Диагонализируемая матрица - Diagonalizable matrix

Эта статья посвящена диагонализации матриц в линейной алгебре. Для использования в других целях см. Диагонализация.

В линейная алгебра, а квадратная матрица ${\displaystyle A}$ называется диагонализуемый или же исправный если это похожий к диагональная матрица, т.е. если существует обратимая матрица ${\displaystyle P}$ и диагональная матрица ${\displaystyle D}$ такой, что ${\displaystyle P^{-1}AP=D}$, или эквивалентно ${\displaystyle A=PDP^{-1}}$. (Такой ${\displaystyle P,D}$ не уникальны.) Для конечногоразмерный векторное пространство ${\displaystyle V}$, а линейная карта ${\displaystyle T:V\to V}$ называется диагонализуемый если существует заказная основа из ${\displaystyle V}$ состоящий из собственные векторы из ${\displaystyle T}$. Эти определения эквивалентны: если ${\displaystyle T}$ имеет матричное представление ${\displaystyle A=PDP^{-1}}$ как указано выше, тогда векторы-столбцы ${\displaystyle P}$ составляют основу собственных векторов ${\displaystyle T}$, а диагональные элементы ${\displaystyle D}$ - соответствующие собственные значения ${\displaystyle T}$; относительно этого базиса собственных векторов, ${\displaystyle A}$ представлен ${\displaystyle D}$. Диагонализация это процесс поиска вышеуказанного ${\displaystyle P}$ и ${\displaystyle D}$.

Диагонализуемые матрицы и отображения особенно просты для вычислений, если известны их собственные значения и собственные векторы. Можно поднять диагональную матрицу ${\displaystyle D}$ в степень, просто возведя диагональные элементы в эту степень, а детерминант диагональной матрицы - это просто произведение всех диагональных элементов; такие вычисления легко обобщаются на ${\displaystyle A=PDP^{-1}}$. Геометрически диагонализуемая матрица - это неоднородное расширение (или же анизотропный масштаб) - Это напольные весы пространство, как и однородное расширение, но с другим множителем вдоль каждой оси собственного вектора, множителем, определяемым соответствующим собственным значением.

Квадратная матрица, не допускающая диагонализации, называется дефектный. Может случиться так, что матрица ${\displaystyle A}$ с реальными записями имеет дефект по сравнению с действительными числами, что означает, что ${\displaystyle A=PDP^{-1}}$ невозможно ни для одного обратимого ${\displaystyle P}$ и диагональ ${\displaystyle D}$ с реальными записями, но это возможно со сложными записями, так что ${\displaystyle A}$ диагонализуема по комплексным числам. Например, это относится к универсальному матрица вращения.

Многие результаты для диагонализуемых матриц справедливы только над алгебраически замкнутое поле (например, комплексные числа). В этом случае диагонализуемые матрицы имеют вид плотный в пространстве всех матриц, что означает, что любая дефектная матрица может быть деформирована в диагонализуемую матрицу небольшим возмущение; и Нормальная форма Джордана Теорема утверждает, что любая матрица однозначно является суммой диагонализуемой матрицы и нильпотентная матрица. Над алгебраически замкнутым полем диагонализуемые матрицы эквивалентны полупростые матрицы.

Определение

Площадь ${\displaystyle n\times n}$ матрица ${\displaystyle A}$ через поле ${\displaystyle F}$ называется диагонализуемый или же исправный если существует обратимая матрица ${\displaystyle P}$ такой, что ${\displaystyle P^{-1}AP}$ - диагональная матрица. Формально,

${\displaystyle A\in F^{n\times n}{\text{ diagonalizable}}\iff \exists \,P,P^{-1}\in F^{n\times n}:\;P^{-1}\!AP{\text{ diagonal}}}$

Характеристика

Фундаментальный факт о диагонализуемых отображениях и матрицах выражается следующим образом:

