Категория Фукая - Fukaya category

В симплектическая топология, дисциплина в математике, Категория Фукая из симплектическое многообразие ${\displaystyle (M,\omega )}$ это категория ${\displaystyle {\mathcal {F}}(M)}$ чьи объекты Лагранжевы подмногообразия из ${\displaystyle M}$, и морфизмы находятся Группы цепей Floer: ${\displaystyle \mathrm {Hom} (L_{0},L_{1})=FC(L_{0},L_{1})}$. Его более тонкую структуру можно описать языком квазикатегории как А_∞-категория.

Они названы в честь Кенджи Фукая кто представил ${\displaystyle A_{\infty }}$ язык прежде всего в контексте Гомологии Морса,^[1] и существуют в нескольких вариантах. Поскольку категории Фукая А_∞-категории, они связаны производные категории, которые являются предметом знаменитых гомологическая зеркальная симметрия гипотеза о Максим Концевич.^[2] Эта гипотеза была подтверждена расчетами на ряде сравнительно простых примеров.

Формальное определение

Позволять ${\displaystyle (X,\omega )}$ - симплектическое многообразие. Для каждой пары Лагранжевы подмногообразия ${\displaystyle L_{0},L_{1}\subset X}$, предположим, что они пересекаются трансверсально, тогда определим коцепной комплекс Флоера ${\displaystyle CF^{*}(L_{0},L_{1})}$ который является модулем, порожденным точками пересечения ${\displaystyle L_{0}\cap L_{1}}$. Коцепной комплекс Флоера рассматривается как множество морфизмов из ${\displaystyle L_{0}}$ к ${\displaystyle L_{1}}$. Категория Фукая - это ${\displaystyle A_{\infty }}$ категория, означающая, что помимо обычных композиций, есть более высокие композиционные карты

${\displaystyle \mu _{d}:CF^{*}(L_{d-1},L_{d})\otimes CF^{*}(L_{d-2},L_{d-1})\otimes \cdots \otimes CF^{*}(L_{1},L_{2})\otimes CF^{*}(L_{0},L_{1})\to CF^{*}(L_{0},L_{d}).}$

Это определяется следующим образом. Выберите совместимый почти сложная структура ${\displaystyle J}$ на симплектическом многообразии ${\displaystyle (X,\omega )}$. Для генераторов ${\displaystyle p_{d-1d},\ldots ,p_{01}}$ комплексов коцепей слева и любой образующей ${\displaystyle q_{0d}}$ коцепного комплекса справа пространство модулей ${\displaystyle J}$-голоморфные многоугольники с ${\displaystyle d+1}$ лица с каждым лицом, отображенным в ${\displaystyle L_{0},L_{1},\ldots ,L_{d}}$ имеет счет

${\displaystyle n(p_{d-1d},\ldots ,p_{01};q_{0d})}$

в кольце коэффициентов. Затем определите

${\displaystyle \mu _{d}(p_{d-1d},\ldots ,p_{01})=\sum _{q_{0d}\in L_{0}\cap L_{d}}n(p_{d-1d},\ldots ,p_{01})\cdot q_{0d}\in CF^{*}(L_{0},L_{d})}$

и продлить ${\displaystyle \mu _{d}}$ мультилинейным способом.

Последовательность высших сочинений ${\displaystyle \mu _{1},\mu _{2},\ldots ,}$ удовлетворить ${\displaystyle A_{\infty }}$ связь, поскольку границы различных пространств модулей голоморфных многоугольников соответствуют конфигурациям вырожденных многоугольников.

Смотрите также

• Гомотопическая ассоциативная алгебра

Рекомендации

1. Кенджи Фукая, Гомотопия Морзе, ${\displaystyle A_{\infty }}$ категория и гомологии Флоера, Препринт ИИГС № 020-94 (1993)
2. Концевич Максим, Гомологическая алгебра зеркальной симметрии, Труды Международного конгресса математиков, Vol. 1, 2 (Цюрих, 1994), 120–139, Birkhäuser, Базель, 1995.

• Дени Ауроу, Введение в категории Фукая для новичков.

• Пауль Зайдель, Категории Фукая и теория Пикара-Лефшеца. Цюрихские лекции по высшей математике
• Фукая, Кендзи; О, Ён-Гын; Охта, Хироши; Оно, Каору (2009), Теория Флоера лагранжевых пересечений: аномалия и препятствие. Часть I, Исследования AMS / IP по высшей математике, 46, Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд; International Press, Сомервилль, Массачусетс, ISBN  978-0-8218-4836-4, МИСТЕР  2553465
• Фукая, Кендзи; О, Ён-Гын; Охта, Хироши; Оно, Каору (2009), Теория Флоера лагранжевых пересечений: аномалия и препятствие. Часть II, Исследования AMS / IP по высшей математике, 46, Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд; International Press, Сомервилль, Массачусетс, ISBN  978-0-8218-4837-1, МИСТЕР  2548482
• В нить на MathOverflow «Определена ли категория Фукая?»