Начальное состояние - Initial condition

В математика и особенно в динамические системы, начальное состояние, в некоторых контекстах называется ценность семян,^[1]^:стр.160 это ценность развивающегося Переменная в какой-то момент времени, обозначенный как начальный момент (обычно обозначается т = 0). Для системы порядок k (количество запаздываний в дискретное время, или порядок наибольшей производной в непрерывное время ) и измерение п (то есть с п различные развивающиеся переменные, которые вместе можно обозначить п-размерный вектор координат ), в общем нк начальные условия необходимы, чтобы проследить переменные системы во времени.

В обоих дифференциальные уравнения в непрерывном времени и разностные уравнения в дискретном времени начальные условия влияют на значение динамических переменных (переменные состояния ) в любое время в будущем. В непрерывном времени проблема поиска решение в закрытой форме для переменных состояния как функции времени и начальных условий называется проблема начального значения. Соответствующая проблема существует для ситуаций с дискретным временем. Хотя решение в закрытой форме не всегда возможно получить, будущие значения системы с дискретным временем могут быть найдены путем повторения вперед на один период времени за итерацию, хотя ошибка округления может сделать это непрактичным в долгосрочной перспективе.

Линейная система

Дискретное время

Линейный матричное разностное уравнение однородной (не имеющей постоянного члена) формы ${ displaystyle X_ {t + 1} = AX_ {t}}$ имеет решение в закрытой форме ${ displaystyle X_ {t} = A ^ {t} X_ {0}}$ основанный на векторе ${ displaystyle X_ {0}}$ начальных условий для отдельных переменных, которые складываются в вектор; ${ displaystyle X_ {0}}$ называется вектором начальных условий или просто начальным условием, и содержит нк кусочки информации, п размерность вектора Икс и k = 1 - количество временных задержек в системе. Начальные условия в этой линейной системе не влияют на качественный характер будущего поведения переменной состояния Икс; это поведение стабильный или нестабильный в зависимости от собственные значения матрицы А но не исходя из начальных условий.

Как вариант, динамический процесс в одной переменной Икс наличие нескольких временных лагов

{ displaystyle x_ {t} = a_ {1} x_ {t-1} + a_ {2} x_ {t-2} + cdots + a_ {k} x_ {t-k}.}

Здесь размерность п = 1 и порядок k, поэтому необходимое количество начальных условий для отслеживания системы во времени, итеративно или с помощью решения в закрытой форме, равно нк = k. Опять же, начальные условия не влияют на качественный характер долгосрочной эволюции переменной. Решение этого уравнения находится с использованием его характеристическое уравнение ${ displaystyle lambda ^ {k} -a_ {1} lambda ^ {k-1} -a_ {2} lambda ^ {k-2} - cdots -a_ {k-1} lambda -a_ { k} = 0}$ для получения последнего k решения, которые являются характерные значения ${ displaystyle lambda _ {1}, dots, lambda _ {k},}$ для использования в решении уравнения

{ displaystyle x_ {t} = c_ {1} lambda _ {1} ^ {t} + cdots + c_ {k} lambda _ {k} ^ {t}.}

Здесь константы ${ displaystyle c_ {1}, dots, c_ {k}}$ находятся путем решения системы k различные уравнения, основанные на этом уравнении, каждое из которых использует одно из k разные значения т для которого конкретное начальное условие ${ displaystyle x_ {t}}$ Известен.

Непрерывное время

Система дифференциальных уравнений первого порядка с п переменные, сложенные в вектор Икс является

{ displaystyle { frac {dX} {dt}} = AX.}

Его поведение во времени можно проследить с помощью решения в замкнутой форме, зависящего от вектора начального состояния ${ displaystyle X_ {0}}$ . Количество необходимых исходных данных - это размер п системы умножает заказ k = 1 системы, или п. Начальные условия не влияют на качественное поведение (стабильное или нестабильное) системы.

Один k^th упорядочить линейное уравнение с одной переменной Икс является

{ displaystyle { frac {d ^ {k} x} {dt ^ {k}}} + a_ {k-1} { frac {d ^ {k-1} x} {dt ^ {k-1} }} + cdots + a_ {1} { frac {dx} {dt}} + a_ {0} x = 0.}

Здесь количество начальных условий, необходимых для получения решения в замкнутой форме, есть размерность п = 1 раз больше заказа k, или просто k. В этом случае k исходные данные обычно не будут разными значениями переменной Икс в разные моменты времени, а значения Икс и его первый k - 1 производные, все в определенный момент времени, например, в нулевой момент времени. Начальные условия не влияют на качественный характер поведения системы. В характеристическое уравнение этого динамического уравнения ${ displaystyle lambda ^ {k} + a_ {k-1} lambda ^ {k-1} + cdots + a_ {1} lambda + a_ {0} = 0,}$ чьи решения являются характерные значения ${ displaystyle lambda _ {1}, dots, lambda _ {k};}$ они используются в решении уравнения

{ displaystyle x (t) = c_ {1} e ^ { lambda _ {1} t} + cdots + c_ {k} e ^ { lambda _ {k} t}.}

Это уравнение и его первое k - 1 производные образуют систему k уравнения, которые могут быть решены для k параметры ${ displaystyle c_ {1}, dots, c_ {k},}$ при известных начальных условиях на Икс и это k - 1 значение производных в разное время т.

Нелинейные системы

Нелинейные системы могут демонстрировать значительно более разнообразное поведение, чем линейные системы. В частности, начальные условия могут влиять на то, расходится ли система на бесконечность или сходится тому или другому аттрактор системы. Каждый аттрактор, (возможно, отключенная) область значений, к которой некоторые динамические пути приближаются, но никогда не покидают ее, имеет (возможно, отключенную) бассейн притяжения таким образом, что переменные состояния с начальными условиями в этом бассейне (и нигде больше) будут развиваться в направлении этого аттрактора. Даже близкие начальные условия могут находиться в областях притяжения разных аттракторов (см. Например Метод Ньютона # Бассейны притяжения ).

Более того, в тех нелинейных системах, показывающих хаотичное поведение, эволюция переменных показывает чувствительная зависимость от начальных условий: повторные значения любых двух очень близких точек на одном странный аттрактор, оставаясь на аттракторе, со временем будут расходиться друг от друга. Таким образом, даже на одном аттракторе точные значения начальных условий имеют существенное значение для будущих положений итераций. Эта функция позволяет точно симуляция будущих значений сложно и невозможно на длительных горизонтах, потому что определение начальных условий с точной точностью редко возможно и потому что ошибка округления неизбежна даже после нескольких итераций от точного начального условия.

Смотрите также

Вектор инициализации, в криптографии