• An ${\displaystyle n\times n}$ матрица ${\displaystyle A}$ над полем ${\displaystyle F}$ диагонализируется если и только если сумма размеры собственного подпространства равно ${\displaystyle n}$, что имеет место тогда и только тогда, когда существует основа из ${\displaystyle F^{n}}$ состоящий из собственных векторов ${\displaystyle A}$. Если такой базис найден, можно составить матрицу ${\displaystyle P}$ имея эти базисные векторы как столбцы, и ${\displaystyle P^{-1}\!AP}$ будет диагональной матрицей, диагональные элементы которой являются собственными значениями ${\displaystyle A}$. Матрица ${\displaystyle P}$ известен как модальная матрица за ${\displaystyle A}$.
• Линейная карта ${\displaystyle T:V\to V}$ диагонализуема тогда и только тогда, когда сумма размеры собственного подпространства равно ${\displaystyle \operatorname {dim} (V)}$, что имеет место тогда и только тогда, когда существует базис ${\displaystyle V}$ состоящий из собственных векторов ${\displaystyle T}$. Что касается такой основы, ${\displaystyle T}$ будет представлена ​​диагональной матрицей. Диагональные элементы этой матрицы являются собственными значениями матрицы ${\displaystyle T}$.

Другая характеристика: матрицу или линейную карту можно диагонализовать по полю. ${\displaystyle F}$ если и только если это минимальный многочлен является произведением различных линейных множителей над ${\displaystyle F}$. (Другими словами, матрица диагонализуема тогда и только тогда, когда все ее элементарные делители линейны.)

Следующее достаточное (но не необходимое) условие часто бывает полезным.

• An ${\displaystyle n\times n}$ матрица ${\displaystyle A}$ диагонализуема над полем ${\displaystyle F}$ если у него есть ${\displaystyle n}$ различные собственные значения в ${\displaystyle F}$, т.е. если его характеристический многочлен имеет ${\displaystyle n}$ отдельные корни в ${\displaystyle F}$; однако обратное может быть ложным. Учитывать

  ${\displaystyle {\begin{bmatrix}-1&3&-1\\-3&5&-1\\-3&3&1\end{bmatrix}},}$

  имеющий собственные значения 1, 2, 2 (не все разные) и диагонализуемый с диагональной формой (похожий к ${\displaystyle A}$)

  ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&2\end{bmatrix}}}$

  и изменение базисной матрицы ${\displaystyle P}$

  ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1&-1\\1&1&0\\1&0&3\end{bmatrix}}.}$

  Обратное неверно, когда ${\displaystyle A}$ имеет собственное подпространство размерности больше 1. В этом примере собственное подпространство ${\displaystyle A}$ связанное с собственным значением 2 имеет размерность 2.
• Линейная карта ${\displaystyle T:V\to V}$ с ${\displaystyle n=\operatorname {dim} (V)}$ диагонализуема, если она имеет ${\displaystyle n}$ различные собственные значения, т.е. если его характеристический многочлен имеет ${\displaystyle n}$ отдельные корни в ${\displaystyle F}$.

Позволять ${\displaystyle A}$ быть матрицей над ${\displaystyle F}$. Если ${\displaystyle A}$ диагонализуем, то же самое можно сказать о любой его степени. Наоборот, если ${\displaystyle A}$ обратима, ${\displaystyle F}$ алгебраически замкнуто, и ${\displaystyle A^{n}}$ диагонализуема для некоторых ${\displaystyle n}$ что не является целым кратным характеристике ${\displaystyle F}$, тогда ${\displaystyle A}$ диагонализуема. Доказательство: если ${\displaystyle A^{n}}$ диагонализуема, то ${\displaystyle A}$ аннулируется некоторым полиномом ${\displaystyle \left(x^{n}-\lambda _{1}\right)\cdots \left(x^{n}-\lambda _{k}\right)}$, не имеющий множественного корня (поскольку ${\displaystyle \lambda _{j}\neq 0}$) и делится на минимальный многочлен от ${\displaystyle A}$.

Над комплексными числами ${\displaystyle \mathbb {C} }$, почти каждая матрица диагонализуема. Точнее: набор сложных ${\displaystyle n\times n}$ матрицы, которые нет диагонализуемый ${\displaystyle \mathbb {C} }$, рассматриваемый как подмножество из ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n\times n}}$, имеет Мера Лебега нуль. Можно также сказать, что диагонализуемые матрицы образуют плотное подмножество относительно Топология Зарисского: недиагонализуемые матрицы лежат внутри исчезающий набор из дискриминант характеристического многочлена, который является гиперповерхность. Отсюда следует также плотность в обычном (сильный) топология задана норма. То же самое не так ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

В Разложение Жордана – Шевалле выражает оператор как сумму его полупростой (т. е. диагонализуемой) части и его нильпотентный часть. Следовательно, матрица диагонализуема тогда и только тогда, когда ее нильпотентная часть равна нулю. Другими словами, матрица диагонализуема, если каждый блок в своем Иорданская форма не имеет нильпотентной части; то есть каждый "блок" представляет собой матрицу "одна за другой".

