Голоморфное касательное расслоение - Holomorphic tangent bundle

В математика, и особенно сложная геометрия, то голоморфное касательное расслоение из комплексное многообразие ${ displaystyle M}$ является голоморфным аналогом касательный пучок из гладкое многообразие. Слой голоморфного касательного расслоения над точкой - это голоморфное касательное пространство, какой касательное пространство подлежащего гладкого многообразия, учитывая структуру комплексное векторное пространство через почти сложная структура ${ displaystyle J}$ комплексного многообразия ${ displaystyle M}$ .

Определение

Для комплексного многообразия ${ displaystyle M}$ сложного измерения ${ displaystyle n}$ , его касательное расслоение как гладкое векторное расслоение является вещественным рангом ${ displaystyle 2n}$ векторный набор ${ displaystyle TM}$ на ${ displaystyle M}$ . Интегрируемая почти сложная структура ${ displaystyle J}$ соответствующей комплексной структуре на многообразии ${ displaystyle M}$ это эндоморфизм ${ displaystyle J: TM to TM}$ со свойством, что ${ displaystyle J ^ {2} = - operatorname {Id}}$ . После усложняющий действительное касательное расслоение к ${ displaystyle TM otimes mathbb {C} to M}$ , эндоморфизм ${ displaystyle J}$ комплексно-линейно продолжается до эндоморфизма ${ displaystyle J: TM otimes mathbb {C} to TM otimes mathbb {C}}$ определяется ${ Displaystyle J (X + iY) = J (X) + iJ (Y)}$ для векторов ${ displaystyle X, Y}$ в ${ displaystyle TM}$ .

С ${ displaystyle J ^ {2} = - operatorname {Id}}$ , ${ displaystyle J}$ имеет собственные значения ${ displaystyle i, -i}$ на комплексифицированном касательном расслоении и ${ Displaystyle TM otimes mathbb {C}}$ поэтому распадается как прямая сумма

{ Displaystyle TM otimes mathbb {C} = T ^ {1,0} M oplus T ^ {0,1} M}

куда ${ displaystyle T ^ {1,0} M}$ это ${ displaystyle i}$ -собственное расслоение, и ${ displaystyle T ^ {0,1} M}$ в ${ displaystyle -i}$ -eigenbundle. В голоморфное касательное расслоение из ${ displaystyle M}$ это векторное расслоение ${ displaystyle T ^ {1,0} M}$ , а антиголоморфное касательное расслоение это векторное расслоение ${ displaystyle T ^ {0,1} M}$ .

Векторные пучки ${ displaystyle T ^ {1,0} M}$ и ${ displaystyle T ^ {0,1} M}$ являются естественно сложными векторными подрасслоениями комплексное векторное расслоение ${ Displaystyle TM otimes mathbb {C}}$ , и их двойники могут быть взяты. В голоморфное кокасательное расслоение является двойственным к голоморфному касательному расслоению и записывается ${ displaystyle T_ {1,0} ^ {*} M}$ . Аналогичным образом антиголоморфное кокасательное расслоение является двойственным к антиголоморфному касательному расслоению и записывается ${ displaystyle T_ {0,1} ^ {*} M}$ . Голоморфные и антиголоморфные (ко) касательные расслоения меняются местами: спряжение, что дает вещественно-линейный (но не комплексный линейный!) изоморфизм ${ displaystyle T ^ {1,0} M to T ^ {0,1} M}$ .

Голоморфное касательное расслоение ${ displaystyle T ^ {1,0} M}$ изоморфно как вещественное векторное расслоение ранга ${ displaystyle 2n}$ к правильному касательному расслоению ${ displaystyle TM}$ . Изоморфизм задается композицией ${ displaystyle TM hookrightarrow TM otimes mathbb {C} { xrightarrow { operatorname {pr} _ {1,0}}} T ^ {1,0} M}$ включения в комплексифицированное касательное расслоение, а затем проекции на ${ displaystyle i}$ -eigenbundle.

В канонический пакет определяется ${ displaystyle K_ {M} = Lambda ^ {n} T_ {1,0} ^ {*} M}$ .

Альтернативное местное описание

В локальной голоморфной карте ${ displaystyle varphi = (z ^ {1}, dots, z ^ {n}): U to mathbb {C} ^ {n}}$ из ${ displaystyle M}$ , выделены действительные координаты ${ displaystyle (x ^ {1}, dots, x ^ {n}, y ^ {1}, dots, y ^ {n})}$ определяется ${ displaystyle z ^ {j} = x ^ {j} + iy ^ {j}}$ для каждого ${ displaystyle j = 1, dots, n}$ . Они дают выдающиеся комплексные одноформный ${ displaystyle dz ^ {j} = dx ^ {j} + idy ^ {j}, d { bar {z}} ^ {j} = dx ^ {j} -idy ^ {j}}$ на ${ displaystyle U}$ . К этим комплексным однозначным формам двойственны комплекснозначные векторные поля (то есть сечения комплексного касательного расслоения),

