Кобордизм - Cobordism

Кобордизм (W; M, N).

В математика, кобордизм фундаментальный отношение эквивалентности по классу компактный коллекторы того же измерения, созданного с использованием концепции граница (Французский граница, давая кобордизм) многообразия. Два многообразия одинаковой размерности согласованный если их несвязный союз это граница компактного многообразия на одну размерность выше.

Граница (п + 1) -мерный многообразие W является п-мерное многообразие ∂W закрытый, т.е. с пустой границей. В общем, замкнутое многообразие не обязательно должно быть границей: теория кобордизмов - это изучение разницы между всеми замкнутыми многообразиями и теми, которые являются границами. Теория была первоначально разработана Рене Том за гладкие многообразия (т.е. дифференцируемый), но теперь есть и версии длякусочно-линейный и топологические многообразия.

А кобордизм между коллекторами M и N компактное многообразие W граница которой является несвязным объединением M и N, ${\displaystyle \partial W=M\sqcup N}$.

Кобордизмы изучаются как для порождаемого ими отношения эквивалентности, так и как самостоятельные объекты. Кобордизм - это гораздо более грубое отношение эквивалентности, чем диффеоморфизм или гомеоморфизм многообразий, и его значительно проще изучать и вычислять. Классифицировать коллекторы до диффеоморфизм или гомеоморфизм в размерах ≥ 4 - потому что проблема слов для групп не может быть решена - но можно классифицировать многообразия с точностью до кобордизма. Кобордизмы - центральные объекты изучения в геометрическая топология и алгебраическая топология. В геометрической топологии кобордизмы тесно связанный с Теория Морса, и час-кобордизмы являются фундаментальными при изучении многомерных многообразий, а именно теория хирургии. В алгебраической топологии теории кобордизмов являются фундаментальными. необычные теории когомологий, и категории кобордизмов являются доменами топологические квантовые теории поля.

Определение

Коллекторы

Грубо говоря, п-размерный многообразие M это топологическое пространство локально (т.е. около каждой точки) гомеоморфный к открытому подмножеству Евклидово пространство ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ А многообразие с краем аналогично, за исключением того, что точка M может иметь окрестность, гомеоморфную открытому подмножеству полупространство

${\displaystyle \{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}\mid x_{n}\geqslant 0\}.}$

Те точки без окрестности, гомеоморфной открытому подмножеству евклидова пространства, являются граничными точками ${\displaystyle M}$; граница ${\displaystyle M}$ обозначается ${\displaystyle \partial M}$. Наконец, закрытый коллектор по определению компактный многообразие без края (${\displaystyle \partial M=\emptyset }$.)

Кобордизмы

An ${\displaystyle (n+1)}$-размерный кобордизм это пятикратный ${\displaystyle (W;M,N,i,j)}$ состоящий из ${\displaystyle (n+1)}$-мерное компактное дифференцируемое многообразие с краем, ${\displaystyle W}$; закрыто ${\displaystyle n}$-многообразия ${\displaystyle M}$, ${\displaystyle N}$; и вложения ${\displaystyle i\colon M\hookrightarrow \partial W}$, ${\displaystyle j\colon N\hookrightarrow \partial W}$ с непересекающимися образами такими, что

${\displaystyle \partial W=i(M)\sqcup j(N)~.}$

Терминология обычно сокращается до ${\displaystyle (W;M,N)}$.^[1] M и N называются согласованный если такой кобордизм существует. Все многообразия, кобордантные фиксированному данному многообразию M сформировать класс кобордизма изM.

Каждое замкнутое многообразие M край некомпактного многообразия M × [0, 1); по этой причине мы требуем W быть компактным в определении кобордизма. Однако обратите внимание, что W является нет требуется для подключения; как следствие, если M = ∂W₁ и N = ∂W₂, тогда M и N кобордантны.

Примеры

Самый простой пример кобордизма - это единичный интервал я = [0, 1]. Это одномерный кобордизм между 0-мерными многообразиями {0}, {1}. В общем, для любого закрытого коллектора M, (M × я; M х {0}, M x {1}) - кобордизм из M × {0} в M × {1}.

Кобордизм между одиночным кругом (вверху) и парой непересекающихся окружностей (внизу).

