Размерность (векторное пространство) - Dimension (vector space) - Wikipedia

В математика, то измерение из векторное пространство V это мощность (то есть количество векторов) основа из V над его основанием поле.^[1] Иногда его называют Измерение Гамеля (после Георг Хамель ) или же алгебраическая размерность отличить его от других типов измерение.

Для каждого векторного пространства существует базис,^[а] и все базы векторного пространства имеют одинаковую мощность;^[b] в результате размерность векторного пространства определяется однозначно. Мы говорим V является конечномерный если размер V является конечный, и бесконечномерный если его размер бесконечный.

Размерность векторного пространства V над полем F можно записать как тусклый_F(V) или как [V: F] читать "размер V над F". Когда F можно вывести из контекста dim (V) обычно пишется.

Примеры

Векторное пространство р³ имеет

{ displaystyle left {{ begin {pmatrix} 1 0 0 end {pmatrix}}, { begin {pmatrix} 0 1 0 end {pmatrix}}, { begin {pmatrix} 0 0 1 end {pmatrix}} right }}

как стандартная основа, поэтому имеем тусклый_р(р³) = 3. В более общем смысле dim_р(р^п) = п, и, в более общем смысле, тусклый_F(F^п) = п для любого поле F.

В сложные числа C являются как действительным, так и комплексным векторным пространством; у нас тусклый_р(C) = 2 и тусклый_C(C) = 1. Таким образом, размер зависит от основного поля.

Единственное векторное пространство с размерностью 0 - это {0}, векторное пространство, состоящее только из его нулевого элемента.

Факты

Если W это линейное подпространство из V, затем тусклый (W) ≤ dim (V).

Чтобы показать, что два конечномерных векторных пространства равны, часто используют следующий критерий: если V - конечномерное векторное пространство и W является линейным подпространством в V с тусклым (W) = тусклый (V), тогда W = V.

р^п имеет стандартную основу {е₁, ..., е_п}, куда е_я это я-й столбец соответствующего единичная матрица. Следовательно, р^п имеет размер п.

Любые два векторных пространства над F того же размера изоморфный. Любой биективный отображение между их базами может быть однозначно расширено до биективного линейного отображения между векторными пространствами. Если B некоторое множество, векторное пространство с размерностью |B| над F можно построить следующим образом: возьмем множество F^(B) всех функций ж : B → F такой, что ж(б) = 0 для всех, кроме конечного б в B. Эти функции можно добавлять и умножать с элементами F, и получаем желаемое F-векторное пространство.

Важный результат о размерах дает теорема ранга-недействительности за линейные карты.

Если F/K это расширение поля, тогда F в частности, векторное пространство над K. Кроме того, каждый F-векторное пространство V также K-векторное пространство. Размеры связаны формулой

тусклый_K(V) = тусклый_K(F) тусклый_F(V).

В частности, каждое комплексное векторное пространство размерности п реальное векторное пространство размерности 2п.

Некоторые простые формулы связывают размерность векторного пространства с мощность базового поля и мощности самого пространства. V векторное пространство над полем F затем, обозначая размер V по тусклому V, у нас есть:

Если тусклый V конечно, то |V| = |F|^{тусклый V}.

Если тусклый V бесконечно, то |V| = макс (|F|, тусклый V).

Обобщения

Можно рассматривать векторное пространство как частный случай матроид, а в последнем есть четко определенное понятие размерности. В длина модуля и ранг абелевой группы оба имеют несколько свойств, аналогичных размерности векторных пространств.

В Измерение Крулля коммутативного звенеть, названный в честь Вольфганг Круль (1899–1971), определяется как максимальное количество строгих включений в возрастающей цепочке главные идеалы в ринге.

След

В качестве альтернативы размерность векторного пространства может быть охарактеризована как след из оператор идентификации. Например, ${ displaystyle operatorname {tr} operatorname {id} _ { mathbf {R} ^ {2}} = operatorname {tr} left ({ begin {smallmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {smallmatrix} } right) = 1 + 1 = 2.}$ Это определение кажется круглым, но допускает полезные обобщения.

