Производная категория - Derived category

В математика, то производная категория D(А) из абелева категория А это конструкция гомологическая алгебра введены для уточнения и в определенном смысле упрощения теории производные функторы определено на А. Строительство ведется исходя из того, что объекты из D(А) должно быть цепные комплексы в А, причем два таких цепных комплекса рассматриваются изоморфный когда есть карта цепи что индуцирует изоморфизм на уровне гомология цепных комплексов. Затем производные функторы могут быть определены для цепных комплексов, уточняя понятие гиперкогомология. Определения приводят к значительному упрощению формул, иначе описываемых (не совсем точно) сложными спектральные последовательности.

Развитие производной категории путем Александр Гротендик и его ученик Жан-Луи Вердье вскоре после 1960 года, теперь он выступает в качестве конечной точки в бурном развитии гомологической алгебры в 1950-х годах, десятилетии, в котором она добилась замечательных успехов. Основная теория Вердье была изложена в его диссертации, опубликованной окончательно в 1996 г. Astérisque (резюме ранее публиковалось в SGA 4½ ). Аксиоматика требовала нововведений, концепции триангулированная категория, а конструкция основана на локализация категории, обобщение локализация кольца. Первоначальный импульс к развитию «производного» формализма был вызван необходимостью найти подходящую формулировку теории Гротендика. когерентная двойственность теория. Производные категории с тех пор стали незаменимыми и за пределами алгебраическая геометрия, например, в формулировке теории D-модули и микролокальный анализ. Недавно полученные категории также стали важными в областях, более близких к физике, таких как D-браны и зеркальная симметрия.

Мотивации

В связный пучок теории, доводя до предела того, что можно сделать с Двойственность Серра без предположения о неособый схема, необходимость взять целый комплекс связок вместо одного дуализирующий пучок стало очевидным. Фактически Кольцо Коэна – Маколея условие, ослабление неособенности, соответствует существованию единственного дуализирующего пучка; и это далеко не общий случай. С интеллектуальной позиции сверху вниз, которую всегда занимал Гротендик, это означало необходимость переформулировать. С ней пришла идея, что «настоящая» тензорное произведение и Hom функторами будут те, которые существуют на производном уровне; в этом отношении Tor и Ext становятся больше похожими на вычислительные устройства.

Несмотря на уровень абстракции, производные категории стали приняты в последующие десятилетия, особенно в качестве удобной настройки для когомологии пучков. Возможно, самым большим достижением стала формулировка Соответствие Римана – Гильберта в измерениях больше 1 в производных единицах, примерно в 1980 году. Сато школа приняла язык производных категорий, и последующая история D-модули была теория, выраженная в этих терминах.

Параллельно развивалась категория спектры в теория гомотопии. Гомотопическая категория спектров и производная категория кольца являются примерами триангулированные категории.

Определение

Позволять А быть абелева категория. (Некоторые основные примеры относятся к категории модули через звенеть, или категория снопы абелевых групп на топологическом пространстве.) Получаем производную категорию D(А) в несколько этапов:

• Базовым объектом является категория Ком (А) из цепные комплексы

  ${\displaystyle \cdots \to X^{-1}{\xrightarrow {d^{-1}}}X^{0}{\xrightarrow {d^{0}}}X^{1}{\xrightarrow {d^{1}}}X^{2}\to \cdots }$

в А. Его объекты будут объектами производной категории, но его морфизмы будут изменены.

• Перейти к гомотопическая категория цепных комплексов K(А) путем выявления морфизмов, которые цепной гомотопный.
• Перейти в производную категорию D(А) к локализация на множестве квазиизоморфизмы. Морфизмы в производной категории могут быть явно описаны как крыши Икс ← ИКС' → Y, куда ИКС' → Икс является квазиизоморфизмом и ИКС' → Y - любой морфизм цепных комплексов.