Если M состоит из круг, и N двух кругов, M и N вместе составляют границу пара штанов W (см. рисунок справа). Таким образом, пара брюк - это кобордизм между M и N. Более простой кобордизм между M и N дается непересекающимся объединением трех дисков.

Пара штанов является примером более общего кобордизма: для любых двух п-мерные многообразия M, M′, Несвязное объединение ${\displaystyle M\sqcup M'}$ согласуется с связанная сумма ${\displaystyle M\#M'.}$ Предыдущий пример - частный случай, поскольку связная сумма ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}\#\mathbb {S} ^{1}}$ изоморфен ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}.}$ Связанная сумма ${\displaystyle M\#M'}$ получается из дизъюнктного объединения ${\displaystyle M\sqcup M'}$ хирургическим путем вложения ${\displaystyle \mathbb {S} ^{0}\times \mathbb {D} ^{n}}$ в ${\displaystyle M\sqcup M'}$, а кобордизм - это след операции.

Терминология

An п-многообразие M называется нуль-кобордантный если есть кобордизм между M и пустой коллектор; другими словами, если M - вся граница некоторого (п + 1) -многообразие. Например, круг является кобордантным нулю, поскольку ограничивает диск. В более общем плане п-сфера кобордантна нулю, поскольку ограничивает (п + 1) -диск. Кроме того, каждая ориентируемая поверхность является нулевой кобордантной, потому что это граница ручка. С другой стороны, 2п-размерный реальное проективное пространство ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2n}(\mathbb {R} )}$ является (компактным) замкнутым многообразием, не являющимся краем многообразия, как объясняется ниже.

Генерал проблема бордизма заключается в вычислении классов кобордизмов многообразий при различных условиях.

Нуль-кобордизмы с дополнительной структурой называются начинки. «Бордизм» и «кобордизм» используются некоторыми авторами как синонимы; другие их различают. Когда кто-то хочет отделить изучение классов кобордизмов от изучения кобордизмов как самостоятельных объектов, он называет вопрос эквивалентности «бордизмом многообразий», а изучение кобордизмов как объектов «кобордизмами многообразий».^{[нужна цитата ]}

Термин «бордизм» происходит от французского граница, что означает граница. Следовательно, бордизм - это изучение границ. «Кобордизм» означает «совместно связанный», поэтому M и N кобордантны, если они совместно ограничивают многообразие, т. е. если их несвязное объединение является границей. Кроме того, группы кобордизма образуют необычный теория когомологий, следовательно, co-.

Варианты

Это самая основная форма определения. Это также называется неориентированным бордизмом. Во многих ситуациях рассматриваемые многообразия являются ориентированный, или нести какую-либо другую дополнительную структуру, называемую G-структура. Это порождает "ориентированный кобордизм" и «кобордизм с G-структурой» соответственно. При благоприятных технических условиях они образуют градуированное кольцо называется кольцо кобордизма ${\displaystyle \Omega _{*}^{G}}$, с градуировкой по размерности, сложением несвязным объединением и умножением на декартово произведение. Группы кобордизмов ${\displaystyle \Omega _{*}^{G}}$ группы коэффициентов обобщенная теория гомологии.

При наличии дополнительной структуры понятие кобордизма необходимо сформулировать более точно: г-структура на W ограничивается г-структура на M и N. Основные примеры: г = O для неориентированных кобордизмов, г = SO для ориентированного кобордизма и г = U для сложный кобордизм с помощью стабильно комплексные многообразия. Многие другие подробно описаны Роберт Э. Стонг.^[2]

Аналогичным образом, стандартный инструмент в теория хирургии операция на карты нормалей: такой процесс изменяет карту нормалей на другую карту нормалей в том же бордизм класс.

Вместо того, чтобы рассматривать дополнительную структуру, можно также принять во внимание различные понятия многообразия, особенно кусочно-линейный (PL) и топологические многообразия. Это порождает группы бордизмов ${\displaystyle \Omega _{*}^{PL}(X),\Omega _{*}^{TOP}(X)}$, которые труднее вычислить, чем дифференцируемые варианты.^{[нужна цитата ]}

Строительство хирургии

Напомним, что в общем случае, если Икс, Y являются многообразиями с краем, то краем многообразия-произведения является ∂ (Икс × Y) = (∂Икс × Y) ∪ (Икс × ∂Y).

