Род мультипликативной последовательности - Genus of a multiplicative sequence

Кобордизм (W; M, N).

В математика, а род мультипликативной последовательности это гомоморфизм колец от звенеть гладкой компактные многообразия с точностью до эквивалентности ограничения гладкого многообразия краем (т.е. до подходящего кобордизм ) на другое кольцо, обычно рациональное число, обладающие тем свойством, что они построены из последовательность многочленов в характеристических классах, которые возникают как коэффициенты в формальных степенных рядах с хорошими мультипликативными свойствами.

Определение

А род ${displaystyle varphi }$ присваивает номер ${displaystyle Phi (X)}$ к каждому коллектору Икс такой, что

1. ${displaystyle Phi (Xsqcup Y)=Phi (X)+Phi (Y)}$ (куда ${displaystyle sqcup }$ - несвязное объединение);
2. ${displaystyle Phi (X imes Y)=Phi (X)Phi (Y)}$;
3. ${displaystyle Phi (X)=0}$ если Икс - край многообразия с краем.

Коллекторы и коллекторы с краем могут потребовать дополнительной конструкции; например, они могут быть ориентированными, вращающимися, стабильно сложными и т. д. (см. список теорий кобордизма для многих других примеров). Значение ${displaystyle Phi (X)}$ находится в каком-то кольце, часто в кольце рациональных чисел, хотя это могут быть и другие кольца, например ${displaystyle mathbb {Z} /2mathbb {Z} }$ или кольцо модульных форм.

Условия на ${displaystyle Phi }$ можно перефразировать, говоря, что ${displaystyle varphi }$ является кольцевым гомоморфизмом кольца кобордизмов многообразий (с дополнительной структурой) в другое кольцо.

Пример: если ${displaystyle Phi (X)}$ это подпись ориентированного многообразия Икс, тогда ${displaystyle Phi }$ является родом от ориентированных многообразий до кольца целых чисел.

Род, связанный с формальным степенным рядом

Основная статья: Мультипликативная последовательность

Последовательность полиномов K₁, K₂, ... в переменных п₁, п₂, ... называется мультипликативный если

${displaystyle 1+p_{1}z+p_{2}z^{2}+dots =(1+q_{1}z+q_{2}z^{2}+cdots )(1+r_{1}z+r_{2}z^{2}+cdots )}$

подразумевает, что

${displaystyle sum _{j}K_{j}(p_{1},p_{2},ldots )z^{j}=sum _{j}K_{j}(q_{1},q_{2},ldots )z^{j}sum _{k}K_{k}(r_{1},r_{2},ldots )z^{k}}$

Если Q(z) это формальный степенной ряд в z с постоянным членом 1, мы можем определить мультипликативную последовательность

${displaystyle K=1+K_{1}+K_{2}+cdots }$

к

${displaystyle K(p_{1},p_{2},p_{3},ldots )=Q(z_{1})Q(z_{2})Q(z_{3})cdots }$

куда п_k это kth элементарная симметричная функция неопределенных z_я. (Переменные п_k на практике часто будет Понтрягина классы.)

Род ориентированных многообразий φ, соответствующих Q дан кем-то

${displaystyle Phi (X)=K(p_{1},p_{2},p_{3},ldots )}$

где п_k являются Понтрягина классы из Икс. Силовой ряд Q называется характеристический степенной ряд рода φ. Теорема Тома, которая утверждает, что рациональные числа, тензорные кольцом кобордизмов, являются алгеброй полиномов от образующих степени 4k для положительных целых чисел k, означает, что это дает биекцию между формальными степенными рядами Q с рациональными коэффициентами и старшим коэффициентом 1, и роды от ориентированных многообразий до рациональных чисел.