Второй шаг можно пропустить, поскольку гомотопическая эквивалентность, в частности, является квазиизоморфизмом. Но тогда простой крыша определение морфизмов должно быть заменено более сложным с использованием конечных цепочек морфизмов (технически это уже не исчисление дробей). Таким образом, одноступенчатая конструкция в некотором смысле более эффективна, но более сложна.

С точки зрения категории моделей, производная категория D(А) является истинной гомотопической категорией категории комплексов, тогда как K(А) можно было бы назвать «наивной гомотопической категорией».

Производные Hom-множества

Как отмечалось ранее, в производной категории наборы hom выражаются через крыши или впадины. ${\displaystyle X\rightarrow Y'\leftarrow Y}$, куда ${\displaystyle Y\to Y'}$ является квазиизоморфизмом. Чтобы лучше понять, как выглядят элементы, рассмотрите точную последовательность

${\displaystyle 0\to {\mathcal {E}}_{n}{\overset {\phi _{n,n-1}}{\rightarrow }}{\mathcal {E}}_{n-1}{\overset {\phi _{n-1,n-2}}{\rightarrow }}\cdots {\overset {\phi _{1,0}}{\rightarrow }}{\mathcal {E}}_{0}\to 0}$

Мы можем использовать это для построения морфизма ${\displaystyle \phi :{\mathcal {E}}_{0}\to {\mathcal {E}}_{n}[+(n-1)]}$ усекая комплекс выше, сдвигая его и используя очевидные морфизмы выше. В частности, у нас есть картинка

${\displaystyle {\begin{matrix}0&\to &{\mathcal {E}}_{n}&\to &0&\to &\cdots &\to &0&\to &0\\\uparrow &&\uparrow &&\uparrow &&\cdots &&\uparrow &&\uparrow \\0&\to &{\mathcal {E}}_{n}&\to &{\mathcal {E}}_{n-1}&\to &\cdots &\to &{\mathcal {E}}_{1}&\to &0\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\cdots &&\downarrow &&\downarrow \\0&\to &0&\to &0&\to &\cdots &\to &{\mathcal {E}}_{0}&\to &0\end{matrix}}}$

где нижний комплекс имеет ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{0}}$ концентрированный в степени ${\displaystyle 0}$, единственная нетривиальная стрелка вверх - это морфизм равенства, а единственная нетривиальная стрелка вниз - это ${\displaystyle \phi _{1,0}:{\mathcal {E}}_{1}\to {\mathcal {E}}_{0}}$. Эта диаграмма комплексов определяет морфизм

${\displaystyle \phi \in \mathbf {RHom} ({\mathcal {E}}_{0},{\mathcal {E}}_{n}[+(n-1)])}$

в производной категории. Одно из применений этого наблюдения - построение класса Атья.^[1]

Замечания

Для определенных целей (см. Ниже) используется ограниченный снизу (${\displaystyle X^{n}=0}$ за ${\displaystyle n\ll 0}$), ограниченный сверху (${\displaystyle X^{n}=0}$ за ${\displaystyle n\gg 0}$) или же ограниченный (${\displaystyle X^{n}=0}$ за ${\displaystyle |n|\gg 0}$) комплексов вместо неограниченных. Соответствующие производные категории обычно обозначают D⁺(А), D⁻(А) и D^б(А), соответственно.

Если принять классическую точку зрения на категории, то существует набор морфизмов от одного объекта к другому (а не просто учебный класс ), то для доказательства этого нужно привести дополнительный аргумент. Если, например, абелева категория А имеет небольшой размер, т.е. имеет только набор объектов, то с этим проблем не будет. Кроме того, если А это Абелева категория Гротендика, то производная категория D(А) эквивалентна полной подкатегории гомотопической категории K(А), а значит, имеет только набор морфизмов от одного объекта к другому.^[2] Абелевы категории Гротендика включают категорию модулей над кольцом, категорию пучков абелевых групп на топологическом пространстве и многие другие примеры.