Теперь, учитывая многообразие M измерения п = п + q и встраивание ${\displaystyle \varphi :\mathbb {S} ^{p}\times \mathbb {D} ^{q}\subset M,}$ определить п-многообразие

${\displaystyle N:=(M-\operatorname {int~im} \varphi )\cup _{\varphi |_{\mathbb {S} ^{p}\times \mathbb {S} ^{q-1}}}(\mathbb {D} ^{p+1}\times \mathbb {S} ^{q-1})}$

получено хирургия, вырезав внутреннюю часть ${\displaystyle \mathbb {S} ^{p}\times \mathbb {D} ^{q}}$ и вклеивание ${\displaystyle \mathbb {D} ^{p+1}\times \mathbb {S} ^{q-1}}$ вдоль их границы

${\displaystyle \partial \left(\mathbb {S} ^{p}\times \mathbb {D} ^{q}\right)=\mathbb {S} ^{p}\times \mathbb {S} ^{q-1}=\partial \left(\mathbb {D} ^{p+1}\times \mathbb {S} ^{q-1}\right).}$

В след операции

${\displaystyle W:=(M\times I)\cup _{\mathbb {S} ^{p}\times \mathbb {D} ^{q}\times \{1\}}(\mathbb {D} ^{p+1}\times \mathbb {D} ^{q})}$

определяет элементарный кобордизм (W; M, N). Обратите внимание, что M получается из N хирургическим путем на ${\displaystyle \mathbb {D} ^{p+1}\times \mathbb {S} ^{q-1}\subset N.}$ Это называется отмена операции.

Каждый кобордизм - это объединение элементарных кобордизмов, созданное Марстон Морс, Рене Том и Джон Милнор.

Примеры

рисунок 1

Согласно приведенному выше определению, операция на круге состоит в вырезании копии ${\displaystyle \mathbb {S} ^{0}\times \mathbb {D} ^{1}}$ и приклеивание ${\displaystyle \mathbb {D} ^{1}\times \mathbb {S} ^{0}.}$ Рисунки на рис. 1 показывают, что результатом этого является либо (i) ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}}$ снова, или (ii) две копии ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}}$

Рис. 2а

Рис. 2b

Для операции на двумерной сфере существует больше возможностей, поскольку мы можем начать с вырезания либо ${\displaystyle \mathbb {S} ^{0}\times \mathbb {D} ^{2}}$ или ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {D} ^{1}.}$

• (а) ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {D} ^{1}}$: Если мы удалим цилиндр из 2-сферы, у нас останется два диска. Мы должны снова приклеить${\displaystyle \mathbb {S} ^{0}\times \mathbb {D} ^{2}}$ - то есть два диска - и ясно, что в результате мы получим две непересекающиеся сферы. (Рис. 2а)

Рис. 2в. Эта форма не может быть встроена в 3-х пространственное пространство.

• (б) ${\displaystyle \mathbb {S} ^{0}\times \mathbb {D} ^{2}}$: Вырезав два диска ${\displaystyle \mathbb {S} ^{0}\times \mathbb {D} ^{2},}$ приклеиваем обратно в цилиндр ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {D} ^{1}.}$ Есть два возможных результата, в зависимости от того, имеют ли наши склеиваемые карты одинаковую или противоположную ориентацию на двух граничных кругах. Если ориентации совпадают (рис. 2б), полученное многообразие является тор ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {S} ^{1}}$ но если они разные, мы получаем Бутылка Клейна (Рис. 2в).

Функции Морса

Предположим, что ж это Функция Морса на (п + 1) -мерное многообразие, и пусть c является критическим значением с ровно одной критической точкой в ​​прообразе. Если индекс этой критической точки равен п + 1, то установка уровня N := ж⁻¹(c + ε) получается из M := ж⁻¹(c - ε) на п-хирургия. Обратное изображение W := ж⁻¹([c - ε, c + ε]) определяет кобордизм (W; M, N), который можно отождествить со следом этой операции.

Геометрия и связь с теорией Морса и рулями

Учитывая кобордизм (W; M, N) существует гладкая функция ж : W → [0, 1] такие, что ж⁻¹(0) = M, ж⁻¹(1) = N. По общему положению можно предположить ж морсовский и такой, что все критические точки находятся внутри W. В этой обстановке ж называется функцией Морса на кобордизме. Кобордизм (W; M, N) представляет собой объединение следов последовательности операций на M, по одному на каждую критическую точку ж. Коллектор W получается из M × [0, 1], прикрепив один ручка для каждой критической точки ж.

