Гомологическая зеркальная симметрия - Homological mirror symmetry

Для использования в других целях см. Зеркальная симметрия (значения).

Гомологическая зеркальная симметрия это математический догадка сделан Максим Концевич. Он ищет систематическое математическое объяснение явления, называемого зеркальная симметрия впервые наблюдали физики, изучающие теория струн.

История

В обращении к 1994 г. Международный конгресс математиков в Цюрих, Концевич (1994) предположил, что зеркальная симметрия для пары Многообразия Калаби – Яу. Икс и Y можно объяснить как эквивалент триангулированная категория построенный из алгебраическая геометрия из Икс (в производная категория из когерентные пучки на Икс) и другой триангулированной категории, построенной из симплектическая геометрия из Y (производные Категория Фукая ).

Эдвард Виттен первоначально описал топологическое скручивание N = (2,2) суперсимметричная теория поля в то, что он назвал моделью A и B топологические теории струн^{[нужна цитата ]}. Эти модели относятся к отображению римановых поверхностей в фиксированную цель - обычно многообразие Калаби – Яу. Большинство математических предсказаний зеркальной симметрии заключено в физической эквивалентности A-модели на Y с B-моделью на зеркале Икс. Когда римановы поверхности имеют пустую границу, они представляют собой мировые листы замкнутых струн. Чтобы охватить случай открытых струн, необходимо ввести граничные условия для сохранения суперсимметрии. В A-модели эти граничные условия имеют вид Лагранжевы подмногообразия из Y с некоторой дополнительной структурой (часто называемой структурой браны). В B-модели граничные условия представлены в виде голоморфных (или алгебраических) подмногообразий Икс с голоморфными (или алгебраическими) векторными расслоениями на них. Это объекты, которые используются для построения соответствующих категорий.^{[нужна цитата ]}. Их часто называют бранами A и B. Морфизмы в категориях задаются безмассовым спектром открытых струн, натянутых между двумя бранами.^{[нужна цитата ]}.

Модели замкнутой струны A и B охватывают только так называемый топологический сектор - небольшую часть полной теории струн. Точно так же браны в этих моделях являются лишь топологическими приближениями к полным динамическим объектам, которые D-браны. Даже в этом случае математика, вытекающая из этого небольшого фрагмента теории струн, была одновременно глубокой и сложной.

Школа математики при Институт перспективных исследований в Принстоне в 2016-17 учебном году планируется провести особый год, посвященный гомологической зеркальной симметрии. Среди заслуженных участников будут Пауль Зайдель из Массачусетский технологический институт, Максим Концевич из IHÉS, и Дени Ору, из Калифорнийский университет в Беркли.^[1]

Примеры

Лишь на нескольких примерах математики смогли проверить гипотезу. В своем основополагающем выступлении Концевич отметил, что гипотеза может быть доказана в случае эллиптические кривые с помощью тета-функции. Следуя по этому маршруту, Александр Полищук и Эрик Заслоу предоставил доказательство версии гипотезы для эллиптических кривых. Кенджи Фукая смог установить элементы гипотезы для абелевы разновидности. Позже Концевич и Ян Сойбельман предоставил доказательство большинства гипотез о невырожденных пучки торов над аффинные многообразия используя идеи из Гипотеза SYZ. В 2003 году Пауль Зайдель доказал эту гипотезу в случае четвертичная поверхность. В 2002 Хаузель и Фаддей (2002) объяснил гипотезу SYZ в контексте системы Хитчина и двойственности Ленглендса.