{ displaystyle { frac { partial} { partial z ^ {j}}} = { frac {1} {2}} left ({ frac { partial} { partial x ^ {j}} } -i { frac { partial} { partial y ^ {j}}} right), quad { frac { partial} { partial { bar {z}} ^ {j}}} = { frac {1} {2}} left ({ frac { partial} { partial x ^ {j}}} + i { frac { partial} { partial y ^ {j}}} верно).}

Взятые вместе, эти векторные поля образуют фрейм для ${ displaystyle left.TM otimes mathbb {C} right | _ {U}}$ , ограничение комплексифицированного касательного расслоения на ${ displaystyle U}$ . Таким образом, эти векторные поля также разбивают комплексифицированное касательное расслоение на два подрасслоения

{ displaystyle left.T ^ {1,0} M right | _ {U}: = operatorname {Span} left {{ frac { partial} { partial z ^ {j}}} right }, quad left.T ^ {0,1} M right | _ {U}: = operatorname {Span} left {{ frac { partial} { partial { bar {z }} ^ {j}}} right }.}

При голоморфной замене координат эти два подрасслоения ${ displaystyle left.TM otimes mathbb {C} right | _ {U}}$ сохраняются, и поэтому путем покрытия ${ displaystyle M}$ голоморфными картами получается расщепление комплексифицированного касательного расслоения. Это и есть расщепление на голоморфные и антиголоморфные касательные расслоения, описанные ранее. Аналогично комплексные однозначные формы ${ displaystyle dz ^ {j}}$ и ${ displaystyle d { bar {z}} ^ {j}}$ обеспечивают расщепление сложных котангенсный пучок на голоморфные и антиголоморфные кокасательные расслоения.

С этой точки зрения имя голоморфное касательное расслоение становится прозрачным. А именно, переходные функции для голоморфного касательного расслоения с локальными реперами, порожденными ${ Displaystyle partial / partial z ^ {j}}$ , даются Матрица якобиана переходных функций ${ displaystyle M}$ . Явно, если у нас есть две диаграммы ${ displaystyle U _ { alpha}, U _ { beta}}$ с двумя наборами координат ${ displaystyle z ^ {j}, w ^ {k}}$ , тогда

{ displaystyle { frac { partial} { partial z ^ {j}}} = sum _ {k} { frac { partial w ^ {k}} { partial z ^ {j}}} { frac { partial} { partial w ^ {k}}}.}

Поскольку координатные функции голоморфны, то же самое происходит с любыми производными от них, а значит, и функции перехода голоморфного касательного расслоения также голоморфны. Таким образом, голоморфное касательное расслоение является подлинным голоморфное векторное расслоение. Точно так же голоморфное кокасательное расслоение является настоящим голоморфным векторным расслоением с функциями перехода, заданными обратной матрицей Якоби. Обратите внимание, что антиголоморфные касательные и кокасательные расслоения не имеют голоморфных функций перехода, а имеют антиголоморфные функции.

С точки зрения описанных локальных фреймов почти сложная структура ${ displaystyle J}$ действует

{ Displaystyle J: { frac { partial} { partial z ^ {j}}} mapsto i { frac { partial} { partial z ^ {j}}}, quad { frac { partial} { partial { bar {z}} ^ {j}}} mapsto -i { frac { partial} { partial { bar {z}} ^ {j}}},}

или в реальных координатах

{ Displaystyle J: { frac { partial} { partial x ^ {j}}} mapsto { frac { partial} { partial y ^ {j}}}, quad { frac { partial } { partial y ^ {j}}} mapsto - { frac { partial} { partial x ^ {j}}}.}

Голоморфные векторные поля и дифференциальные формы

Поскольку голоморфные касательные и кокасательные расслоения имеют структуру голоморфных векторных расслоений, выделяются голоморфные сечения. А голоморфное векторное поле является голоморфным сечением ${ displaystyle T ^ {1,0} M}$ . А голоморфная одноформа является голоморфным сечением ${ displaystyle T_ {1,0} ^ {*} M}$ . Взяв внешние силы ${ displaystyle T_ {1,0} ^ {*}}$ , можно определить голоморфный ${ displaystyle p}$ -формы для целых чисел ${ displaystyle p}$ . В Оператор Коши-Римана из ${ displaystyle M}$ может быть расширен от функций до комплекснозначных дифференциальных форм, а голоморфные сечения голоморфного кокасательного расслоения согласуются с комплексным дифференциалом ${ displaystyle (p, 0)}$ -формы, которые аннигилируют ${ displaystyle { bar { partial}}}$ . Подробнее см. сложные дифференциальные формы.

Голоморфное касательное расслоение - Holomorphic tangent bundle

Содержание

Определение

Альтернативное местное описание

Голоморфные векторные поля и дифференциальные формы

Смотрите также

Рекомендации