Трехмерный кобордизм ${\displaystyle W=\mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {D} ^{2}-\mathbb {D} ^{3}}$ между 2-сфера ${\displaystyle M=\mathbb {S} ^{2}}$ и 2-тор ${\displaystyle N=\mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {S} ^{1},}$ с N получен из M хирургическим путем на ${\displaystyle \mathbb {S} ^{0}\times \mathbb {D} ^{2}\subset M,}$и W получен из M × я прикрепив 1 ручку ${\displaystyle \mathbb {D} ^{1}\times \mathbb {D} ^{2}.}$

Теорема Морса / Смейла утверждает, что для функции Морса на кобордизме выкидные линии ж'Порождают обрабатывать презентацию тройки (W; M, N). Наоборот, если дано разложение кобордизма на ручку, оно происходит от подходящей функции Морса. В подходящей нормализованной обстановке этот процесс дает соответствие между разложениями ручки и функциями Морса на кобордизме.

История

Кобордизм уходит своими корнями в (неудачную) попытку Анри Пуанкаре в 1895 г. для определения гомология чисто в терминах многообразий (Дьедонне 1989, п. 289 ). Пуанкаре одновременно определил и гомологии, и кобордизм, которые, вообще говоря, не одно и то же. Увидеть Кобордизм как необычная теория когомологий для отношения между бордизмом и гомологией.

Бордизм был явно введен Лев Понтрягин в геометрических работах на многообразиях. Это стало известным, когда Рене Том показали, что группы кобордизмов могут быть вычислены с помощью теория гомотопии, через Комплекс Тома строительство. Теория кобордизма стала частью аппарата необычная теория когомологий, рядом с K-теория. С исторической точки зрения, он сыграл важную роль в развитии топологии в 1950-х и начале 1960-х годов, в частности, в Теорема Хирцебруха – Римана – Роха., а в первых доказательствах Теорема Атьи – Зингера об индексе.

В 1980-х годах категория с компактными многообразиями как объектами и кобордизмами между ними как морфизмами играла основную роль в аксиомах Атьи – Сигала для топологическая квантовая теория поля, что является важной частью квантовая топология.

Категориальные аспекты

Кобордизмы являются самостоятельными объектами изучения, помимо классов кобордизмов. Кобордизмы образуют категория объекты которого являются замкнутыми многообразиями, а морфизмы - кобордизмами. Грубо говоря, композиция задается склейкой кобордизмов встык: композиция (W; M, N) и (W′; N, п) определяется приклеиванием правого конца первого к левому концу второго, что дает (W′ ∪_N W; M, п). Кобордизм - это разновидность cospan:^[3] M → W ← N. Категория - это кинжал компактная категория.

А топологическая квантовая теория поля это моноидальный функтор из категории кобордизмов в категорию векторные пространства. То есть это функтор, значение которого на несвязном объединении многообразий эквивалентно тензорному произведению его значений на каждом из составляющих многообразий.

В малых размерностях вопрос о бордизме относительно тривиален, а вот категория кобордизма - нет. Например, диск, ограничивающий круг, соответствует нулевой операции, в то время как цилиндр соответствует одномерной операции, а пара штанов - двоичной операции.

Неориентированный кобордизм

Дальнейшая информация: Список теорий когомологий § Неориентированные кобордизмы

Множество классов кобордизмов замкнутых неориентированных п-мерные многообразия обычно обозначают ${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{n}}$ (а не более систематический ${\displaystyle \Omega _{n}^{\text{O}}}$); это абелева группа с несвязным объединением в качестве операции. В частности, если [M] и [N] обозначают классы кобордизмов многообразий M и N соответственно, определим ${\displaystyle [M]+[N]=[M\sqcup N]}$; это четко определенная операция, которая превращает ${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{n}}$ в абелеву группу. Элементом идентичности этой группы является класс ${\displaystyle [\emptyset ]}$ состоящий из всех закрытых п-многообразия, являющиеся границами. Далее имеем ${\displaystyle [M]+[M]=[\emptyset ]}$ для каждого M поскольку ${\displaystyle M\sqcup M=\partial (M\times [0,1])}$. Следовательно, ${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{n}}$ это векторное пространство над ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$, то поле с двумя элементами. Декартово произведение многообразий определяет умножение ${\displaystyle [M][N]=[M\times N],}$ так

${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{*}=\bigoplus _{n\geqslant 0}{\mathfrak {N}}_{n}}$

это градуированная алгебра, с оценкой по размеру.

