Модули алгебраических кривых - Moduli of algebraic curves

В алгебраическая геометрия, а пространство модулей (алгебраический) кривые геометрическое пространство (обычно схема или алгебраический стек ), точки которого представляют классы изоморфизма алгебраические кривые. Таким образом, это частный случай пространство модулей. В зависимости от ограничений, применяемых к рассматриваемым классам алгебраических кривых, соответствующие проблема модулей а пространство модулей другое. Также различают отлично и грубые пространства модулей для той же проблемы модулей.

Самая основная проблема - это модули гладкий полный кривые фиксированного род. Над поле из сложные числа они точно соответствуют компактные римановы поверхности данного рода, для которых Бернхард Риманн доказал первые результаты о пространствах модулей, в частности их размерности («число параметров, от которых зависит комплексная структура»).

Наборы модулей устойчивых кривых

Стек модулей ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}$ классифицирует семейства гладких проективных кривых вместе с их изоморфизмами. Когда ${\displaystyle g>1}$, этот стек можно компактифицировать, добавляя новые «граничные» точки, которые соответствуют стабильным узловым кривым (вместе с их изоморфизмами). Кривая стабильный если он полный, связный, не имеет других особенностей, кроме двойных точек, и имеет только конечную группу автоморфизмов. Полученный стек обозначается ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g}}$. Оба стека модулей содержат универсальные семейства кривых.

Оба стека выше имеют размер ${\displaystyle 3g-3}$; следовательно, стабильную узловую кривую можно полностью задать, выбрав значения ${\displaystyle 3g-3}$ параметры, когда ${\displaystyle g>1}$. В нижнем роде необходимо учитывать наличие гладких семейств автоморфизмов, вычитая их количество. Существует ровно одна комплексная кривая рода нуль, сфера Римана, и ее группа изоморфизмов - это PGL (2). Следовательно, размерность ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{0}}$ равно

${\displaystyle {\begin{aligned}\dim({\text{space of genus 0 curves}})-\dim({\text{group of automorphisms}})&=0-\dim(\mathrm {PGL} (2))\\&=-3.\end{aligned}}}$

Точно так же в роде 1 существует одномерное пространство кривых, но каждая такая кривая имеет одномерную группу автоморфизмов. Следовательно, стек ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{1}}$ имеет размерность 0.

Конструкция и несводимость

Это нетривиальная теорема, доказанная Пьер Делинь и Дэвид Мамфорд,^[1] что стек модулей ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}$ является неприводимым, то есть не может быть выражено как объединение двух правильных подстаканников. Они доказывают это, анализируя локус ${\displaystyle H_{g}}$ из стабильные кривые в Схема гильберта

${\displaystyle \mathrm {Hilb} _{\mathbb {P} ^{5g-5-1}}^{P_{g}(n)}}$

триканонически вложенных кривых (из вложения очень обильных ${\displaystyle \omega _{C}^{\otimes 3}}$ для каждой кривой), которые имеют Полином Гильберта ${\displaystyle P_{g}(n)=(6n-1)(g-1)}$ (примечание: это можно вычислить с помощью Теорема Римана – Роха ). Затем стек

${\displaystyle [H_{g}/\mathrm {PGL} (5g-6)]}$

является конструкцией пространства модулей ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}$. С помощью Теория деформации^{секция 1}, Делинь и Мамфорд показывают, что этот стек гладкий, и используют стек

${\displaystyle \mathrm {Isom} _{S}(C,C')}$

изоморфизмов между стабильными кривыми, чтобы показать, что ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}$ имеет конечные стабилизаторы, следовательно, это Стек Делин-Мамфорд (назван в честь их статьи). Более того, они обнаруживают расслоение ${\displaystyle H_{g}}$ в качестве^{Раздел 3}

${\displaystyle H_{g}^{o}\coprod H_{g,1}\coprod \cdots \coprod H_{g,n}}$,

куда

• ${\displaystyle H_{g}^{o}}$ - подсхема гладких устойчивых кривых,
• ${\displaystyle H_{g,i}}$ является неприводимой компонентой ${\displaystyle S^{*}=H_{g}\setminus H_{g}^{o}}$,

