Коцикл JLO - JLO cocycle

В некоммутативная геометрия, то Коцикл JLO это коцикл (и таким образом определяет класс когомологий ) в целом циклические когомологии. Это некоммутативный вариант классического Черн персонаж обычных дифференциальная геометрия. В некоммутативной геометрии понятие многообразия заменяется некоммутативной алгеброй ${displaystyle {mathcal {A}}}$ функций на предполагаемом некоммутативном пространстве. Циклические когомологии алгебры ${displaystyle {mathcal {A}}}$ содержит информацию о топологии этого некоммутативного пространства, во многом как когомологии де Рама содержит информацию о топологии обычного многообразия.

Коцикл JLO связан с метрической структурой некоммутативной дифференциальной геометрии, известной как ${displaystyle heta }$-плавный спектральная тройка (также известный как ${displaystyle heta }$-суммируемый модуль Фредгольма).

${displaystyle heta }$-суммируемые спектральные тройки

А ${displaystyle heta }$-суммируемая спектральная тройка состоит из следующих данных:

а) А Гильбертово пространство ${displaystyle {mathcal {H}}}$ такой, что ${displaystyle {mathcal {A}}}$ действует на нем как алгебра ограниченных операторов.

(б) А ${displaystyle mathbb {Z} _{2}}$-сортировка ${displaystyle gamma }$ на ${displaystyle {mathcal {H}}}$, ${displaystyle {mathcal {H}}={mathcal {H}}_{0}oplus {mathcal {H}}_{1}}$. Мы предполагаем, что алгебра ${displaystyle {mathcal {A}}}$ даже под ${displaystyle mathbb {Z} _{2}}$-градуировка, т.е. ${displaystyle agamma =gamma a}$, для всех ${displaystyle ain {mathcal {A}}}$.

(c) Самосопряженный (неограниченный) оператор ${displaystyle D}$, называется Оператор Дирака такой, что

(я) ${displaystyle D}$ странно под ${displaystyle gamma }$, т.е. ${displaystyle Dgamma =-gamma D}$.

(ii) Каждый ${displaystyle ain {mathcal {A}}}$ отображает область ${displaystyle D}$, ${displaystyle mathrm {Dom} left(Dight)}$ в себя, а оператор ${displaystyle left[D,aight]:mathrm {Dom} left(Dight) o {mathcal {H}}}$ ограничено.

(iii) ${displaystyle mathrm {tr} left(e^{-tD^{2}}ight)<infty }$, для всех ${displaystyle t>0}$.

Классический пример ${displaystyle heta }$-суммируемая спектральная тройка возникает следующим образом. Позволять ${displaystyle M}$ быть компактным спиновый коллектор, ${displaystyle {mathcal {A}}=C^{infty }left(Might)}$, алгебра гладких функций на ${displaystyle M}$, ${displaystyle {mathcal {H}}}$ гильбертово пространство квадратично интегрируемых форм на ${displaystyle M}$, и ${displaystyle D}$ стандартный оператор Дирака.

Коцикл

Коцикл JLO ${displaystyle Phi _{t}left(Dight)}$ это последовательность

${displaystyle Phi _{t}left(Dight)=left(Phi _{t}^{0}left(Dight),Phi _{t}^{2}left(Dight),Phi _{t}^{4}left(Dight),ldots ight)}$

функционалов на алгебре ${displaystyle {mathcal {A}}}$, куда

${displaystyle Phi _{t}^{0}left(Dight)left(a_{0}ight)=mathrm {tr} left(gamma a_{0}e^{-tD^{2}}ight),}$

${displaystyle Phi _{t}^{n}left(Dight)left(a_{0},a_{1},ldots ,a_{n}ight)=int _{0leq s_{1}leq ldots s_{n}leq t}mathrm {tr} left(gamma a_{0}e^{-s_{1}D^{2}}left[D,a_{1}ight]e^{-left(s_{2}-s_{1}ight)D^{2}}ldots left[D,a_{n}ight]e^{-left(t-s_{n}ight)D^{2}}ight)ds_{1}ldots ds_{n},}$

за ${displaystyle n=2,4,dots }$. Класс когомологий, определяемый ${displaystyle Phi _{t}left(Dight)}$ не зависит от значения ${displaystyle t}$.

внешняя ссылка

• [1] - Оригинальная статья, представляющая коцикл JLO.
• [2] - Хороший набор лекций.