Супермногообразие - Supermanifold

В физика и математика, супермногообразия являются обобщениями многообразие концепция, основанная на идеях, исходящих от суперсимметрия. Используются несколько определений, некоторые из которых описаны ниже.

Неформальное определение

Неформальное определение обычно используется в учебниках физики и вводных лекциях. Он определяет супермногообразие как многообразие с обоими бозонный и фермионный координаты. На местном уровне он состоит из карты координат которые делают его похожим на "плоский", "евклидово" суперпространство. Эти локальные координаты часто обозначают как

${\displaystyle (x,\theta ,{\bar {\theta }})}$

куда Икс это (с действительным числом) пространство-время координировать и ${\displaystyle \theta \,}$ и ${\displaystyle {\bar {\theta }}}$ находятся Грассмановозначный пространственные «направления».

Физическая интерпретация грассмановозначных координат является предметом споров; явные экспериментальные поиски суперсимметрия не дали положительных результатов. Однако использование переменных Грассмана позволяет значительно упростить ряд важных математических результатов. Это включает, среди прочего, компактное определение функциональные интегралы, правильное обращение с призраками в BRST квантование, сокращение бесконечностей в квантовая теория поля, Работа Виттена над Теорема Атьи-Зингера об индексе, и более свежие приложения для зеркальная симметрия.

Использование грассмановозначных координат породило поле суперматематика, в котором большие части геометрии могут быть обобщены до суперэквивалентов, включая большую часть Риманова геометрия и большая часть теории Группы Ли и Алгебры Ли (Такие как Супералгебры Ли, и Т. Д.) Однако остаются проблемы, в том числе правильное расширение когомологии деРама супермногообразиям.

Определение

Используются три разных определения супермногообразия. Одно определение - это как пучок над окольцованным пространством; это иногда называют «алгебро-геометрическим подходом».^[1] Этот подход обладает математической элегантностью, но может быть проблематичным при различных вычислениях и интуитивном понимании. Второй подход можно назвать «конкретным подходом»;^[1] поскольку он способен просто и естественно обобщать широкий класс понятий из обычной математики. Это требует использования бесконечного числа суперсимметричных генераторов в своем определении; однако все эти генераторы, кроме конечного числа, не несут никакого содержания, поскольку конкретный подход требует использования грубой топологии, которая делает почти все из них эквивалентными. Удивительно, но эти два определения, одно с конечным числом суперсимметричных образующих, а другое с бесконечным числом образующих, эквивалентны.^[1][2]

Третий подход описывает супермногообразие как базовые топосы из суперточка. Этот подход остается предметом активных исследований.^[3]

Алгебро-геометрическая: как пучок

Хотя супермногообразия являются частными случаями некоммутативные многообразия, их местная структура делает их более пригодными для обучения с помощью стандартных инструментов. дифференциальная геометрия и локально окольцованные пространства.

Супермногообразие M измерения (р, д) это топологическое пространство M с пучок из супералгебры, обычно обозначается О_M или C^∞(M), который локально изоморфен ${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ^{p})\otimes \Lambda ^{\bullet }(\xi _{1},\dots \xi _{q})}$, где последняя является алгеброй Грассмана на q генераторы.

Супермногообразие M измерения (1,1) иногда называют суперриманова поверхность.

Исторически такой подход связан с Феликс Березин, Димитрий Лейтес, и Бертрам Костант.

Бетон: как гладкий коллектор

Другое определение описывает супермногообразие способом, аналогичным определению гладкое многообразие, за исключением того, что пространство модели ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p}}$ был заменен модель суперпространства ${\displaystyle \mathbb {R} _{c}^{p}\times \mathbb {R} _{a}^{q}}$.

Чтобы правильно это определить, необходимо объяснить, что ${\displaystyle \mathbb {R} _{c}}$ и ${\displaystyle \mathbb {R} _{a}}$ находятся. Они задаются как четные и нечетные вещественные подпространства одномерного пространства Числа Грассмана, которые, по соглашению, порождаются счетно бесконечным числом антикоммутирующих переменных: то есть одномерное пространство задается формулой ${\displaystyle \mathbb {C} \otimes \Lambda (V),}$ куда V бесконечномерно. Элемент z Называется настоящий если ${\displaystyle z=z^{*}}$; вещественные элементы, состоящие только из четного числа грассмановых генераторов, образуют пространство ${\displaystyle \mathbb {R} _{c}}$ из c-числа, а вещественные элементы, состоящие только из нечетного числа образующих Грассмана, образуют пространство ${\displaystyle \mathbb {R} _{a}}$ из числа. Обратите внимание, что c-числа коммутируют, а числа антикоммутируют. Пространства ${\displaystyle \mathbb {R} _{c}^{p}}$ и ${\displaystyle \mathbb {R} _{a}^{q}}$ тогда определяются как п-сложить и q-складные декартовы произведения ${\displaystyle \mathbb {R} _{c}}$ и ${\displaystyle \mathbb {R} _{a}}$.^[4]