и проанализировать компоненты ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}^{0}=H_{g}^{0}/\mathrm {PGL} (5g-6)}$ (как Коэффициент GIT ). Если существовало несколько компонентов ${\displaystyle H_{g}^{o}}$, ни один из них не будет полным. Также любой компонент ${\displaystyle H_{g}}$ должны содержать неособые кривые. Следовательно, особое геометрическое место ${\displaystyle S^{*}}$ связан, следовательно, он содержится в единственном компоненте ${\displaystyle H_{g}}$. Кроме того, поскольку каждый компонент пересекает ${\displaystyle S^{*}}$, все компоненты должны содержаться в одном компоненте, поэтому грубое пространство ${\displaystyle H_{g}}$ неприводимо. Из общей теории алгебраических стеков это означает, что фактор стека ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}$ неприводимо.

Правильность

Правильность, или же компактность за орбифолды, следует из теоремы об устойчивой редукции на кривых.^[1] Это можно найти с помощью теоремы Гротендик относительно стабильного сокращения Абелевы разновидности, и показывая его эквивалентность устойчивой редукции кривых.^{[1]Раздел 5.2}

Грубые пространства модулей

Можно также рассматривать грубые пространства модулей, представляющие классы изоморфизма гладких или стабильных кривых. Эти грубые пространства модулей фактически изучались до того, как было введено понятие стека модулей. Фактически, идея стека модулей была введена Делинем и Мамфордом в попытке доказать проективность грубых пространств модулей. В последние годы стало очевидно, что набор кривых на самом деле является более фундаментальным объектом.

Грубые пространства модулей имеют ту же размерность, что и стеки, когда ${\displaystyle g>1}$; однако в роде 0 грубое пространство модулей имеет размерность ноль, а в роде один - размерность один.

Примеры пространств модулей низкого рода

Род 0

Определение геометрии пространства модулей рода ${\displaystyle 0}$ кривые можно построить с помощью Теория деформации. Количество модулей для рода ${\displaystyle 0}$ кривая, например ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$, задается группой когомологий

${\displaystyle H^{1}(C,T_{C})}$

С Двойственность Серра эта группа когомологий изоморфна

${\displaystyle {\begin{aligned}H^{1}(C,T_{C})&\cong H^{0}(C,\omega _{C}\otimes T_{C}^{\vee })\\&\cong H^{0}(C,\omega _{C}^{\otimes 2})\end{aligned}}}$

для дуализирующего пучка ${\displaystyle \omega _{C}}$. Но, используя Риман-Рох показывает, что степень канонического расслоения равна ${\displaystyle -2}$, поэтому степень ${\displaystyle \omega _{C}^{\otimes 2}}$ является ${\displaystyle -4}$, следовательно, нет глобальных разделов, то есть

${\displaystyle H^{0}(C,\omega _{C}^{\otimes 2})=0}$

показывая отсутствие деформаций рода ${\displaystyle 0}$ кривые. Это доказывает ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{0}}$ это всего лишь одна точка, и единственный род ${\displaystyle 0}$ кривые задаются ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$. Единственная техническая трудность - это группа автоморфизмов ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$ это алгебраическая группа ${\displaystyle {\text{PGL}}(2,\mathbb {Z} )}$, который укрепляет сразу три точки^[2] на ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$ фиксированы, поэтому большинство авторов принимают ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{0}}$ значить ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{0,3}}$.

