Гипергомология - Hyperhomology

В гомологическая алгебра, то гипергомология или же гиперкогомология комплекса объектов абелева категория является расширением обычных гомологий объекта до комплексов и представляет собой нечто среднее между когомологиями производных функторов объекта и гомологиями цепного комплекса.

Гипергомология больше не используется широко: примерно с 1970 года она была в значительной степени заменена примерно эквивалентной концепцией производный функтор между производные категории.

Определение

Мы даем определение гиперкогомологии, поскольку это более распространено. Как обычно, гиперкогомологии и гипергомологии по сути одно и то же: одна переходит из одной в другую путем дуализации, то есть путем изменения направления всех стрелок, замены инъективных объектов проективными и т. Д.

Предположим, что А абелева категория с достаточно инъекций и F а левый точный функтор в другую абелеву категорию B. Если C представляет собой комплекс объектов А ограниченный слева, гиперкогомология

ЧАС^я(C)

из C (для целого числа я) рассчитывается следующим образом:

1. Взять квазиизоморфизм Φ : C → я, здесь я представляет собой комплекс инъективных элементов А.
2. Гиперкогомологии ЧАС^я(C) из C тогда когомологии ЧАС^я(F(я)) комплекса F(я).

Гиперкогомологии C не зависит от выбора квазиизоморфизм, с точностью до однозначных изоморфизмов.

Гиперкогомологии также можно определить с помощью производные категории: гиперкогомология C это просто когомологии РФ(C) рассматривается как элемент производной категории B.

Для комплексов, которые обращаются в нуль при отрицательных индексах, гиперкогомологии можно определить как производные функторы ЧАС⁰ = FH⁰ = ЧАС⁰F.

Спектральные последовательности гиперкогомологий

Есть две гиперкогомологии спектральные последовательности; один с E₂ срок

${\displaystyle R^{i}F(H^{j}(C))}$

а другой с E₁ срок

${\displaystyle R^{j}F(C^{i})}$

и E₂ срок

${\displaystyle H^{i}(R^{j}F(C))}$

оба сходятся к гиперкогомологиям

${\displaystyle H^{i+j}(RF(C))}$,

куда р^jF это правый производный функтор из F.

Примеры

• Для разнообразия Икс над полем kвторая спектральная последовательность сверху дает Спектральная последовательность Ходжа-де Рама за алгебраические когомологии де Рама:

  ${\displaystyle E_{1}^{p,q}=H^{q}(X,\Omega _{X}^{p})\Rightarrow \mathbf {H} ^{p+q}(X,\Omega _{X}^{\bullet })=:H_{DR}^{p+q}(X/k)}$.

• Другой пример взят из голоморфный бревенчатый комплекс на комплексном многообразии. Позволять Икс - комплексное алгебраическое многообразие и ${\displaystyle j:X\hookrightarrow Y}$ хорошая компактификация. Это означает, что Y компактное алгебраическое многообразие и ${\displaystyle D=Y-X}$ является делителем на ${\displaystyle Y}$ с простыми нормальными переходами. Естественное включение комплексов пучков
  ${\displaystyle \Omega _{Y}^{\bullet }(\log D)\rightarrow j_{*}\Omega _{X}^{\bullet }}$

  оказывается квазиизоморфизмом и индуцирует изоморфизм

  ${\displaystyle H^{k}(X;\mathbb {C} )\rightarrow \mathbf {H} ^{k}(Y,\Omega _{Y}^{\bullet }(\log D))}$.

Смотрите также

• Резолюция Картана – Эйленберга

Рекомендации

• Х. Картан, С. Эйленберг, Гомологическая алгебра ISBN  0-691-04991-2
• В.И. Данилов (2001) [1994], «Функтор гипергомологии», Энциклопедия математики, EMS Press
• А. Гротендик, Sur quelques points d'algèbre homologique Tohoku Math. J. 9 (1957), стр. 119-221.