Многообразие Фробениуса - Frobenius manifold

В математической области дифференциальная геометрия, а Многообразие Фробениуса, представленный Дубровиным,^[1] это квартира Риманово многообразие с некоторой согласованной мультипликативной структурой на касательное пространство. Концепция обобщает понятие Алгебра Фробениуса касательным пучкам.

Многообразия Фробениуса естественным образом возникают в предмете симплектическая топология, более конкретно квантовые когомологии. Самое широкое определение относится к категории римановых супермногообразия. Мы ограничимся здесь рассмотрением гладких (реальных) многообразий. Возможно также ограничение на комплексные многообразия.

Определение

Позволять M - гладкое многообразие. An аффинная квартира структура на M это пучок Т^ж векторных пространств, поточечно охватывающих TM касательное расслоение и касательная скобка пар его сечений исчезают.

В качестве местного примера рассмотрим координатные векторные поля на карте M. Многообразие допускает аффинную плоскую структуру, если можно склеить такие векторные поля для покрывающего семейства карт.

Пусть далее дано Риманова метрика грамм на M. Он совместим с плоской конструкцией, если грамм(Икс, Y) локально постоянна для всех плоских векторных полей Икс иY.

Риманово многообразие допускает согласованную аффинную плоскую структуру тогда и только тогда, когда его тензор кривизны везде пропадает.

Семья коммутативные продукты * на TM эквивалентно разделу А из S²(Т^*M) ⊗ TM через

${\displaystyle X*Y=A(X,Y).\,}$

Нам дополнительно требуется свойство

${\displaystyle g(X*Y,Z)=g(X,Y*Z).\,}$

Следовательно, состав грамм^#∘А симметричный 3-тензор.

Отсюда, в частности, следует, что линейное многообразие Фробениуса (M, грамм, *) с постоянным произведением является алгеброй Фробениуса M.

Данный (грамм, Т^ж, А), а местный потенциал Φ - локальная гладкая функция такая, что

${\displaystyle g(A(X,Y),Z)=X[Y[Z[\Phi ]]]\,}$

для всех плоских векторных полей Икс, Y, иZ.

А Многообразие Фробениуса (M, грамм, *) теперь является плоским римановым многообразием (M, грамм) с симметричным 3-тензором А который всюду допускает локальный потенциал и ассоциативен.

Элементарные свойства

Ассоциативность произведения * эквивалентна следующей квадратичной PDE в местном потенциале Φ

${\displaystyle \Phi _{,abe}g^{ef}\Phi _{,cdf}=\Phi _{,ade}g^{ef}\Phi _{,bcf}\,}$

где подразумевается соглашение Эйнштейна о суммах, Φ_{, а} обозначает частную производную функции Φ по координатному векторному полю ∂ / ∂Икс^а которые все считаются плоскими. грамм^ef - коэффициенты обратной метрики.

Поэтому уравнение называется уравнением ассоциативности или уравнением Виттена – Дейкграфа – Верлинде – Верлинде (ВДВВ).

Примеры

Помимо алгебр Фробениуса, примеры возникают из квантовых когомологий. А именно, учитывая полуположительный симплектическое многообразие (M, ω), то существует открытая окрестность U 0 в четном квантовые когомологии QH^четное(M, ω) с кольцом Новикова над C такой, что большой квантовый продукт *_а за а в U аналитический. Сейчас же U вместе с форма пересечения грамм = <·, ·> - (комплексное) многообразие Фробениуса.

Второй большой класс примеров многообразий Фробениуса связан с теорией особенностей. А именно, пространство миниверсальных деформаций изолированной особенности имеет структуру многообразия Фробениуса. Эта структура многообразия Фробениуса также относится к Кёдзи Сайто примитивные формы.

Рекомендации

1. Б. Дубровин: Геометрия двумерных топологических теорий поля. В: Springer LNM, 1620 (1996), стр. 120–348.

2. Ю.И. Манин, С.А.Меркулов: Полупростые фробениусовы (супер) многообразия и квантовые когомологии п^р, Тополь. Методы в нелинейных Анализ 9 (1997), стр. 107–161.