Класс кобордизма ${\displaystyle [M]\in {\mathfrak {N}}_{n}}$ закрытого неориентированного п-мерное многообразие M определяется методом Штифеля – Уитни характеристические числа из M, которые зависят от класса стабильного изоморфизма касательный пучок. Таким образом, если M имеет стабильно тривиальное касательное расслоение, то ${\displaystyle [M]=0\in {\mathfrak {N}}_{n}}$. В 1954 г. Рене Том доказано

${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{*}=\mathbb {F} _{2}\left[x_{i}|i\geqslant 1,i\neq 2^{j}-1\right]}$

алгебра многочленов с одним образующим ${\displaystyle x_{i}}$ в каждом измерении ${\displaystyle i\neq 2^{j}-1}$. Таким образом, два неориентированных замкнутых п-мерные многообразия M, N кобордантны, ${\displaystyle [M]=[N]\in {\mathfrak {N}}_{n},}$ тогда и только тогда, когда для каждой коллекции ${\displaystyle \left(i_{1},\cdots ,i_{k}\right)}$ из k-наборы целых чисел ${\displaystyle i\geqslant 1,i\neq 2^{j}-1}$ такой, что ${\displaystyle i_{1}+\cdots +i_{k}=n}$ числа Штифеля-Уитни равны

${\displaystyle \left\langle w_{i_{1}}(M)\cdots w_{i_{k}}(M),[M]\right\rangle =\left\langle w_{i_{1}}(N)\cdots w_{i_{k}}(N),[N]\right\rangle \in \mathbb {F} _{2}}$

с ${\displaystyle w_{i}(M)\in H^{i}\left(M;\mathbb {F} _{2}\right)}$ то яth Класс Штифеля-Уитни и ${\displaystyle [M]\in H_{n}\left(M;\mathbb {F} _{2}\right)}$ то ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$-коэффициент фундаментальный класс.

Даже для я можно выбрать ${\displaystyle x_{i}=\left[\mathbb {P} ^{i}(\mathbb {R} )\right]}$, класс кобордизма я-размерный реальное проективное пространство.

Группы неориентированных кобордизмов малой размерности:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathfrak {N}}_{0}&=\mathbb {Z} /2,\\{\mathfrak {N}}_{1}&=0,\\{\mathfrak {N}}_{2}&=\mathbb {Z} /2,\\{\mathfrak {N}}_{3}&=0,\\{\mathfrak {N}}_{4}&=\mathbb {Z} /2\oplus \mathbb {Z} /2,\\{\mathfrak {N}}_{5}&=\mathbb {Z} /2.\end{aligned}}}$

Это показывает, например, что всякое 3-мерное замкнутое многообразие является границей 4-многообразия (с краем).

В Эйлерова характеристика ${\displaystyle \chi (M)\in \mathbb {Z} }$ по модулю 2 неориентированного многообразия M - инвариант неориентированного кобордизма. Это подразумевается уравнением

${\displaystyle \chi _{\partial W}=\left(1-(-1)^{\dim W}\right)\chi _{W}}$

для любого компактного многообразия с краем ${\displaystyle W}$.

Следовательно, ${\displaystyle \chi :{\mathfrak {N}}_{i}\to \mathbb {Z} /2}$ является корректно определенным гомоморфизмом групп. Например, для любого ${\displaystyle i_{1},\cdots ,i_{k}\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle \chi \left(\mathbb {P} ^{2i_{1}}(\mathbb {R} )\times \cdots \times \mathbb {P} ^{2i_{k}}(\mathbb {R} )\right)=1.}$

В частности, такое произведение реальных проективных пространств не является кобордантным нулю. Отображение характеристики Эйлера по модулю 2 ${\displaystyle \chi :{\mathfrak {N}}_{2i}\to \mathbb {Z} /2}$ для всех ${\displaystyle i\in \mathbb {N} ,}$ и групповой изоморфизм для ${\displaystyle i=1.}$