Составление морфизмов, то есть крыш, в производной категории достигается путем нахождения третьей крыши поверх двух крыш, которые нужно составить. Можно проверить, что это возможно и дает четко определенную ассоциативную композицию.

С К (А) это триангулированная категория, его локализация D (А) также триангулирован. Для целого числа п и комплекс Икс, определять^[3] комплекс Икс[п] быть Икс сдвинут на п, так что

${\displaystyle X[n]^{i}=X^{n+i},}$

с дифференциалом

${\displaystyle d_{X[n]}=(-1)^{n}d_{X}.}$

По определению выделенный треугольник в D (А) - треугольник, изоморфный в D (А) к треугольнику Икс → Y → Конус (ж) → Икс[1] для некоторой карты комплексов ж: Икс → Y. Здесь Конус (ж) обозначает картографический конус из ж. В частности, для короткой точной последовательности

${\displaystyle 0\rightarrow X\rightarrow Y\rightarrow Z\rightarrow 0}$

в А, треугольник Икс → Y → Z → Икс[1] отличается D (А). Вердье объяснил, что определение сдвига Икс[1] принудительно требует Икс[1] быть конусом морфизма Икс → 0.^[4]

Просматривая объект А как комплекс, сосредоточенный в нулевой степени, производная категория D (А) содержит А как полная подкатегория. Морфизмы в производной категории включают информацию обо всех Внешние группы: для любых объектов Икс и Y в А и любое целое число j,

${\displaystyle {\text{Hom}}_{D({\mathcal {A}})}(X,Y[j])={\text{Ext}}_{\mathcal {A}}^{j}(X,Y).}$

Проективные и инъективные резолюции

Легко показать, что гомотопическая эквивалентность это квазиизоморфизм, поэтому второй шаг в приведенной выше конструкции можно пропустить. Определение обычно дается таким образом, потому что оно раскрывает существование канонического функтора

${\displaystyle K({\mathcal {A}})\rightarrow D({\mathcal {A}}).}$

В конкретных ситуациях очень сложно или невозможно напрямую обрабатывать морфизмы в производной категории. Поэтому нужно искать более управляемую категорию, эквивалентную производной категории. Классически к этому существует два (двойственных) подхода: проективный и инъективные разрешения. В обоих случаях ограничение указанного выше канонического функтора на соответствующую подкатегорию будет эквивалентность категорий.

Далее мы опишем роль инъективных разрешений в контексте производной категории, которая является основой для определения правильных производные функторы, которые, в свою очередь, имеют важное применение в когомология из снопы на топологические пространства или более продвинутые теории когомологий, такие как этальные когомологии или же групповые когомологии.

Чтобы применить эту технику, нужно предположить, что рассматриваемая абелева категория имеет достаточно инъекций, что означает, что каждый объект Икс категории допускает мономорфизм для инъективный объект я. (Ни карту, ни инъективный объект не нужно указывать однозначно.) Например, каждый Абелева категория Гротендика хватает инъекций. Встраивание Икс в некоторый инъективный объект я⁰, то коядро этой карты в некоторую инъективную я¹ и т. д., строится инъекционное разрешение из Икс, т.е. точный (в общем бесконечная) последовательность

${\displaystyle 0\rightarrow X\rightarrow I^{0}\rightarrow I^{1}\rightarrow \cdots ,\,}$

где я* - инъективные объекты. Эта идея обобщается на разрешение ограниченно снизу комплексов. Икс, т.е. Икс^п = 0 для достаточно малых п. Как отмечалось выше, инъективные резольвенты не определены однозначно, но факт, что любые две резольвенты гомотопически эквивалентны друг другу, т.е. изоморфны в гомотопической категории. Более того, морфизмы комплексов однозначно продолжаются до морфизма двух данных инъективных резольвент.