Род 1

Основная статья: Стек модулей эллиптических кривых

Случай рода 1 - один из первых хорошо изученных случаев пространств модулей, по крайней мере, над комплексными числами, потому что классы изоморфизма эллиптических кривых классифицируются J-инвариантный

${\displaystyle j:{\mathcal {M}}_{1,1}|_{\mathbb {C} }\to \mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{1}}$

куда ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{1,1}|_{\mathbb {C} }={\mathcal {M}}_{1,1}\times _{{\text{Spec}}(\mathbb {Z} )}{\text{Spec}}(\mathbb {C} )}$. Топологически, ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{1,1}|_{\mathbb {C} }}$ это просто аффинная линия, но ее можно компактифицировать в стек с лежащим в основе топологическим пространством ${\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{1}}$ добавив стабильную кривую на бесконечности. Это эллиптическая кривая с одним острием. Построение общего случая над ${\displaystyle {\text{Spec}}(\mathbb {Z} )}$ изначально был завершен Делинь и Рапопорт.^[3]

Обратите внимание, что большинство авторов рассматривают случай кривых рода один с одной отмеченной точкой как начало группы, поскольку в противном случае группа стабилизаторов в гипотетическом пространстве модулей ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{1}}$ имел бы стабилизатор группы в точке ${\displaystyle [C]\in {\mathcal {M}}_{1}}$ задается кривой, поскольку эллиптические кривые имеют структуру абелевой группы. Это добавляет ненужной технической сложности к этому гипотетическому пространству модулей. С другой стороны, ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{1,1}}$ гладкий Стек Делин-Мамфорд.

Род 2

Пространство аффинных параметров

В роде 2 это классический результат что все такие кривые гиперэллиптический,^{[4]стр. 298} так что пространство модулей может быть полностью определено из геометрического места ветвления кривой с помощью Формула Римана – Гурвица. Поскольку произвольная кривая рода 2 задается многочленом вида

${\displaystyle y^{2}-x(x-1)(x-a)(x-b)(x-c)}$

для некоторых однозначно определенных ${\displaystyle a,b,c\in \mathbb {A} ^{1}}$, пространство параметров для таких кривых определяется выражением

${\displaystyle \mathbb {A} ^{3}\setminus (\Delta _{a,b}\cup \Delta _{a,c}\cup \Delta _{b,c}),}$

куда ${\displaystyle \Delta _{i,j}}$ соответствует локусу ${\displaystyle i\neq j}$.^[5]

Весовое проективное пространство

Используя взвешенное проективное пространство и Формула Римана – Гурвица, гиперэллиптическая кривая может быть описана как многочлен вида^[6]

${\displaystyle z^{2}=ax^{6}+bx^{5}y+cx^{4}y^{2}+dx^{3}y^{3}+ex^{2}y^{4}+fxy^{5}+gy^{6},}$

куда ${\displaystyle a,\ldots ,f}$ параметры для разделов ${\displaystyle \Gamma (\mathbb {P} (3,1),{\mathcal {O}}(g))}$. Тогда геометрическое место сечений, не содержащих тройного корня, содержит каждую кривую ${\displaystyle C}$ представлен точкой ${\displaystyle [C]\in {\mathcal {M}}_{2}}$.

Род 3

Это первое пространство модулей кривых, которое имеет как гиперэллиптическое, так и негиперэллиптическое геометрическое место.^[7][8] Все негиперэллиптические кривые задаются плоскими кривыми степени 4 (с использованием формула степени рода ), параметризованные гладким геометрическим объектом в схеме Гильберта гиперповерхностей

${\displaystyle \mathrm {Hilb} _{\mathbb {P} ^{2}}^{8t-4}\cong \mathbb {P} ^{{\binom {6}{4}}-1}}$.

Затем пространство модулей стратифицируется подсеками

${\displaystyle {\mathcal {M}}_{3}=[H_{2}/\mathrm {PGL} (3))]\coprod {\mathcal {M}}_{3}^{\mathrm {hyp} }}$.

Бирациональная геометрия

Гипотеза об унирациональности

Во всех предыдущих случаях пространства модулей можно найти как унирациональный, что означает, что существует доминирующий рациональный морфизм

${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}-->{\mathcal {M}}_{g}}$

и давно ожидалось, что это будет верно для всех родов. Фактически, Севери было доказано, что это верно для поколений до ${\displaystyle 10}$.^[9] Оказывается, хотя для рода ${\displaystyle g\geq 23}$^[10][11][12] все такие пространства модулей имеют общий тип, т. е. не унирациональны. Они достигли этого, изучив Кодаира измерение грубых пространств модулей

${\displaystyle \kappa _{g}=\mathrm {Kod} ({\overline {\mathcal {M}}}_{g}),}$

и нашел ${\displaystyle \kappa _{g}>0}$ за ${\displaystyle g\geq 23}$. Фактически, для ${\displaystyle g>23}$,

${\displaystyle \kappa _{g}=3g-3=\dim({\mathcal {M}}_{g}),}$

и поэтому ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}$ общего типа.