Более того, из-за ${\displaystyle \chi (M\times N)=\chi (M)\chi (N)}$, эти гомоморфизмы групп собираются в гомоморфизм градуированных алгебр:

${\displaystyle {\begin{cases}{\mathfrak {N}}\to \mathbb {F} _{2}[x]\\[][M]\mapsto \chi (M)x^{\dim(M)}\end{cases}}}$

Кобордизм многообразий с дополнительной структурой

Кобордизм также может быть определен для многообразий, которые имеют дополнительную структуру, особенно ориентацию. Это делается формальным в общем случае с использованием понятия Икс-структура (или G-структура ).^[4] Очень кратко, нормальный комплект ν погружения M в достаточно многомерный Евклидово пространство ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+k}}$ рождает карту из M к Грассманиан, которое, в свою очередь, является подпространством классификация пространства из ортогональная группа: ν: M → Gr(п, п + k) → BO(k). Учитывая набор пространств и карт Икс_k → Икс_k+1 с картами Икс_k → BO(k) (совместим с включениями BO(k) → BO(k+1), Икс-структура - это поднятие ν на отображение ${\displaystyle {\tilde {\nu }}:M\to X_{k}}$. Рассматривая только многообразия и кобордизмы с Икс-структура порождает более общее понятие кобордизма. Особенно, Икс_k может быть дан BG(k), где г(k) → О(k) - некоторый гомоморфизм групп. Это называется G-структура. Примеры включают г = О, ортогональная группа, возвращающая неориентированный кобордизм, но также и подгруппа ТАК(k), порождая ориентированный кобордизм, то вращательная группа, то унитарная группа U(k), и тривиальная группа, дающая начало обрамленный кобордизм.

Полученные группы кобордизмов затем определяются аналогично неориентированному случаю. Обозначаются они ${\displaystyle \Omega _{*}^{G}}$.

Ориентированный кобордизм

Дальнейшая информация: Список теорий когомологий § Ориентированный кобордизм

Ориентированный кобордизм - это многообразие с SO-структурой. Эквивалентно все коллекторы должны быть ориентированный и кобордизмы (W, M, N) (также называемый ориентированные кобордизмы для наглядности) таковы, что граница (с индуцированными ориентациями) ${\displaystyle M\sqcup (-N)}$, где -N обозначает N с обратной ориентацией. Например, граница цилиндра M × я является ${\displaystyle M\sqcup (-M)}$: оба конца имеют противоположную ориентацию. Это также правильное определение в смысле необычная теория когомологий.

В отличие от группы неориентированных кобордизмов, где каждый элемент двухкручен, 2M в общем случае не является ориентированной границей, то есть 2 [M] ≠ 0 при рассмотрении в ${\displaystyle \Omega _{*}^{\text{SO}}.}$

Группы ориентированных кобордизмов задаются по модулю кручения формулой

${\displaystyle \Omega _{*}^{\text{SO}}\otimes \mathbb {Q} =\mathbb {Q} \left[y_{4i}\mid i\geqslant 1\right],}$

алгебра полиномов, порожденная классами ориентированных кобордизмов

${\displaystyle y_{4i}=\left[\mathbb {P} ^{2i}(\mathbb {C} )\right]\in \Omega _{4i}^{\text{SO}}}$

из комплексные проективные пространства (Том, ​​1952). Группа ориентированных кобордизмов ${\displaystyle \Omega _{*}^{\text{SO}}}$ определяется уравнениями Штифеля – Уитни и Понтрягина характеристические числа (Wall, 1960). Два ориентированных многообразия являются ориентированными кобордантными тогда и только тогда, когда их числа Штифеля – Уитни и Понтрягина совпадают.

Группы ориентированных кобордизмов низкой размерности:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Omega _{0}^{\text{SO}}&=\mathbb {Z} ,\\\Omega _{1}^{\text{SO}}&=0,\\\Omega _{2}^{\text{SO}}&=0,\\\Omega _{3}^{\text{SO}}&=0,\\\Omega _{4}^{\text{SO}}&=\mathbb {Z} ,\\\Omega _{5}^{\text{SO}}&=\mathbb {Z} _{2}.\end{aligned}}}$

В подпись ориентированной 4я-мерное многообразие M определяется как подпись формы пересечения на ${\displaystyle H^{2i}(M)\in \mathbb {Z} }$ и обозначается ${\displaystyle \sigma (M).}$ Это инвариант ориентированного кобордизма, который выражается через числа Понтрягина через Теорема Хирцебруха о сигнатуре.