Диагонализация

Смотрите также: Собственное разложение матрицы

Диагонализацию матрицы можно интерпретировать как поворот осей для совмещения их с собственными векторами.

Если матрица ${\displaystyle A}$ можно диагонализовать, то есть

${\displaystyle P^{-1}AP={\begin{pmatrix}\lambda _{1}&0&\dots &0\\0&\lambda _{2}&\dots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\dots &\lambda _{n}\end{pmatrix}},}$

тогда:

${\displaystyle AP=P{\begin{pmatrix}\lambda _{1}&0&\dots &0\\0&\lambda _{2}&\dots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\dots &\lambda _{n}\end{pmatrix}}.}$

Письмо ${\displaystyle P}$ как блочная матрица его векторов-столбцов ${\displaystyle {\vec {\alpha }}_{i}}$

${\displaystyle P={\begin{pmatrix}{\vec {\alpha }}_{1}&{\vec {\alpha }}_{2}&\cdots &{\vec {\alpha }}_{n}\end{pmatrix}},}$

приведенное выше уравнение можно переписать как

${\displaystyle A{\vec {\alpha }}_{i}=\lambda _{i}{\vec {\alpha }}_{i}\qquad (i=1,2,\cdots ,n).}$

Итак, векторы-столбцы ${\displaystyle P}$ находятся правые собственные векторы из ${\displaystyle A}$, а соответствующий диагональный элемент - это соответствующий собственное значение. Обратимость ${\displaystyle P}$ также предполагает, что собственные векторы линейно независимый и составляют основу ${\displaystyle F^{n}}$. Это необходимое и достаточное условие диагонализуемости и канонического подхода к диагонализации. В векторы-строки из ${\displaystyle P^{-1}}$ являются левые собственные векторы из ${\displaystyle A}$.

Когда сложная матрица ${\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$ это Эрмитова матрица (или в более общем смысле нормальная матрица ), собственные векторы ${\displaystyle A}$ могут быть выбраны для формирования ортонормированный базис из ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$, и ${\displaystyle P}$ может быть выбран в качестве унитарная матрица. Если, кроме того, ${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$ настоящий симметричная матрица, то его собственные векторы можно выбрать в качестве ортонормированного базиса ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ и ${\displaystyle P}$ может быть выбран в качестве ортогональная матрица.

Для большинства практических работ матрицы численно диагонализируются с помощью компьютерного программного обеспечения. Многие алгоритмы существуют для этого.

Одновременная диагонализация

Смотрите также: Возможность одновременной треугольной формы, Вес (теория представлений), и Положительно определенная матрица

Набор матриц называется одновременно диагонализуемый если существует единственная обратимая матрица ${\displaystyle P}$ такой, что ${\displaystyle P^{-1}AP}$ диагональная матрица для каждого ${\displaystyle A}$ в комплекте. Следующая теорема характеризует одновременно диагонализуемые матрицы: множество диагонализируемых матрицы коммутирует тогда и только тогда, когда множество одновременно диагонализуемо.^{[1]:стр. 61–63}

Набор всех ${\displaystyle n\times n}$ диагонализуемые матрицы (более ${\displaystyle \mathbb {C} }$) с ${\displaystyle n>1}$ не диагонализуема одновременно. Например, матрицы

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}\quad {\text{and}}\quad {\begin{bmatrix}1&1\\0&0\end{bmatrix}}}$

диагонализуемы, но не одновременно диагонализуемы, потому что они не коммутируют.

Набор состоит из коммутирующих нормальные матрицы тогда и только тогда, когда он одновременно диагонализируется унитарная матрица; то есть существует унитарная матрица ${\displaystyle U}$ такой, что ${\displaystyle U^{*}\!AU}$ диагональна для каждого ${\displaystyle A}$ в комплекте.

На языке Теория лжи, набор одновременно диагонализуемых матриц порождает торальная алгебра Ли.