Геометрический смысл

Это важно с геометрической точки зрения, поскольку подразумевает, что любая линейная система на линейчатом многообразии не может содержать универсальную кривую ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{g}}$.^[13]

Стратификация границы ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}$

Пространство модулей ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g}}$ имеет естественную стратификацию на границе ${\displaystyle \partial {\overline {\mathcal {M}}}_{g}}$ точки которого представляют особый род ${\displaystyle g}$ кривые.^[14] Он разлагается на слои

${\displaystyle \partial {\overline {\mathcal {M}}}_{g}=\coprod _{0\leq h\leq (g/2)}\Delta _{h}^{*}}$,

куда

• ${\displaystyle \Delta _{h}^{*}\cong {\overline {\mathcal {M}}}_{h}\times {\overline {\mathcal {M}}}_{g-h}}$ за ${\displaystyle 1\leq h<g/2}$.
• ${\displaystyle \Delta _{0}^{*}\cong {\overline {\mathcal {M}}}_{g-1,2}/(\mathbb {Z} /2)}$ где действие переставляет две отмеченные точки.
• ${\displaystyle \Delta _{g/2}\cong ({\overline {\mathcal {M}}}_{g/2}\times {\overline {\mathcal {M}}}_{g/2})/(\mathbb {Z} /2)}$ в любое время ${\displaystyle g}$ даже.

Кривые, лежащие выше этих локусов, соответствуют

• Пара кривых ${\displaystyle C,C'}$ соединены в двойной точке.
• В нормализация рода ${\displaystyle g}$ кривая в единственной двойной точке особенности.
• Пара кривых одного рода, соединенных в двойной точке с точностью до перестановки.

Стратификация ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{2}}$

Для рода ${\displaystyle 2}$ случае существует расслоение, определяемое

${\displaystyle {\begin{aligned}\partial {\overline {\mathcal {M}}}_{2}&=\Delta _{0}^{*}\coprod \Delta _{1}^{*}\\&={\overline {\mathcal {M}}}_{1,2}/(\mathbb {Z} /2)\coprod ({\overline {\mathcal {M}}}_{1}\times {\overline {\mathcal {M}}}_{1})/(\mathbb {Z} /2)\end{aligned}}}$.

Дальнейший анализ этих слоев может быть использован для получения генераторов Кольцо для чау-чау ${\displaystyle A^{*}({\overline {\mathcal {M}}}_{2})}$^{[14] предложение 9.1}.

Модули отмеченных кривых

Можно также обогатить проблему, рассмотрев стек модулей узловых кривых рода g с n отмеченными точками, попарно различными и отличными от узлов. Такие отмеченные кривые называются устойчивыми, если подгруппа автоморфизмов кривых, фиксирующих отмеченные точки, конечна. Полученные наборы модулей гладких (или стабильных) кривых рода g с n отмеченными точками обозначаются ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g,n}}$ (или же ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}$) и имеют размерность ${\displaystyle 3g-3+n}$.

Особый интерес представляет стек модулей ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{1,1}}$ кривых рода 1 с одной отмеченной точкой. Это стек эллиптических кривых. 1-й уровень модульные формы - это участки линейных пакетов в этом стеке, а уровень N модульные формы - это участки линейных расслоений на стеке эллиптических кривых с уровень N структура (примерно разметка по порядку ведения заседания N).