Например, для любого я₁, ..., я_k ≥ 1

${\displaystyle \sigma \left(\mathbb {P} ^{2i_{1}}(\mathbb {C} )\times \cdots \times \mathbb {P} ^{2i_{k}}(\mathbb {C} )\right)=1.}$

Карта подписи ${\displaystyle \sigma :\Omega _{4i}^{\text{SO}}\to \mathbb {Z} }$ для всех я ≥ 1 и изоморфизм для я = 1.

Кобордизм как необычная теория когомологий

Каждые векторный набор теория (реальная, сложная и т. д.) имеет необычная теория когомологий называется K-теория. Аналогично, любая теория кобордизмов Ω^г имеет необычная теория когомологий, с группами гомологий ("бордизмов") ${\displaystyle \Omega _{n}^{G}(X)}$ и группы когомологий ("кобордизмов") ${\displaystyle \Omega _{G}^{n}(X)}$ для любого пространства Икс. Обобщенные группы гомологий ${\displaystyle \Omega _{*}^{G}(X)}$ находятся ковариантный в Икс, и группы обобщенных когомологий ${\displaystyle \Omega _{G}^{*}(X)}$ находятся контравариантный в Икс. Определенные выше группы кобордизмов являются, с этой точки зрения, группами гомологий точки: ${\displaystyle \Omega _{n}^{G}=\Omega _{n}^{G}({\text{pt}})}$. потом ${\displaystyle \Omega _{n}^{G}(X)}$ это группа бордизм классы пар (M, ж) с участием M закрытый п-мерное многообразие M (с G-структурой) и ж : M → Икс карта. Такие пары (M, ж), (N, г) находятся бордант если существует G-кобордизм (W; M, N) с картой час : W → Икс, который ограничивается ж на M, и чтобы г на N.

An п-мерное многообразие M имеет фундаментальный класс гомологии [M] ∈ ЧАС_п(M) (с коэффициентами в ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$ в целом и в ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ в ориентированном случае), определяя естественное преобразование

${\displaystyle {\begin{cases}\Omega _{n}^{G}(X)\to H_{n}(X)\\(M,f)\mapsto f_{*}[M]\end{cases}}}$

что в целом далеко не изоморфизм.

Теории бордизма и кобордизма пространства удовлетворяют Аксиомы Эйленберга – Стинрода помимо аксиомы размерности. Это не означает, что группы ${\displaystyle \Omega _{G}^{n}(X)}$ можно эффективно вычислить, если знать теорию кобордизмов точки и гомологии пространства Иксхотя Спектральная последовательность Атьи – Хирцебруха дает отправную точку для расчетов. Вычисление легко только в том случае, если конкретная теория кобордизмов сводится к произведению обычных теорий гомологии, в этом случае группы бордизмов являются обычными группами гомологий

${\displaystyle \Omega _{n}^{G}(X)=\sum _{p+q=n}H_{p}(X;\Omega _{q}^{G}({\text{pt}})).}$

Это верно для неориентированного кобордизма. Другие теории кобордизмов не сводятся таким образом к обычным гомологиям, особенно обрамленный кобордизм, ориентированный кобордизм и сложный кобордизм. Последняя из названных теорий, в частности, широко используется алгебраическими топологами в качестве вычислительного инструмента (например, для гомотопические группы сфер ).^[5]

Теории кобордизма представлены Спектры Тома MG: данная группа г, спектр Тома составлен из Пространства Тома MG_п из стандартные векторные пучки над классификация пространств BG_п. Обратите внимание, что даже для похожих групп спектры Тома могут сильно отличаться: MSO и МО очень разные, отражая разницу между ориентированным и неориентированным кобордизмом.

С точки зрения спектров неориентированный кобордизм является продуктом Спектры Эйленберга – Маклейна. – МО = ЧАС(π_∗(МО)) - в то время как ориентированный кобордизм является продуктом спектров Эйленберга – Маклейна рационально и в 2, но не в нечетных простых числах: спектр ориентированных кобордизмов MSO намного сложнее, чем МО.

