Фермионное поле - Fermionic field

В квантовая теория поля, а фермионное поле это квантовое поле чей кванты находятся фермионы; то есть они подчиняются Статистика Ферми – Дирака. Фермионные поля подчиняются канонические антикоммутационные отношения а не канонические коммутационные соотношения из бозонные поля.

Наиболее ярким примером фермионного поля является поле Дирака, которое описывает фермионы с вращение -1/2: электроны, протоны, кварки и др. Поле Дирака можно описать как 4-компонентное спинор или в виде пары 2-компонентных спиноров Вейля. Спин-1/2 Майорана фермионы, например, гипотетический нейтралино, можно описать как зависимую 4-компонентную Майорана спинор или один 2-компонентный спинор Вейля. Неизвестно, были ли нейтрино майорановский фермион или Фермион Дирака; наблюдение безнейтринный двойной бета-распад экспериментально разрешил бы этот вопрос.

Основные свойства

Свободные (невзаимодействующие) фермионные поля подчиняются канонические антикоммутационные отношения; т.е. задействовать антикоммутаторы {а, б} = ab + ба, а не коммутаторы [а, б] = ab − ба бозонной или стандартной квантовой механики. Эти соотношения справедливы и для взаимодействующих фермионных полей в картинка взаимодействия, где поля эволюционируют во времени, как если бы они были свободными, а эффекты взаимодействия закодированы в эволюции состояний.

Именно из этих антикоммутационных соотношений следует статистика Ферми – Дирака для квантов поля. Они также приводят к Принцип исключения Паули: две фермионные частицы не могут находиться в одном и том же состоянии одновременно.

Поля Дирака

Ярким примером фермионного поля со спином 1/2 является Поле Дирака (названный в честь Поль Дирак ) и обозначается ${\displaystyle \psi (x)}$. Уравнение движения частицы со свободным спином 1/2 - это уравнение Уравнение Дирака,

${\displaystyle \left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m\right)\psi (x)=0.\,}$

куда ${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$ находятся гамма-матрицы и ${\displaystyle m}$ масса. Простейшие возможные решения этого уравнения - решения плоских волн, ${\displaystyle \psi _{1}(x)=u(p)e^{-ip.x}\,}$ и ${\displaystyle \psi _{2}(x)=v(p)e^{ip.x}\,}$. Эти плоская волна решения составляют основу фурье-компонент ${\displaystyle \psi (x)}$, с учетом общего разложения волновой функции следующим образом:

${\displaystyle \psi (x)=\int {\frac {d^{3}p}{(2\pi )^{3}}}{\frac {1}{\sqrt {2E_{p}}}}\sum _{s}\left(a_{\mathbf {p} }^{s}u^{s}(p)e^{-ip\cdot x}+b_{\mathbf {p} }^{s\dagger }v^{s}(p)e^{ip\cdot x}\right).\,}$

ты и v спиноры, помеченные спином, s. Для электрона частица со спином 1/2, s = +1/2 или s = −1 / 2. Коэффициент энергии является результатом наличия инвариантной лоренц-инвариантной меры интегрирования. В второе квантование, ${\displaystyle \psi (x)}$ повышается до оператора, поэтому коэффициенты его мод Фурье также должны быть операторами. Следовательно, ${\displaystyle a_{\mathbf {p} }^{s}}$ и ${\displaystyle b_{\mathbf {p} }^{s\dagger }}$ являются операторами. Свойства этих операторов можно определить по свойствам поля. ${\displaystyle \psi (x)}$ и ${\displaystyle \psi (y)^{\dagger }}$ подчиняются антикоммутационным соотношениям:

${\displaystyle \left\{\psi _{a}(\mathbf {x} ),\psi _{b}^{\dagger }(\mathbf {y} )\right\}=\delta ^{(3)}(\mathbf {x} -\mathbf {y} )\delta _{ab},}$

куда а и б - спинорные индексы. Мы накладываем антикоммутаторное отношение (в отличие от коммутационное отношение как мы делаем для бозонное поле ), чтобы операторы были совместимы с Статистика Ферми – Дирака. Добавив расширения для ${\displaystyle \psi (x)}$ и ${\displaystyle \psi (y)}$, можно вычислить антикоммутационные соотношения для коэффициентов.

${\displaystyle \left\{a_{\mathbf {p} }^{r},a_{\mathbf {q} }^{s\dagger }\right\}=\left\{b_{\mathbf {p} }^{r},b_{\mathbf {q} }^{s\dagger }\right\}=(2\pi )^{3}\delta ^{3}(\mathbf {p} -\mathbf {q} )\delta ^{rs},\,}$

Подобно нерелятивистским операторам уничтожения и рождения и их коммутаторам, эти алгебры приводят к физической интерпретации, что ${\displaystyle a_{\mathbf {p} }^{s\dagger }}$ создает фермион импульса п и спин s, и ${\displaystyle b_{\mathbf {q} }^{r\dagger }}$ создает антифермион импульса q и вращать р. Общее поле ${\displaystyle \psi (x)}$ теперь рассматривается как взвешенное (по энергетическому фактору) суммирование по всем возможным спинам и импульсам для создания фермионов и антифермионов. Его сопряженное поле, ${\displaystyle {\overline {\psi }}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \psi ^{\dagger }\gamma ^{0}}$, наоборот, взвешенное суммирование по всем возможным спинам и импульсам для аннигилирования фермионов и антифермионов.