Граничная геометрия

Важное свойство компактифицированных пространств модулей ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}$ состоит в том, что их граница может быть описана в терминах пространств модулей ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g',n'}}$ для родов ${\displaystyle g'<g}$. Данной отмеченной устойчивой узловой кривой можно сопоставить ее двойственный граф, а график с вершинами, помеченными неотрицательными целыми числами, и допускается наличие петель, нескольких ребер, а также пронумерованных полуребер. Здесь вершины графа соответствуют неприводимые компоненты узловой кривой маркировка вершины - это арифметический род соответствующего компонента ребра соответствуют узлам кривой, а полуребра - маркировкам. Замыкание геометрического места кривых с заданным двойственным графом в ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}$ изоморфен коэффициент стека продукта ${\displaystyle \prod _{v}{\overline {\mathcal {M}}}_{g_{v},n_{v}}}$ компактифицированных пространств модулей кривых конечной группой. В произведении множитель, соответствующий вершине v имеет род g_v взято из маркировки и количества маркировок ${\displaystyle n_{v}}$ равное количеству выходящих ребер и полуребер на v. Общий род грамм это сумма g_v плюс количество замкнутых циклов на графике.

Стабильные кривые, двойственный граф которых содержит вершину, помеченную ${\displaystyle g_{v}=g}$ (следовательно, все остальные вершины имеют ${\displaystyle g_{v}=0}$ и граф представляет собой дерево) называются "рациональным хвостом", а их пространство модулей обозначается ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g,n}^{\mathrm {r.t.} }}$. Стабильные кривые, двойственный граф которых является деревом, называются «компактным типом» (поскольку якобиан компактен), а их пространство модулей обозначается ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g,n}^{\mathrm {c.} }}$.^[2]

Смотрите также

• Модули отмеченных кривых
• Гипотеза Виттена
• Тавтологическое кольцо
• Теорема Гротендика – Римана – Роха.

Рекомендации

1. Делинь, Пьер; Мамфорд, Дэвид (1969). «Неприводимость пространства кривых данного рода». Публикации Mathématiques de l'IHÉS. 36: 75–109. Дои:10.1007 / BF02684599. S2CID  16482150.
2. Фабер, Карел; Пандхарипанде, Рахул (2011). «Тавтологические и нетавтологические когомологии пространства модулей кривых». arXiv:1101.5489 [math.AG ].
3. Deligne, P .; Рапопорт, М. (1973), Схемы модулей эллиптических курбов, Конспект лекций по математике, 349, Springer Berlin Heidelberg, стр. 143–316, Дои:10.1007 / bfb0066716, ISBN  978-3-540-06558-6, URL: http://publications.ias.edu/node/367
4. Хартсхорн, Робин (29 июня 2013 г.). Алгебраическая геометрия. Нью-Йорк. ISBN  978-1-4757-3849-0. OCLC  861706007.
5. Игуса, Джун-Ичи (1960). "Арифметическое разнообразие модулей второго рода". Анналы математики. 72 (3): 612–649. Дои:10.2307/1970233. ISSN  0003-486X. JSTOR  1970233.
6. Ларсон, Эрик (2019-04-17). "Интегральное кольцо Чау ${\displaystyle {\overline {M}}_{2}}$". arXiv:1904.08081 [math.AG ].
7. Жирар, Мартина; Коэль, Дэвид Р. (2006), Гесс, Флориан; Паули, Себастьян; Похст, Майкл (ред.), "Классификация кривых рода 3 в специальных слоях пространства модулей", Алгоритмическая теория чисел, Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg, 4076, стр. 346–360, arXiv:математика / 0603555, Bibcode:2006математика ...... 3555G, Дои:10.1007/11792086_25, ISBN  978-3-540-36075-9, МИСТЕР  2282935, S2CID  15638167
8. Пенев, Никола; Вакил, Рави (2015). «Кольцо Чжоу пространства модулей кривых рода шесть». Алгебраическая геометрия. 2 (1): 123–136. arXiv:1307.6614. Дои:10.14231 / ag-2015-006. ISSN  2214-2584. МИСТЕР  3322200. S2CID  54876684.
9. Севери, Франческо, 1879-1961 гг. (1915). Sulla classificazione delle curve algebriche e sul teorema d'estenza di Riemann. Tipografia della R. Accademia dei Lincei. OCLC  881814709.
10. Эйзенбуд, Дэвид; Харрис, Джо (1987). "Размерность Кодаира пространства модулей кривых рода? 23". Inventiones Mathematicae. 90 (2): 359–387. Bibcode:1987InMat..90..359E. Дои:10.1007 / bf01388710. ISSN  0020-9910. S2CID  120642775.
11. Харрис, Джо; Мамфорд, Дэвид (1982), "О размерности Кодаира пространства модулей кривых", Избранные статьи, Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York, стр. 171–234, Дои:10.1007/978-1-4757-4265-7_8, ISBN  978-1-4419-1936-6
12. Харрис, Джо; Мамфорд, Дэвид (1982), "О размерности Кодаира пространства модулей кривых", Избранные статьи, Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York, стр. 171–234, Дои:10.1007/978-1-4757-4265-7_8, ISBN  978-1-4419-1936-6
13. Фаркас, Гаврил (29.05.2008). «Глобальная геометрия пространства модулей кривых». arXiv:математика / 0612251.
14. Арифметика и геометрия: статьи, посвященные И. Шафаревич к шестидесятилетию со дня рождения (PDF). Шафаревич, Игорь Ростиславович, 1923-2017, Артин, Майкл, Тейт, Джон Торренс, 1925-2019. Бостон: Биркхойзер. 1983 г. ISBN  978-1-4757-9286-7. OCLC  681426064.