Род L

В Род L род формального степенного ряда

${displaystyle {{sqrt {z}} over anh({sqrt {z}})}=sum _{kgeq 0}{frac {2^{2k}B_{2k}z^{k}}{(2k)!}}=1+{z over 3}-{z^{2} over 45}+cdots }$

где числа ${displaystyle B_{2k}}$ являются Числа Бернулли. Первые несколько значений:

${displaystyle L_{0}=1}$

${displaystyle L_{1}={ frac {1}{3}}p_{1}}$

${displaystyle L_{2}={ frac {1}{45}}(7p_{2}-p_{1}^{2})}$

${displaystyle L_{3}={ frac {1}{945}}(62p_{3}-13p_{1}p_{2}+2p_{1}^{3})}$

${displaystyle L_{4}={ frac {1}{14175}}(381p_{4}-71p_{1}p_{3}-19p_{2}^{2}+22p_{1}^{2}p_{2}-3p_{1}^{4})}$

(для дальнейшего L-полиномы см. ^[1] или же OEIS: A237111). Теперь позвольте M - замкнутое гладкое ориентированное многообразие размерности 4п с Понтрягина классы ${displaystyle p_{i}=p_{i}(M).}$ Фридрих Хирцебрух показал, что L род M в измерении 4п оценивается на фундаментальный класс из ${displaystyle M,[M],}$ равно ${displaystyle sigma (M),}$ то подпись из M (т.е. подпись формы пересечения на 2п-я группа когомологий M):

${displaystyle sigma (M)=langle L_{n}(p_{1}(M),ldots ,p_{n}(M)),[M]angle .}$

Теперь это известно как Теорема Хирцебруха о сигнатуре (или иногда Теорема Хирцебруха об индексе).

Дело в том, что L₂ всегда является целым для гладкого многообразия. Джон Милнор чтобы привести пример 8-мерного Коллектор PL без гладкая структура. Числа Понтрягина также могут быть определены для многообразий PL, и Милнор показал, что его многообразие PL имеет нецелое значение п₂, и так было не сглаживать.

Нанесение на поверхности K3

Поскольку проективный K3 поверхности являются гладкими комплексными многообразиями размерности два, их единственные нетривиальные Понтрягин класс является ${displaystyle p_{1}}$ в ${displaystyle H^{4}(X)}$. Его можно вычислить как -48, используя касательную последовательность и сравнения со сложными классами черна. С ${displaystyle L_{1}=-16}$, у нас есть своя подпись. Это можно использовать для вычисления его формы пересечения как унимодулярной решетки, поскольку она имеет ${displaystyle { ext{dim}}(H^{2}(X))=22}$, и используя классификацию унимодулярных решеток.^[2]

Род Тоддов

В Род Тоддов род формального степенного ряда

${displaystyle {frac {z}{1-exp(-z)}}=1+{frac {1}{2}}z+sum _{i=1}^{infty }(-1)^{i+1}{frac {B_{2i}}{(2i)!}}z^{2i}}$

с ${displaystyle B_{2k}}$ как и раньше, числа Бернулли. Первые несколько значений:

${displaystyle Td_{0}=1}$

${displaystyle Td_{1}={frac {1}{2}}c_{1}}$

${displaystyle Td_{2}={frac {1}{12}}left(c_{2}+c_{1}^{2}ight)}$

${displaystyle Td_{3}={frac {1}{24}}c_{1}c_{2}}$

${displaystyle Td_{4}={frac {1}{720}}left(-c_{1}^{4}+4c_{2}c_{1}^{2}+3c_{2}^{2}+c_{3}c_{1}-c_{4}ight)}$

Род Тоддов обладает тем особенным свойством, что он присваивает значение 1 всем комплексным проективным пространствам (т. Е. ${displaystyle mathrm {Td} _{n}(mathbb {CP} ^{n})=1}$), и этого достаточно, чтобы показать, что род Тодда согласуется с арифметическим родом алгебраических многообразий как арифметический род также 1 для комплексных проективных пространств. Это наблюдение является следствием Теорема Хирцебруха – Римана – Роха., и фактически является одним из ключевых достижений, которые привели к формулировке этой теоремы.