Как и в случае с обычным многообразием, супермногообразие определяется как совокупность графики склеены с дифференцируемыми функциями перехода.^[4] Это определение в терминах диаграмм требует, чтобы функции перехода имели гладкая структура и не исчезающий Якобиан. Это может быть достигнуто только в том случае, если отдельные диаграммы используют топология то есть значительно грубее чем топология векторного пространства на алгебре Грассмана. Эта топология получается путем проектирования ${\displaystyle \mathbb {R} _{c}^{p}}$ вплоть до ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p}}$ а затем используя естественную топологию. Результирующая топология нет Хаусдорф, но может быть назван «проективно Хаусдорфовым».^[4]

То, что это определение эквивалентно первому, вовсе не очевидно; однако именно использование грубой топологии делает это так, делая большинство "точек" идентичными. То есть, ${\displaystyle \mathbb {R} _{c}^{p}\times \mathbb {R} _{a}^{q}}$ с грубой топологией существенно изоморфна^[1][2] к ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p}\otimes \Lambda ^{\bullet }(\xi _{1},\dots \xi _{q})}$

Исторически такой подход связан с Элис Роджерс, Брайс ДеВитт и работы Ядчика и Пильча.^[5]

Характеристики

В отличие от регулярного многообразия, супермногообразие не полностью состоит из набора точек. Вместо этого используется двойственная точка зрения, согласно которой структура супермногообразия M содержится в его связке О_M «гладких функций». С двойственной точки зрения, инъективное отображение соответствует сюръекции пучков, а сюръективное отображение соответствует инъекции пучков.

Альтернативный подход к двойной точке зрения состоит в использовании функтор точек.

Если M является супермногообразием размерности (р, д), то основное пространство M наследует структуру дифференцируемое многообразие пучок гладких функций которого О_M/Я, куда я это идеальный генерируется всеми нечетными функциями. Таким образом M называется нижележащим пространством или телом M. Факторная карта О_M → О_M/Я соответствует инъективному отображению M → M; таким образом M является подмногообразием M.

Примеры

• Позволять M быть многообразием. В нечетный касательный пучок ΠTM является супермногообразием, заданным пучком Ω (M) дифференциальных форм на M.
• В общем, пусть E → M быть векторный набор. Тогда ΠE - супермногообразие, заданное пучком Γ (ΛE^*). Фактически, Π - это функтор из категории векторных расслоений в категорию супермногообразий.
• Супергруппы Ли являются примерами супермногообразий.

Теорема Бэтчелора

Теорема Бэтчелора утверждает, что каждое супермногообразие неканонически изоморфно супермногообразию вида ΠE. Слово «неканонически» не позволяет сделать вывод, что супермногообразия - это просто прославленные векторные расслоения; хотя функтор Π сюръективно отображается на классы изоморфизма супермногообразий, он не является эквивалентностью категорий. Это было опубликовано Марджори Бэтчелор в 1979 г.^[6]

Доказательство теоремы Бэтчелора существенно опирается на существование разделение единства, поэтому это неверно для комплексных или реально аналитических супермногообразий.

Странные симплектические структуры

Странная симплектическая форма

Во многих физических и геометрических приложениях супермногообразие снабжено грассмановым нечетным симплектическая структура. Градуированы все естественные геометрические объекты на супермногообразии. В частности, связка двух форм оснащена градуировкой. Нечетная симплектическая форма ω на супермногообразии - это замкнутая нечетная форма, индуцирующая невырожденное спаривание на TM. Такое супермногообразие называется P-коллектор. Его градуированный размер обязательно (п, п), потому что нечетная симплектическая форма индуцирует спаривание нечетных и четных переменных. Существует версия теоремы Дарбу для P-многообразий, которая позволяет локально снабдить P-многообразие набором координат, в котором нечетная симплектическая форма ω записывается как

${\displaystyle \omega =\sum _{i}d\xi _{i}\wedge dx_{i},}$

куда ${\displaystyle x_{i}}$ четные координаты, и ${\displaystyle \xi _{i}}$ нечетные координаты. (Нечетную симплектическую форму не следует путать с четной по Грассману. симплектическая форма на супермногообразии. Напротив, версия Дарбу четной симплектической формы есть

${\displaystyle \sum _{i}dp_{i}\wedge dq_{i}+\sum _{j}{\frac {\varepsilon _{j}}{2}}(d\xi _{j})^{2},}$

куда ${\displaystyle p_{i},q_{i}}$ четные координаты, ${\displaystyle \xi _{i}}$ нечетные координаты и ${\displaystyle \varepsilon _{j}}$ равны +1 или -1.)