Примеры

Диагонализируемые матрицы

• Инволюции диагонализуемы над вещественными числами (и действительно над любым полем характеристики, отличной от 2), с ± 1 на диагонали.
• Конечный порядок эндоморфизмы диагонализуемы над ${\displaystyle \mathbb {C} }$ (или любое алгебраически замкнутое поле, где характеристика поля не делит порядок эндоморфизма) с корни единства по диагонали. Это следует из того, что минимальный многочлен равен отделяемый, потому что корни единства различны.
• Прогнозы диагонализуемы, с нулями и единицами на диагонали.
• Настоящий симметричные матрицы диагонализуемы ортогональные матрицы; т.е. для действительной симметричной матрицы ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle Q^{\mathrm {T} }AQ}$ диагональна для некоторой ортогональной матрицы ${\displaystyle Q}$. В более общем смысле, матрицы можно диагонализовать с помощью унитарные матрицы если и только если они нормальный. В случае вещественной симметричной матрицы мы видим, что ${\displaystyle A=A^{\mathrm {T} }}$так ясно ${\displaystyle AA^{\mathrm {T} }=A^{\mathrm {T} }A}$ держит. Примеры нормальных матриц - вещественные симметричные (или кососимметричный ) матрицы (например, ковариационные матрицы) и Эрмитовы матрицы (или косоэрмитовых матриц). Видеть спектральные теоремы для обобщений на бесконечномерные векторные пространства.

Не диагонализуемые матрицы

В целом матрица вращения не диагонализируется над реалами, но все матрицы вращения диагонализуемы над комплексным полем. Даже если матрица не диагонализуема, всегда можно «сделать все возможное» и найти матрицу с такими же свойствами, состоящую из собственных значений на главной диагонали и единиц или нулей на супердиагонали, известной как Нормальная форма Джордана.

Некоторые матрицы не диагонализуемы ни над каким полем, особенно ненулевые. нильпотентные матрицы. Это происходит чаще, если алгебраическая и геометрическая кратности собственного значения не совпадают. Например, рассмотрим

${\displaystyle C={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}.}$

Эта матрица не диагонализуема: нет матрицы ${\displaystyle U}$ такой, что ${\displaystyle U^{-1}CU}$ - диагональная матрица. В самом деле, ${\displaystyle C}$ имеет одно собственное значение (а именно ноль), и это собственное значение имеет алгебраическую кратность 2 и геометрическую кратность 1.

Некоторые вещественные матрицы не диагонализируются над вещественными числами. Рассмотрим, например, матрицу

${\displaystyle B=\left[{\begin{array}{rr}0&1\\\!-1&0\end{array}}\right].}$

Матрица ${\displaystyle B}$ не имеет реальных собственных значений, поэтому нет настоящий матрица ${\displaystyle Q}$ такой, что ${\displaystyle Q^{-1}BQ}$ - диагональная матрица. Однако мы можем диагонализовать ${\displaystyle B}$ если мы допустим комплексные числа. Действительно, если взять

${\displaystyle Q={\begin{bmatrix}1&{\textrm {i}}\\{\textrm {i}}&1\end{bmatrix}},}$

тогда ${\displaystyle Q^{-1}BQ}$ диагональный. Легко найти, что B - матрица вращения, которая вращается против часовой стрелки на угол ${\displaystyle \theta ={\tfrac {3\pi }{2}}}$

Обратите внимание, что приведенные выше примеры показывают, что сумма диагонализуемых матриц не обязательно должна быть диагонализуемой.

Как диагонализовать матрицу

Диагонализация матрицы - это тот же процесс, что и нахождение ее собственные значения и собственные векторы, в случае, если собственные векторы образуют базис. Например, рассмотрим матрицу

${\displaystyle A=\left[{\begin{array}{rrr}0&1&\!\!\!-2\\0&1&0\\1&\!\!\!-1&3\end{array}}\right].}$

Корни характеристический многочлен ${\displaystyle p(\lambda )=\det(\lambda I-A)}$ собственные значения ${\displaystyle \lambda _{1}=1,\lambda _{2}=1,\lambda _{3}=2}$. Решение линейной системы ${\displaystyle (I-A)(\mathbf {v} )=0}$ дает собственные векторы ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}=(1,1,0)}$ и ${\displaystyle \mathbf {v} _{2}=(0,2,1)}$, пока ${\displaystyle (2I-A)(\mathbf {v} )=0}$ дает ${\displaystyle \mathbf {v} _{3}=(1,0,-1)}$; то есть, ${\displaystyle A(\mathbf {v} _{i})=\lambda _{i}\mathbf {v} _{i}}$ за ${\displaystyle i=1,2,3}$. Эти векторы составляют основу ${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{3}}$, поэтому мы можем собрать их как векторы-столбцы смена основы матрица ${\displaystyle P}$ получить:

${\displaystyle P^{-1}\!AP\ =\ \left[{\begin{array}{rrr}1&\,0&1\\1&2&0\\0&1&\!\!\!\!-1\end{array}}\right]^{-1}\left[{\begin{array}{rrr}0&1&\!\!\!-2\\0&1&0\\1&\!\!\!-1&3\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{rrr}1&\,0&1\\1&2&0\\0&1&\!\!\!\!-1\end{array}}\right]\ =\ {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&2\end{bmatrix}}\ =\ D.}$

Мы можем увидеть это уравнение в терминах преобразований: ${\displaystyle P}$ переводит стандартный базис в собственный базис, ${\displaystyle P(\mathbf {e} _{i})=\mathbf {v} _{i}}$, так что имеем:

${\displaystyle P^{-1}\!AP(\mathbf {e} _{i})\ =\ P^{-1}\!A(\mathbf {v} _{i})\ =\ P^{-1}\!(\lambda _{i}\mathbf {v} _{i})\ =\ \lambda _{i}\mathbf {e} _{i},}$

так что ${\displaystyle P^{-1}\!AP}$ имеет стандартный базис в качестве собственных векторов, что является определяющим свойством ${\displaystyle D}$.

Обратите внимание, что нет предпочтительного порядка собственных векторов в ${\displaystyle P}$; изменение порядка собственные векторы в ${\displaystyle P}$ просто меняет порядок собственные значения в диагонализованном виде ${\displaystyle A}$.^[2]

Приложение к матричным функциям

Диагонализацию можно использовать для эффективного вычисления степеней матрицы ${\displaystyle A=PDP^{-1}}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}A^{k}&=\left(PDP^{-1}\right)^{k}=\left(PDP^{-1}\right)\left(PDP^{-1}\right)\cdots \left(PDP^{-1}\right)\\&=PD\left(P^{-1}P\right)D\left(P^{-1}P\right)\cdots \left(P^{-1}P\right)DP^{-1}=PD^{k}P^{-1},\end{aligned}}}$

и последнее легко вычислить, поскольку оно включает только степени диагональной матрицы. Например, для матрицы ${\displaystyle A}$ с собственными значениями ${\displaystyle \lambda =1,1,2}$ в приведенном выше примере мы вычисляем:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}A^{k}=PD^{k}P^{-1}&=&\left[{\begin{array}{rrr}1&\,0&1\\1&2&0\\0&1&\!\!\!\!-1\end{array}}\right]{\begin{bmatrix}1^{k}&0&0\\0&1^{k}&0\\0&0&2^{k}\end{bmatrix}}\left[{\begin{array}{rrr}1&\,0&1\\1&2&0\\0&1&\!\!\!\!-1\end{array}}\right]^{-1}\\[1em]&=&{\begin{bmatrix}2-2^{k}&-1+2^{k}&2-2^{k+1}\\0&1&0\\-1+2^{k}&1-2^{k}&-1+2^{k+1}\end{bmatrix}}.\end{array}}}$

Этот подход можно обобщить на матрица экспонента и другие матричные функции который можно определить как степенной ряд. Например, определение ${\displaystyle \exp(A)=I+A+{\tfrac {1}{2!}}A^{2}+{\tfrac {1}{3!}}A^{3}+\cdots }$ , у нас есть:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\exp(A)=P\,\exp(D)\,P^{-1}&=&\left[{\begin{array}{rrr}1&\,0&1\\1&2&0\\0&1&\!\!\!\!-1\end{array}}\right]{\begin{bmatrix}e^{1}&0&0\\0&e^{1}&0\\0&0&e^{2}\end{bmatrix}}\left[{\begin{array}{rrr}1&\,0&1\\1&2&0\\0&1&\!\!\!\!-1\end{array}}\right]^{-1}\\[1em]&=&{\begin{bmatrix}2e-e^{2}&-e+e^{2}&2e-2e^{2}\\0&e&0\\-e+e^{2}&e-e^{2}&-e+2e^{2}\end{bmatrix}}.\end{array}}}$

Это особенно полезно при поиске выражений в закрытой форме для терминов линейные рекурсивные последовательности, такой как Числа Фибоначчи.