Классические ссылки

• Гротендик, Александр (1960–1961). "Методы построения в аналитической геометрии. I. Описание аксиоматической теории пространства Teichmüller et de ses variantes" (PDF). Семинэр Анри Картан. Париж. 13 (1). Выставки № 7 и 8.

• Мамфорд, Дэвид; Фогарти, Джон; Кирван, Фрэнсис Клэр (1994). Геометрическая теория инвариантов (3-е изд. Эн.). Берлин: Springer-Verlag. ISBN  3-540-56963-4. МИСТЕР  1304906. OCLC  29184987.
• Делинь, Пьер; Мамфорд, Дэвид (1969). «Неприводимость пространства кривых данного рода» (PDF). Публикации Mathématiques de l'IHÉS. 36: 75–109. CiteSeerX  10.1.1.589.288. Дои:10.1007 / bf02684599. S2CID  16482150.

Книги по модулям кривых

• Харрис, Джо; Моррисон, Ян (1998). Модули кривых. Springer Verlag. ISBN  978-0-387-98429-2.

• Кац, Николай М; Мазур, Барри (1985). Арифметические модули эллиптических кривых. Princeton University Press. ISBN  978-0-691-08352-0.
• Геометрия алгебраических кривых, том II, Арбарелло Энрико, Корнальба Маурицио, Гриффитс Филлип при участии Джозефа Дэниела Харриса. Серия: Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Vol. 268, 2011, XXX, 963с. 112 илл., 30 илл. в цвете.

Когомологии и теория пересечений

• Звонкин, Дмитрий (2012). «Введение в пространства модулей кривых и теорию их пересечений». В Пападопулосе, Афанасе (ред.). Справочник по теории Тейхмюллера, том III (PDF). Цюрих, Швейцария: Издательство Европейского математического общества. С. 667–716. Дои:10.4171/103-1/12. ISBN  978-3-03719-103-3. МИСТЕР  2952773 https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/sites/ifmaquette.ujf-grenoble.fr/files/ete2011-zvonkine.pdf. Отсутствует или пусто | название = (помощь)
• Фабер, Карел; Пандхарипанде, Рахул (2013). Фаркас, Гаврил; Моррисон, Ян (ред.). Тавтологические и нетавтологические когомологии пространства модулей кривых (PDF). Справочник модулей. Vol. я. Дополнительные лекции по математике (ALM). 24. Сомервилль, Массачусетс: Международная пресса. С. 293–330. ISBN  9781571462572. МИСТЕР  3184167.

внешняя ссылка

• «Топология и геометрия пространства модулей кривых»
• «Модули стабильных отображений, инварианты Громова-Виттена и квантовые когомологии»