Ходжа алмаз

Размеры час^п,q пространств гармонических (п,q) -дифференциальные формы (то есть когомологии, т. е. замкнутые формы по модулю точных форм) условно располагаются в форме ромба, называемой Ходж Даймонд. Эти (p, q)-числа Бетти можно вычислить для полные пересечения с помощью производящей функции, описанной Фридрих Хирцебрух.^[2][3][4] Например, для трехмерного многообразия алмаз Ходжа имеет п и q от 0 до 3:

			час^3,3
		час^3,2		час^2,3
	час^3,1		час^2,2		час^1,3
час^3,0		час^2,1		час^1,2		час^0,3
	час^2,0		час^1,1		час^0,2
		час^1,0		час^0,1
			час^0,0

Зеркальная симметрия переводит размерное число (p, q) -й дифференциальной формы час^п,q для исходного коллектора в час^н-п,q этого для многообразия встречных пар. А именно, для любого многообразия Калаби – Яу ромб Ходжа не изменяется поворотом на π радиан, а ромбы Ходжа зеркальных многообразий Калаби – Яу связаны поворотом на π / 2 радиан.

В случае эллиптическая кривая, которое рассматривается как одномерное многообразие Калаби – Яу, алмаз Ходжа особенно прост: это следующий рисунок.

	1
1		1
	1

В случае K3 поверхность, которое рассматривается как двумерное многообразие Калаби – Яу, поскольку Бетти числа равны {1, 0, 22, 0, 1}, их ромб Ходжа - это следующая фигура.

		1
	0		0
1		20		1
	0		0
		1

В трехмерном случае обычно называют Многообразие Калаби – Яу, происходит очень интересная вещь. Иногда встречаются зеркальные пары, скажем M и W, которые имеют симметричные ромбы Ходжа друг относительно друга по диагональной прямой.

M 's алмаз:

			1
		0		0
	0		а		0
1		б		б		1
	0		а		0
		0		0
			1

W 's алмаз:

			1
		0		0
	0		б		0
1		а		а		1
	0		б		0
		0		0
			1

M и W соответствуют A- и B-моделям теории струн. Зеркальная симметрия заменяет не только гомологические размерности, но и симплектическая структура и сложная структура на зеркальных парах. Это источник гомологической зеркальной симметрии.

В 1990–1991 годах Филип Канделас, Ксения К. де ла Осса, Пол С. Грин и др. (1991 ) оказал большое влияние не только на перечислительную алгебраическую геометрию, но и на математику в целом и мотивировал Концевич (1994). Зеркальная пара из двух пятикратные тройки в этой статье есть следующие ромбы Ходжа.

1 0 0 0 1 0 1 101 101 1 0 1 0 0 0 1

1 0 0 0 101 0 1 1 1 1 0 101 0 0 0 1

Смотрите также

• Гипотеза зеркальной симметрии - более математически обоснованная статья
• Топологическая квантовая теория поля
• Теория категорий
• Гомология Флоера
• Категория Фукая
• Производная категория
• Квинтик тройной

Рекомендации

1. Школа математики МАШ: специальный год по гомологической зеркальной симметрии
2. «Алмаз Ходжа полных пересечений». math.stackexchange.com. Получено 2017-03-06.
3. «Таблицы когомологий для полных пересечений». pbelmans.ncag.info. Получено 2017-03-06.
4. Николаеску, Ливиу. «Числа Ходжа полных пересечений» (PDF).

• Канделас, Филипп; де ла Осса, Ксения С .; Грин, Пол С .; Паркс, Линда (1991). «Пара многообразий Калаби-Яу как точно решаемая суперконформная теория». Ядерная физика B. 359 (1): 21–74. Bibcode:1991НуФБ.359 ... 21С. Дои:10.1016/0550-3213(91)90292-6. МИСТЕР  1115626.
• Концевич, Максим (1994). «Гомологическая алгебра зеркальной симметрии». arXiv:alg-geom / 9411018.
• Концевич, Максим; Сойбельман Ян (2000). «Гомологическая зеркальная симметрия и расслоения на тор». arXiv:math.SG/0011041.
• Зайдель, Пол (2003). «Гомологическая зеркальная симметрия для поверхности четвертой степени». arXiv:math.SG/0310414.
• Хаузел, Тамас; Фаддей, Майкл (2002). «Зеркальная симметрия, двойственность Ленглендса и система Хитчина». Inventiones Mathematicae. 153 (1): 197–229. arXiv:math.DG / 0205236. Bibcode:2003InMat.153..197H. Дои:10.1007 / s00222-003-0286-7.