Особое применение

Например, рассмотрим следующую матрицу:

${\displaystyle M={\begin{bmatrix}a&b-a\\0&b\end{bmatrix}}.}$

Расчет различных степеней ${\displaystyle M}$ обнаруживает удивительную закономерность:

${\displaystyle M^{2}={\begin{bmatrix}a^{2}&b^{2}-a^{2}\\0&b^{2}\end{bmatrix}},\quad M^{3}={\begin{bmatrix}a^{3}&b^{3}-a^{3}\\0&b^{3}\end{bmatrix}},\quad M^{4}={\begin{bmatrix}a^{4}&b^{4}-a^{4}\\0&b^{4}\end{bmatrix}},\quad \ldots }$

Вышеупомянутый феномен можно объяснить путем диагонализации ${\displaystyle M}$. Для этого нам понадобится основа ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ состоящий из собственных векторов ${\displaystyle M}$. Один из таких базисов собственных векторов задается формулой

${\displaystyle \mathbf {u} ={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}=\mathbf {e} _{1},\quad \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}=\mathbf {e} _{1}+\mathbf {e} _{2},}$

куда е_я обозначает стандартный базис р^п. Обратное изменение базиса дается формулой

${\displaystyle \mathbf {e} _{1}=\mathbf {u} ,\qquad \mathbf {e} _{2}=\mathbf {v} -\mathbf {u} .}$

Прямые вычисления показывают, что

${\displaystyle M\mathbf {u} =a\mathbf {u} ,\qquad M\mathbf {v} =b\mathbf {v} .}$

Таким образом, а и б собственные значения, соответствующие ты и v, соответственно. По линейности умножения матриц имеем

${\displaystyle M^{n}\mathbf {u} =a^{n}\,\mathbf {u} ,\qquad M^{n}\mathbf {v} =b^{n}\,\mathbf {v} .}$

Возвращаясь к стандартной основе, имеем

${\displaystyle {\begin{aligned}M^{n}\mathbf {e} _{1}&=M^{n}\mathbf {u} =a^{n}\mathbf {e} _{1},\\M^{n}\mathbf {e} _{2}&=M^{n}\left(\mathbf {v} -\mathbf {u} \right)=b^{n}\mathbf {v} -a^{n}\mathbf {u} =\left(b^{n}-a^{n}\right)\mathbf {e} _{1}+b^{n}\mathbf {e} _{2}.\end{aligned}}}$

Предыдущие соотношения, выраженные в матричной форме, таковы:

${\displaystyle M^{n}={\begin{bmatrix}a^{n}&b^{n}-a^{n}\\0&b^{n}\end{bmatrix}},}$

тем самым объясняя вышеуказанное явление.

Квантовая механика

В квантово-механический и квантовая химия Диагонализация матрицы вычислений - один из наиболее часто применяемых численных процессов. Основная причина в том, что не зависящие от времени Уравнение Шредингера является уравнением на собственные значения, хотя в большинстве физических ситуаций в бесконечномерном пространстве (a Гильбертово пространство ).

Очень распространенное приближение - усечение гильбертова пространства до конечной размерности, после чего уравнение Шредингера может быть сформулировано как проблема собственных значений действительной симметричной или комплексной эрмитовой матрицы. Формально это приближение основано на вариационный принцип, справедливые для ограниченных снизу гамильтонианов.

Теория возмущений первого порядка также приводит к матричной проблеме собственных значений для вырожденных состояний.

Смотрите также

• Дефектная матрица
• Масштабирование (геометрия)
• Треугольная матрица
• Полупростой оператор
• Диагонализируемая группа
• Нормальная форма Джордана
• Весовой модуль - обобщение ассоциативной алгебры
• Ортогональная диагонализация

Примечания

Рекомендации

1. Хорн, Роджер А .; Джонсон, Чарльз Р. (2013). Матричный анализ, второе издание. Издательство Кембриджского университета. ISBN  9780521839402.
2. Антон, H .; Роррес, К. (22 февраля 2000 г.). Элементарная линейная алгебра (прикладная версия) (8-е изд.). Джон Вили и сыновья. ISBN  978-0-471-17052-5.

внешняя ссылка

• «Диагонализация». PlanetMath. (или попробуйте https://planetmath.org/Diagonalization )