 род

В Â род - род, связанный с характеристическим степенным рядом

${displaystyle Q(z)={{sqrt {z}}/2 over sinh({sqrt {z}}/2)}=1-{frac {z}{24}}+{frac {7z^{2}}{5760}}-cdots }$

(Существует также менее распространенный род Â, связанный с характеристическим рядом ${displaystyle Q(16z)}$.) Первые несколько значений

${displaystyle {hat {A}}_{0}=1}$

${displaystyle {hat {A}}_{1}=-{ frac {1}{24}}p_{1}}$

${displaystyle {hat {A}}_{2}={ frac {1}{5760}}(-4p_{2}+7p_{1}^{2})}$

${displaystyle {hat {A}}_{3}={ frac {1}{967680}}(-16p_{3}+44p_{2}p_{1}-31p_{1}^{3})}$

${displaystyle {hat {A}}_{4}={ frac {1}{464486400}}(-192p_{4}+512p_{3}p_{1}+208p_{2}^{2}-904p_{2}p_{1}^{2}+381p_{1}^{4})}$

Род Â спиновый коллектор является целым числом и четным целым числом, если размерность 4 по модулю 8 (что в размерности 4 означает Теорема Рохлина ) - для общих многообразий род Â не всегда целочислен. Это было доказано Hirzebruch и Арман Борель; этот результат был мотивирован и позже объяснен Теорема Атьи – Зингера об индексе, который показал, что род спинового многообразия равен индексу его Оператор Дирака.

Объединив этот результат индекса с Формула Вайтценбока для лапласиана Дирака, Андре Лихнерович пришел к выводу, что если компактное спиновое многообразие допускает метрику положительной скалярной кривизны, его род Â должен обращаться в нуль. Это только создает препятствие для положительной скалярной кривизны, когда размерность кратна 4, но Найджел Хитчин позже обнаружил аналогичный ${displaystyle mathbb {Z} _{2}}$-значное препятствие в размерах 1 или 2 mod 8. Эти результаты по существу резкие. В самом деле, Михаил Громов, Х. Блейн Лоусон, а Стефан Штольц позже доказал, что род В и Хитчин ${displaystyle mathbb {Z} _{2}}$-значные аналоги являются единственными препятствиями к существованию метрик положительной скалярной кривизны на односвязных спиновых многообразиях размерности больше или равной 5.

Эллиптический род

Род называется эллиптический род если степенной ряд Q(z) = z/ж(z) удовлетворяет условию

${displaystyle {f'}^{2}=1-2delta f^{2}+epsilon f^{4}}$

для постоянных δ и ε. (Как обычно, Q - характеристический степенной ряд рода.)

Одно явное выражение для ж(z) является

${displaystyle f(z)={frac {{m {sn}}left(az,{frac {sqrt {epsilon }}{{a}^{2}}}ight)}{a}}}$

куда

${displaystyle a={sqrt {delta +{sqrt {{delta }^{2}-epsilon }}}}}$

и sn - эллиптическая функция Якоби.

Примеры:

• ${displaystyle delta =epsilon =1,f(z)= anh(z)}$. Это L-род.
• ${displaystyle delta =-1/8,epsilon =0,f(z)=2sinh(z/2)}$. Это род Â.
• ${displaystyle epsilon =delta ^{2},f(z)={frac { anh({sqrt {delta }}z)}{sqrt {delta }}}}$. Это обобщение L-рода.