Поняв моды поля и определив сопряженное поле, можно построить лоренц-инвариантные величины для фермионных полей. Самый простой - это количество ${\displaystyle {\overline {\psi }}\psi \,}$. Это и есть причина выбора ${\displaystyle {\overline {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}}$Чисто. Это потому, что общее преобразование Лоренца на ${\displaystyle \psi }$ не является унитарный так количество ${\displaystyle \psi ^{\dagger }\psi }$ не будет инвариантным относительно таких преобразований, поэтому включение ${\displaystyle \gamma ^{0}\,}$ это исправить. Другой возможный ненулевой Инвариант Лоренца величина с точностью до полного сопряжения, построенная из фермионных полей, равна ${\displaystyle {\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi }$.

Поскольку линейные комбинации этих величин также лоренц-инвариантны, это естественным образом приводит к Плотность лагранжиана для поля Дирака требованием, чтобы Уравнение Эйлера – Лагранжа. системы восстанавливают уравнение Дирака.

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{D}={\overline {\psi }}\left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m\right)\psi \,}$

Индексы такого выражения подавлены. При повторном введении полное выражение

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{D}={\overline {\psi }}_{a}\left(i\gamma _{ab}^{\mu }\partial _{\mu }-m\mathbb {I} _{ab}\right)\psi _{b}\,}$

В Гамильтониан (энергия ) плотность также можно построить, определив сначала импульс, канонически сопряженный с ${\displaystyle \psi (x)}$, называется ${\displaystyle \Pi (x):}$

${\displaystyle \Pi \ {\overset {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\partial {\mathcal {L}}_{D}}{\partial (\partial _{0}\psi )}}=i\psi ^{\dagger }\,.}$

С этим определением ${\displaystyle \Pi }$, плотность гамильтониана равна:

${\displaystyle {\mathcal {H}}_{D}={\overline {\psi }}\left[-i{\vec {\gamma }}\cdot {\vec {\nabla }}+m\right]\psi \,,}$

куда ${\displaystyle {\vec {\nabla }}}$ это стандарт градиент пространственно-подобных координат, и ${\displaystyle {\vec {\gamma }}}$ - вектор пространственноподобного ${\displaystyle \gamma }$ матрицы. Удивительно, что плотность гамильтониана не зависит от производной по времени от ${\displaystyle \psi }$, прямо, но выражение верное.

Учитывая выражение для ${\displaystyle \psi (x)}$ мы можем построить Фейнмана пропагатор для фермионного поля:

${\displaystyle D_{F}(x-y)=\left\langle 0\left|T(\psi (x){\overline {\psi }}(y))\right|0\right\rangle }$

мы определяем по расписанию продукт для фермионов со знаком минус из-за их антикоммутирующей природы

${\displaystyle T\left[\psi (x){\overline {\psi }}(y)\right]\ {\overset {\text{def}}{=}}\ \theta \left(x^{0}-y^{0}\right)\psi (x){\overline {\psi }}(y)-\theta \left(y^{0}-x^{0}\right){\overline {\psi }}(y)\psi (x).}$

Подставляя наше разложение для плоской волны для поля фермионов в приведенное выше уравнение, получаем:

${\displaystyle D_{F}(x-y)=\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {i({p\!\!\!/}+m)}{p^{2}-m^{2}+i\epsilon }}e^{-ip\cdot (x-y)}}$

где мы использовали Слэш Фейнмана обозначение. Этот результат имеет смысл, поскольку множитель

${\displaystyle {\frac {i({p\!\!\!/}+m)}{p^{2}-m^{2}}}}$

является просто обратным оператору, действующему на ${\displaystyle \psi (x)}$ в уравнении Дирака. Отметим, что пропагатор Фейнмана для поля Клейна – Гордона обладает тем же свойством. Поскольку все разумные наблюдаемые (такие как энергия, заряд, число частиц и т. Д.) Построены из четного числа фермионных полей, соотношение коммутации исчезает между любыми двумя наблюдаемыми в точках пространства-времени за пределами светового конуса. Как мы знаем из элементарной квантовой механики, две одновременно коммутирующие наблюдаемые можно измерить одновременно. Поэтому мы правильно реализовали Лоренц-инвариантность для поля Дирака и сохранил причинность.

Более сложные теории поля с участием взаимодействий (например, Теория Юкавы, или же квантовая электродинамика ) также можно анализировать различными пертурбативными и непертурбативными методами.

Поля Дирака - важная составляющая Стандартная модель.

Смотрите также

• Уравнение Дирака
• Уравнения Эйнштейна – Максвелла – Дирака.
• Теорема спин-статистики
• Спинор

Рекомендации

• Эдвардс, Д. (1981). "Математические основы квантовой теории поля: фермионы, калибровочные поля и суперсимметрия, часть I: теории поля на решетке". Int. J. Theor. Phys. 20 (7): 503–517. Bibcode:1981IJTP ... 20..503E. Дои:10.1007 / BF00669437.
• Пескин, М., Шредер, Д. (1995). Введение в квантовую теорию поля, Westview Press. (См. Страницы 35–63.)
• Средницки, Марк (2007). Квантовая теория поля, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-86449-7.
• Вайнберг, Стивен (1995). Квантовая теория полей, (3 тома) Cambridge University Press.