Во-первых, он позволяет определить понятие размерности, когда у него есть след, но нет естественного чувства основы. Например, у кого-то может быть алгебра А с картами ${ displaystyle eta двоеточие K to A}$ (включение скаляров, называемое единица измерения) и карту ${ displaystyle epsilon двоеточие от A до K}$ (соответствующий следу, называемый графство ). Сочинение ${ displaystyle epsilon circ eta двоеточие K to K}$ - скаляр (являющийся линейным оператором в одномерном пространстве) соответствует «следу тождества» и дает понятие размерности абстрактной алгебры. На практике в биалгебры требуется, чтобы это отображение было тождеством, которое может быть получено путем нормализации счетчика путем деления на размерность ( ${ displaystyle epsilon: = textstyle { frac {1} {n}} operatorname {tr}}$ ), поэтому в этих случаях нормирующая постоянная соответствует размерности.

В качестве альтернативы можно взять след операторов в бесконечномерном пространстве; в этом случае определяется (конечный) след, даже если (конечной) размерности не существует, и дает понятие «размерности оператора». Они подпадают под рубрику "класс трассировки операторы "на Гильбертово пространство, или в более общем смысле ядерные операторы на Банахово пространство.

Более тонкое обобщение - рассмотреть след семья операторов как своеобразное "закрученное" измерение. Это происходит значительно в теория представлений, где персонаж представления является следом представления, следовательно, скалярная функция на группа ${ Displaystyle чи двоеточие G к K,}$ чье значение на личности ${ displaystyle 1 in G}$ - это размерность представления, поскольку представление отправляет идентичность в группе в единичную матрицу: ${ displaystyle chi (1_ {G}) = operatorname {tr} I_ {V} = dim V.}$ Можно просмотреть другие значения ${ Displaystyle чи (г)}$ символа как "скрученные" измерения и найти аналоги или обобщения утверждений о размерах утверждений о символах или представлениях. Изощренный пример этого встречается в теории чудовищный самогон: the j-инвариантный это градуированный размер бесконечномерного градуированного представления группа монстров, и замена размера на символ дает Серия Маккея – Томпсона для каждого элемента группы Монстров.^[2]

Смотрите также

Фрактальное измерение
Измерение Крулля
Матроид ранг
Ранг (линейная алгебра)
Топологическое измерение, также называемая покрывающей размерностью Лебега

Примечания

^ если предположить аксиома выбора
^ видеть теорема размерности для векторных пространств

внешняя ссылка

Лекция Гилберта Стрэнга по линейной алгебре Массачусетского технологического института о независимости, базисе и размерности в MIT OpenCourseWare

[2] если предположить аксиома выбора

[3] видеть теорема размерности для векторных пространств

[1] Ицков, Михаил (2009). Тензорная алгебра и тензорный анализ для инженеров: с приложениями к механике сплошной среды. Springer. п. 4. ISBN 978-3-540-93906-1.

[gannon-4] Гэннон, Терри (2006), Самогон за гранью монстра: мост, соединяющий алгебру, модульные формы и физику, ISBN 0-521-83531-3

[1]

[а]

[b]

[2]

Измерение
Размерные пространства	Векторное пространство Евклидово пространство Аффинное пространство Проективное пространство Бесплатный модуль Многообразие Алгебраическое многообразие Пространство-время
Другие размеры	Krull Покрытие Лебега Индуктивный Хаусдорф Минковский Фрактал Степени свободы
Многогранники и формы	Гиперплоскость Гиперповерхность Гиперкуб Гиперсфера Гиперпрямоугольник Демигиперкуб Кросс-многогранник Симплекс
Размеры по номеру	Нуль Один Два Три Четыре Пять Шесть Семь 8 9 п-размеры Отрицательные размеры
Категория