Якобиева многообразие - Jacobian variety - Wikipedia

В математика, то Якобиева многообразие J(C) неособого алгебраическая кривая C из род грамм это пространство модулей степени 0 линейные пакеты. Это связный компонент тождества в Группа Пикард из C, следовательно, абелева разновидность.

Вступление

Якобиева разновидность названа в честь Карл Густав Якоби, который доказал полную версию Теорема Абеля – Якоби, делая заявление о приемистости Нильс Абель в изоморфизм. Это принципиально поляризованный абелева разновидность, из измерение грамм, а значит, по комплексным числам это комплексный тор. Если п это точка C, то кривая C может быть сопоставлен с подмножество из J с данной точкой п отображение на личность J, и C генерирует J как группа.

Построение сложных кривых

Над комплексными числами многообразие Якоби может быть реализовано как факторное пространство V/L, куда V является двойником векторное пространство всех глобальных голоморфных дифференциалов на C и L это решетка всех элементов V формы

куда γ закрытый дорожка в C. Другими словами,

с встроенный в через карту выше. Это можно сделать явно с помощью тета-функции.[1]

Якобиан кривой над произвольным полем был построен Вейль (1948) как часть его доказательства гипотезы Римана для кривых над конечным полем.

В Теорема Абеля – Якоби утверждает, что построенный таким образом тор является многообразием, классическим якобианом кривой, который действительно параметризует линейные расслоения степени 0, то есть его можно отождествить со своим Разновидность пикара дивизоров степени 0 по модулю линейной эквивалентности.

Алгебраическая структура

Как группа, якобиево многообразие кривой изоморфно факторизации группы делителей нулевой степени по подгруппе главных дивизоров, т. Е. Дивизоров рациональных функций. Это верно для полей, которые не являются алгебраически замкнутыми, при условии, что рассматриваются делители и функции, определенные над этим полем.

Дальнейшие понятия

Теорема Торелли утверждает, что комплексная кривая определяется своим якобианом (с его поляризацией).

В Проблема Шоттки спрашивает, какие принципиально поляризованные абелевы многообразия являются якобианами кривых.

В Разновидность пикара, то Сорт Альбанезе, обобщенный якобиан, и промежуточные якобианы являются обобщениями якобиана для многомерных многообразий. Для многообразий более высокой размерности конструкция якобиевого многообразия как фактора пространства голоморфных 1-форм обобщается, чтобы дать Сорт Альбанезе, но в общем случае оно не обязательно должно быть изоморфным многообразию Пикара.

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Дэвид, Мамфорд; Нори, Мадхав; Превиато, Эмма; Стиллман, Майк. Лекции Tata о Theta I. Springer.

Вычислительная техника

Классы изогении

Криптография

Общий