2) (п3 - p) для всех нечетных простых чиселп (эта группа проста при условиип > 3). Он также внес фундаментальный вклад в теория представлений симметрических и знакопеременных групп.

Вклад в теорию чисел

Фробениус ввел канонический способ превращения простых чисел в классы сопряженности в Группы Галуа над Q. В частности, если K/Q является конечным расширением Галуа, то на каждое (положительное) простое число п что не разветвляться в K и каждому первому идеалу п лежа на п в K есть уникальный элемент грамм Гал (K/Q) удовлетворяющие условию грамм(Икс) = Иксп (модп) для всех целых чисел Икс из K. Различный п над п изменения грамм в конъюгат (и каждый конъюгат грамм происходит таким образом), поэтому класс сопряженности грамм в группе Галуа канонически ассоциируется с п. Это называется классом сопряженности Фробениуса п и любой элемент класса сопряженности называется элементом Фробениуса п. Если взять за K то мth круговое поле, чья группа Галуа над Q это единицы по модулю м (и, таким образом, абелева, поэтому классы сопряженности становятся элементами), то для п не делящий м класс Фробениуса в группе Галуа есть п модм. С этой точки зрения распределение классов сопряженности Фробениуса в группах Галуа над Q (или, в более общем смысле, группы Галуа над любым числовым полем) обобщает классический результат Дирихле о простых числах в арифметических прогрессиях. Изучение групп Галуа расширений бесконечной степени Q в решающей степени зависит от этой конструкции элементов Фробениуса, которая обеспечивает в некотором смысле плотное подмножество элементов, доступных для подробного изучения.

Смотрите также

Публикации

Рекомендации

  1. ^ «Родился в Берлине». 26 октября 2010 г.
  2. ^ а б "Биография". 26 октября 2010 г.
  3. ^ Холл, Маршалл младший (1999). Теория групп (2-е изд.). Провиденс, Род-Айленд: AMS Chelsea. С. 145–146. ISBN  0-8218-1967-4. Теорема 9.4.1., п. 145, в Google Книги
  4. ^ Томпсон, Дж. Г. (1959). «Нормальные p-дополнения для конечных групп». Mathematische Zeitschrift. 72: 332. Дои:10.1007 / BF01162958.

внешняя ссылка