Смотрите также

• час-кобордизм
• Согласование ссылок
• Список теорий когомологий
• Симплектическое наполнение
• Гипотеза кобордизма
• Кольцо кобордизма
• Хронология бордизма

Примечания

1. Обозначение "${\displaystyle (n+1)}$-мерный "должен прояснить размерность всех рассматриваемых многообразий, иначе неясно, относится ли" 5-мерный кобордизм "к 5-мерному кобордизму между 4-мерными многообразиями или к 6-мерному кобордизму между 5-мерными многообразиями.
2. Стонг, Роберт Э. (1968). Заметки по теории кобордизма. Принстон, штат Нью-Джерси: Princeton University Press.
3. В то время как каждый кобордизм является кобордизмом, категория кобордизмов является нет «категория совместных пространств»: это не категория всех совместных пространств в «категории многообразий с включениями на границе», а скорее их подкатегория, как требование, что M и N образуют перегородку границы W это глобальное ограничение.
4. Свитцер, Роберт М. (2002), Алгебраическая топология - гомотопия и гомологии, Классика по математике, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-42750-6, Г-Н  1886843, глава 12
5. Равенел, округ Колумбия (апрель 1986 г.). Комплексные кобордизмы и стабильные гомотопические группы сфер. Академическая пресса. ISBN  0-12-583430-6.

использованная литература

• Джон Фрэнк Адамс, Стабильная гомотопия и обобщенные гомологии, Univ. Чикаго Пресс (1974).
• Аносов Дмитрий В.; Войцеховский М.И. (2001) [1994], "бордизм", Энциклопедия математики, EMS Press
• Майкл Ф. Атья, Бордизм и кобордизм Proc. Camb. Фил. Soc. 57. С. 200–208 (1961).
• Дьедонне, Жан Александр (1989). История алгебраической и дифференциальной топологии, 1900–1960 гг.. Бостон: Биркхойзер. ISBN  978-0-8176-3388-2.
• Косинский, Антони А. (19 октября 2007 г.). «Дифференциальные многообразия». Dover Publications.
• Мэдсен, Иб; Милгрэм, Р. Джеймс (1979). Классифицирующие пространства для перестроек и кобордизмов многообразий. Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press. ISBN  978-0-691-08226-4.
• Милнор, Джон (1962). «Обзор теории кобордизмов». L'Enseignement Mathématique. 8: 16–23. ISSN  0013-8584.
• Сергей Новиков, Методы алгебраической топологии с точки зрения теории кобордизмов, Изв. Акад. АН СССР сер. Мат. 31 (1967), 855–951.
• Лев Понтрягин, Гладкие многообразия и их приложения в теории гомотопий Переводы Американского математического общества, сер. 2, т. 11. С. 1–114 (1959).
• Дэниел Квиллен, О формальных групповых законах теории неориентированных и комплексных кобордизмов Бык. Амер. Математика. Soc., 75 (1969), стр. 1293–1298.
• Дуглас Равенел, Комплексные кобордизмы и стабильные гомотопические группы сфер, Акад. Пресса (1986).
• Юлий Б. Рудяк (2001) [1994], «Кобордизм», Энциклопедия математики, EMS Press
• Юлий Борисович Рудяк, О спектрах Тома, ориентируемости и (ко) бордизмах, Springer (2008).
• Роберт Э. Стонг, Заметки по теории кобордизма, Princeton Univ. Пресс (1968).
• Тайманов, Искандер А. (2007). Топологическая библиотека. Часть 1: кобордизмы и их приложения. Серия о узлах и обо всем. 39. С. Новиков (ред.). World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., Хакенсак, штат Нью-Джерси. ISBN  978-981-270-559-4.
• Рене Том, Quelques propriétés globales des varétés différentiables, Комментарии Mathematici Helvetici 28, 17-86 (1954).
• Уолл, К. Т. С. (1960). «Определение кольца кобордизма». Анналы математики. Вторая серия. Анналы математики, Vol. 72, №2. 72 (2): 292–311. Дои:10.2307/1970136. ISSN  0003-486X. JSTOR  1970136.

внешняя ссылка

• Бордизм на Manifold Atlas.
• Б-бордизм на Manifold Atlas.