Первые несколько значений таких родов:

${displaystyle {frac {1}{3}}delta p_{1}}$

${displaystyle {frac {1}{90}}left[left(-4delta ^{2}+18epsilon ight)p_{2}+left(7delta ^{2}-9epsilon ight)p_{1}^{2}ight]}$

${displaystyle {frac {1}{1890}}left[left(16delta ^{3}+108delta epsilon ight)p_{3}+left(-44delta ^{3}+18delta epsilon ight)p_{2}p_{1}+left(31delta ^{3}-27delta epsilon ight)p_{1}^{3}ight]}$

Пример (Эллиптический род для кватернионной проективной плоскости):

${displaystyle Phi _{ell}(HP^{2})=int _{HP^{2}}{ frac {1}{90}}{ig [}(-4delta ^{2}+18epsilon )p_{2}+(7delta ^{2}-9epsilon )p_{1}^{2}{ig ]}}$

${displaystyle Phi _{ell}(HP^{2})=int _{HP^{2}}{ frac {1}{90}}{ig [}(-4delta ^{2}+18epsilon )(7u^{2})+(7delta ^{2}-9epsilon )(2u)^{2}{ig ]}}$

${displaystyle Phi _{ell}(HP^{2})=int _{HP^{2}}[u^{2}epsilon ]}$

${displaystyle Phi _{ell}(HP^{2})=epsilon int _{HP^{2}}[u^{2}]}$

${displaystyle Phi _{ell}(HP^{2})=epsilon *1=epsilon }$

Пример (Эллиптический род для октонионной проективной плоскости (плоскость Кэли)):

${displaystyle Phi _{ell}(OP^{2})=int _{OP^{2}}{ frac {1}{113400}}left[(-192delta ^{4}+1728delta ^{2}epsilon +1512epsilon ^{2})p_{4}+(208delta ^{4}-1872delta ^{2}epsilon +1512epsilon ^{2})p_{2}^{2}ight]}$

${displaystyle Phi _{ell}(OP^{2})=int _{OP^{2}}{ frac {1}{113400}}{ig [}(-192delta ^{4}+1728delta ^{2}epsilon +1512epsilon ^{2})(39u^{2})+(208delta ^{4}-1872delta ^{2}epsilon +1512epsilon ^{2})(6u)^{2}{ig ]}}$

${displaystyle Phi _{ell}(OP^{2})=int _{OP^{2}}{ig [}epsilon ^{2}u^{2}{ig ]}}$

${displaystyle Phi _{ell}(OP^{2})=epsilon ^{2}int _{OP^{2}}{ig [}u^{2}{ig ]}}$

${displaystyle Phi _{ell}(OP^{2})=epsilon ^{2}*1=epsilon ^{2}}$

${displaystyle Phi _{ell}(OP^{2})=Phi _{ell}(HP^{2})^{2}}$

Род Виттена

В Род Виттена - род, связанный с характеристическим степенным рядом

${displaystyle Q(z)={frac {z}{sigma _{L}(z)}}=exp left(sum _{kgeq 2}{2G_{2k}( au )z^{2k} over (2k)!}ight)}$

где σ_L это Сигма-функция Вейерштрасса для решетки L, и грамм кратно Серия Эйзенштейна.

Род Виттена 4k компактное ориентированное гладкое спиновое многообразие с нулевым первым классом Понтрягина является модульная форма веса 2k, с интегральными коэффициентами Фурье.

Смотрите также

• Теорема Атьи – Зингера об индексе
• Список теорий когомологий

Примечания

1. Мактаг, Карл (2014) "Вычисление L-полиномов Хирцебруха".
2. Хайбрехтс, Даниал. «14.1 Существование, единственность и вложения решеток». Лекции по K3 Surfaces (PDF). п. 285.

Рекомендации

• Фридрих Хирцебрух Топологические методы в алгебраической геометрии ISBN  3-540-58663-6 Текст оригинальной немецкой версии: http://hirzebruch.mpim-bonn.mpg.de/120/6/NeueTopologischeMethoden_2.Aufl.pdf
• Фридрих Хирцебрух, Томас Бергер, Райнер Юнг Многообразия и модульные формы ISBN  3-528-06414-5
• Милнор, Сташев, Характерные классы, ISBN  0-691-08122-0
• А.Ф. Харшиладзе (2001) [1994], «Понтрягин класс», Энциклопедия математики, EMS Press
• «Эллиптические роды», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]