Антибрекет

Для нечетной симплектической 2-формы ω можно определить Скобка Пуассона известный как антибрекет любых двух функций F и грамм на супермногообразии

${\displaystyle \{F,G\}={\frac {\partial _{r}F}{\partial z^{i}}}\omega ^{ij}(z){\frac {\partial _{l}G}{\partial z^{j}}}.}$

Здесь ${\displaystyle \partial _{r}}$ и ${\displaystyle \partial _{l}}$ правые и левые производные соответственно и z - координаты супермногообразия. С этой скобкой алгебра функций на супермногообразии становится алгебра антискобок.

А преобразование координат который сохраняет антискобку, называется П-преобразование. Если Березинский P-преобразования равен единице, то оно называется SP-преобразование.

P- и SP-многообразия

С использованием Теорема Дарбу для нечетных симплектических форм можно показать, что P-многообразия строятся из открытых множеств суперпространств ${\displaystyle {\mathcal {R}}^{n|n}}$ склеены P-преобразованиями. Многообразие называется SP-коллектор если эти переходные функции могут быть выбраны как SP-преобразования. Эквивалентно можно определить SP-многообразие как супермногообразие с невырожденной нечетной 2-формой ω и функция плотности ρ такое, что на каждом координата патч существуют Координаты Дарбу в котором ρ тождественно равно единице.

Лапласиан

Можно определить Оператор лапласа Δ на SP-многообразии как оператор, принимающий функцию ЧАС одной половине расхождение соответствующих Гамильтоново векторное поле. Явно определяется

${\displaystyle \Delta H={\frac {1}{2\rho }}{\frac {\partial _{r}}{\partial z^{a}}}\left(\rho \omega ^{ij}(z){\frac {\partial _{l}H}{\partial z^{j}}}\right)}$.

В координатах Дарбу это определение сводится к

${\displaystyle \Delta ={\frac {\partial _{r}}{\partial x^{a}}}{\frac {\partial _{l}}{\partial \theta _{a}}}}$

куда Икс^а и θ_а - четные и нечетные координаты такие, что

${\displaystyle \omega =dx^{a}\wedge d\theta _{a}}$.

Лапласиан нечетный и нильпотентный

${\displaystyle \Delta ^{2}=0}$.

Можно определить когомология функций ЧАС относительно лапласиана. В Геометрия квантования Баталина-Вилковиского, Альберт Шварц доказал, что интеграл от функции ЧАС через Лагранжево подмногообразие L зависит только от класса когомологий ЧАС и на гомология класс тела L в теле объемлющего супермногообразия.

SUSY

Пред-SUSY-структура на супермногообразии размерности(п, м) это странно м-размерное распределение ${\displaystyle P\subset TM}$С таким распределением ассоциируется его тензор Фробениуса ${\displaystyle S^{2}P\mapsto TM/P}$(поскольку п нечетно, кососимметричный тензор Фробениуса является симметричной операцией) .Если этот тензор невырожден, например лежит на открытой орбите ${\displaystyle GL(P)\times GL(TM/P)}$,M называется SUSY-многообразие.SUSY-структура в размерности (1, к)то же самое, что и нечетное структура контактов.

Смотрите также

• Суперпространство
• Суперсимметрия
• Супергеометрия
• Градуированный коллектор
• Формализм Баталина – Вилковиского

Рекомендации

1. Элис Роджерс, Супермногообразия: теория и приложения., World Scientific, (2007) ISBN  978-981-3203-21-1 (Видеть Глава 1 )
2. Роджерс, Соч. Cit. (См. Главу 8.)
3. супермногообразие в nLab
4. Брайс ДеВитт, Супермногообразия, (1984) Издательство Кембриджского университета ISBN  0521 42377 5 (См. Главу 2.)
5. А. Ядчик, К. Пильч "Суперпространства и суперсимметрии ". Comm. Математика. Phys. 78 (1980), нет. 3. С. 373--390.
6. Бэтчелор, Марджори (1979), "Структура супермногообразий", Труды Американского математического общества, 253: 329–338, Дои:10.2307/1998201, МИСТЕР  0536951

• Джозеф Бернштейн "Лекции по суперсимметрии (заметки Денниса Гайцгори) ", Программа квантовой теории поля в IAS: осенний семестр
• А. Шварц »,Геометрия квантования Баталина-Вилковиского ", ArXiv hep-th / 9205088
• К. Барточчи, У. Бруццо, Д. Эрнандес Руйперес, Геометрия супермногообразия. (Клувер, 1991) ISBN  0-7923-1440-9
• Л. Манджиаротти, Г. Сарданашвили, Связи в классической и квантовой теории поля (World Scientific, 2000) ISBN  981-02-2013-8 (arXiv:0910.0092 )

внешняя ссылка

• Супермногообразия: неполный обзор в Manifold Atlas.