Это момент, когда категория гомотопии снова вступает в игру: отображение объекта Икс из А к (любому) инъективному разрешению я* из А распространяется на функтор

${\displaystyle D^{+}({\mathcal {A}})\rightarrow K^{+}(\mathrm {Inj} ({\mathcal {A}}))}$

из ограниченной снизу производной категории в ограниченную снизу гомотопическую категорию комплексов, термы которых являются инъективными объектами в А.

Нетрудно понять, что этот функтор на самом деле обратен ограничению канонического функтора локализации, упомянутому в начале. Другими словами, морфизмы Hom (Икс,Y) в производной категории может быть вычислена путем разрешения обоих Икс и Y и вычисление морфизмов в гомотопической категории, что, по крайней мере, теоретически проще. Фактически достаточно разрешить Y: для любого комплекса Икс и любой ограниченный снизу комплекс Y инъекций,

${\displaystyle \mathrm {Hom} _{D(A)}(X,Y)=\mathrm {Hom} _{K(A)}(X,Y).}$

Кроме того, если предположить, что А имеет довольно проекции, т.е. для каждого объекта Икс существует эпиморфизм от проективного объекта п к Иксможно использовать проективные резольвенты вместо инъективных.

В дополнение к этим методам разрешения есть аналогичные, которые применяются в особых случаях и элегантно избегают проблемы с ограничениями сверху или снизу: Спальтенштейн (1988) использует так называемые K-инъективный и K-проективный резолюции, Май (2006) и (на немного другом языке) Келлер (1994) представил так называемый ячейки-модули и полусвободный модули соответственно.

В более общем плане, тщательно адаптируя определения, можно определить производную категорию точная категория (Келлер 1996 ).

Связь с производными функторами

Производная категория является естественной основой для определения и изучения производные функторы. Далее пусть F: А → B - функтор абелевых категорий. Есть две двойственные концепции:

• правые производные функторы происходят от левых точных функторов и вычисляются с помощью инъективных разрешений
• левые производные функторы происходят от правых точных функторов и вычисляются через проективные резольвенты

Ниже мы опишем правые производные функторы. Итак, предположим, что F остается точным. Типичные примеры: F: А → Ab определяется Икс ↦ Хом (Икс, А) или же Икс ↦ Хом (А, Икс) для некоторого фиксированного объекта А, или Функтор глобальных секций на снопы или функтор прямого изображения. Их правые производные функторы Ext^п(–,А), Ext^п(А,–), ЧАС^п(Икс, F) или же р^пж_∗ (F), соответственно.

Производная категория позволяет нам инкапсулировать все производные функторы р^пF в один функтор, а именно так называемый тотально производный функтор РФ: D⁺(А) → D⁺(B). Это следующий состав: D⁺(А) ≅ K⁺(Inj (А)) → K⁺(B) → D⁺(B), где первая эквивалентность категорий описана выше. Классические производные функторы связаны с полным через р^пF(Икс) = ЧАС^п(РФ(Икс)). Можно сказать, что р^пF забыть о цепном комплексе и оставить только когомологии, тогда как РФ отслеживает комплексы.

Производные категории - это в некотором смысле «правильное» место для изучения этих функторов. Например, Спектральная последовательность Гротендика композиции двух функторов

${\displaystyle {\mathcal {A}}{\stackrel {F}{\rightarrow }}{\mathcal {B}}{\stackrel {G}{\rightarrow }}{\mathcal {C}},\,}$

такой, что F карты инъективные объекты в А к грамм-циклические (т.е. р^яграмм(F(я)) = 0 для всех я > 0 и инъективный я), является выражением следующего тождества полных производных функторов

р(грамм∘F) ≅ RG∘РФ.

Ж.-Л. Вердье показал, как производные функторы, связанные с абелевой категорией А можно рассматривать как Кан расширения вдоль вложений А в подходящие производные категории [Mac Lane].

Производная эквивалентность

Может случиться, что две абелевы категории А и B не эквивалентны, но их производные категории D (А) и D (B) находятся. Часто это интересная связь между А и B. Такие эквивалентности связаны с теорией т-структуры в триангулированные категории. Вот несколько примеров.^[5]

• Позволять ${\displaystyle \mathrm {Coh} (\mathbb {P} ^{1})}$ быть абелевой категорией когерентные пучки на проективная линия через поле k. Позволять K₂-Rep - абелева категория представлений Кронекеровский колчан с двумя вершинами. Это очень разные абелевы категории, но их (ограниченные) производные категории эквивалентны.
• Позволять Q быть любым колчан и п быть колчаном, полученным из Q перевернув несколько стрелок. В целом категории представлений Q и п разные, но D^б(Q-Rep) всегда эквивалентен D^б(п-Rep).
• Позволять Икс быть абелева разновидность, Y это двойственное абелево многообразие. Тогда D^б(Coh (Икс)) эквивалентно D^б(Coh (Y)) по теории Преобразования Фурье – Мукаи. Многообразия с эквивалентными производными категориями когерентных пучков иногда называют Партнеры Фурье – Мукаи.

Смотрите также

• Полученная некоммутативная алгебраическая геометрия
• Когерентные пучки когомологии
• Когерентная двойственность
• Производная алгебраическая геометрия

Примечания

1. Маркарян, Никита (2009). «Класс Атьи, когомологии Хохшильда и теорема Римана-Роха». Журнал Лондонского математического общества. 79: 129–143. arXiv:математика / 0610553. Дои:10.1112 / jlms / jdn064. S2CID  16236000.
2. М. Кашивара и П. Шапира. Категории и связки. Спрингер-Верлаг (2006). Теорема 14.3.1.
3. С. Гельфанд, Ю. Манин. Методы гомологической алгебры. Спрингер-Верлаг (2003). III.3.2.
4. Ж.-Л. Вердье. Astérisque 239. Soc. Математика. де Франс (1996). Приложение к гл. 1.
5. Келлер, Бернхард (2003). «Производные категории и наклон» (PDF).

Рекомендации

• Дорн, М.Г.М. фургон (2001) [1994], «Производная категория», Энциклопедия математики, EMS Press
• Келлер, Бернхард (1996), «Производные категории и их использование», в Hazewinkel, M. (ed.), Справочник по алгебре, Амстердам: Северная Голландия, стр.671–701, ISBN  0-444-82212-7, МИСТЕР  1421815
• Келлер, Бернхард (1994), "Получение категорий DG", Научные Анналы Высшей Нормальной Школы, Сери 4, 27 (1): 63–102, Дои:10.24033 / asens.1689, ISSN  0012-9593, МИСТЕР  1258406
• Мэй, Дж. П. (2006), Производные категории с топологической точки зрения (PDF)
• Спальтенштейн, Н. (1988), «Разрешения неограниченных комплексов», Compositio Mathematica, 65 (2): 121–154, ISSN  0010-437X, МИСТЕР  0932640
• Вердье, Жан-Луи (1996), "Des Catégories Dérivées des Catégories Abéliennes", Astérisque (на французском языке), Париж: Société Mathématique de France, 239, ISSN  0303-1179, МИСТЕР  1453167

Четыре учебника, в которых обсуждаются производные категории:

• Гельфанд, Сергей I .; Манин Юрий Иванович (2003), Методы гомологической алгебры, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-43583-9, МИСТЕР  1950475
• Кашивара, Масаки; Шапира, Пьер (2006), Категории и связки, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-27949-5, МИСТЕР  2182076
• Вейбель, Чарльз А. (1994). Введение в гомологическую алгебру. Кембриджские исследования в области высшей математики. 38. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-55987-4. МИСТЕР  1269324. OCLC  36131259.
• Екутиели, Амнон (2019). Производные категории. Кембриджские исследования в области высшей математики. 183. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-1108419338.